广西南宁市第三中学2023届高三一模测试数学（理）试题(含答案)

这是一份广西南宁市第三中学2023届高三一模测试数学（理）试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知函数,那么( )
A.7B.6C.5D.4
3、已知直线是曲线的切线,则( )
A.-1B.1C.-2D.2
4、在平面直角坐标系中,角与的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,它们的终边关于原点对称,且,则( )
A.B.C.D.
5、已知a,b,c,d,e成等比数列,1和4是其中的两项,则e的最小值为( )
A.-64B.-8C.D.
6、有下列四个命题,其中是假命题的是( )
A.已知,其在复平面上对应的点落在第四象限
B.“全等三角形的面积相等”的否命题
C.在中,“”是“”的必要不充分条件
D.命题“,”的否定是“,”
7、如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,则的展开式中的常数项是( )
A.-15B.-20C.15D.20
8、如右图所示，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.
9、某人决定就近打车前往目的地,前方开来三辆车,且车况分别为“好”“中”“差”.有以下两种方案：
方案一：决定不乘第一辆车,若第二辆车的车况好于第一辆车,就乘坐此车;否则直接乘坐第三辆车.
方案二：直接乘坐第一辆车.
若三辆车开过来的先后次序等可能,记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为,则( )
A.B.
C.D.
10、已知抛物线的焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线,,且直线,分别与抛物线C交于A,B和D,E,则四边形ADBE面积的最小值是( )
A.32B.64C.128D.256
11、若,则( )
A.B.C.D.
12、已知,分别为定义在R上的,的导函数,且,,若是偶函数,则下列结论一定正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.3是的一个周期
D.
二、填空题
13、已知向量,,若与方向相反,则___________.
14、设实数x、y满足约束条件,在点处取得最大值,写出满足条件的一个m的值_____________.
15、设双曲线的右焦点为,点A满足,点P、Q在双曲线上,且.若直线PQ,PF的斜率之积为,则双曲线的离心率为_________.
16、唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”,也称传彩球.游戏规则为：鼓响时,众人开始依次传花,至鼓停为止,此时花在谁手中,谁就上台表演节目.甲、乙、丙三人玩击鼓传花,鼓响时,第1次由甲将花传出,每次传花时,传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人,经过6次传递后,花又在甲手中的概率为_____________.
三、解答题
17、在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且.
(1)求的外接圆半径R;
(2)求内切圆半径r的取值范围.
18、如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD为菱形,为等边三角形,且,,O为AB的中点.
(1)若E为线段PC上动点,证明：;
(2)G为线段PD上一点,是否存在实数,当使得二面角的余弦值是？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19、春季气温逐渐攀升,甲流开始快速传播,为了预防甲流感染,学校组织学生进行病毒的筛查.采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样合格,不必再做进一步的检测;若结果呈阳性,则本组中的每名学生再逐个进行检测.现有两个分组方案：方案一：将30人分成5组,每组6人;方案二：将30人分成6组,每组5人.已知随机抽一人血检呈阳性的概率为0.5%,且每个人血检是否呈阳性相互独立.
(1)已知甲流的患病率为0.45%,一个同学患病的条件下血检呈阳性的概率为99.9%,若检测中一同学血检呈阳性,求其患甲流的概率;
(2)请帮学校计算一下哪一个分组方案的检测次数期望较少？
（参考数据：,）
20、已知F是椭圆的右焦点,动直线l过点F交椭圆C于A,B两点,已知的最大值为8,且在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当A,B都异于点P时,D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为,,,若,,成等差数列,证明：点D的横坐标为定值.
21、已知.
(1)求的单调区间;
(2)当时,为较小的零点,求证：.
22、在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（t为参数且）,分别与x轴、y轴交于A、B两点.以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)与坐标轴交于A,B两点,求;
(2)求上的点到直线AB距离的最小值.
23、已知.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集为R,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：集合,
又因为集合,
由交集的定义可得,,
故选：C.
2、答案：D
解析：因为,所以,
所以,
故选：D.
3、答案：B
解析：函数,求导得,令直线与曲线相切的切点为,
于是且,所以.
故选：B.
4、答案：C
解析：由题意,角与的顶点在原点,终边构成一条直线,所以,,
所以
,
又,所以,
故选：C.
5、答案：B
解析：由题意,要使e最小,则a,c,e都是负数,则b和d选择1和4,
设等比数列的公比为,当时,,,
所以
当时,,,
所以,
故选：B
6、答案：B
解析：对于A：,所以对应的点为,在第四象限,故A正确;
对于B：“全等三角形的面积相等”的否命题是,不全等三角形的面积不相等,这显然是假命题.
对于C：在中,,由,可得,所以“”是“”的必要不充分条件.故C正确;
对于D：命题“,”是全称量词命题,其否定是存在量词命题,所以命题“,”的否定是：“,”.故D正确;
故选：B.
7、答案：C
解析：设球的半径为R,则球的体积为,圆柱的底面积为,高为,
故圆柱的体积为,
故,
球的表面积为,圆柱的表面积为,
故,
故,展开式中的通项公式为,
令,解得,故常数项为.
故选：C.
8、答案：B
解析：由三视图知，该几何体是由一个棱长为4的正方体截去两个相同三棱柱与两个相同圆柱而得到的，其中三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，圆柱的底面半径为2，所以该几何体的体积为.故选:B.
9、答案：A
解析：记好、中、差分别为A,B,C,方案一包含的基本事件数为,方案二包含的基本事件数为,则
于是.
故选：A
10、答案：A
解析：由题意抛物线的焦点为,显然,斜率存在且不为0,
设直线方程为,设,,由,得,
则,即,
设直线的方程为,设,,
则,即,
,
当且仅当,即时等号成立.
故选：A.
11、答案：A
解析：设,则为增函数,
因为,
所以,
所以,所以,所以A正确,B错误;
,
当时,,此时,有,当时,,此时,有,所以C、D错误.
故选：A.
12、答案：B
解析：因为,,所以,
所以函数的对称中心为点,又,
所以函数的图象关于点对称,A不正确;
是偶函数,所以,所以,
即为奇函数,对称中心为,函数的另一个对称中心为点,
所以的周期为2,C不一定正确;
函数及的周期与相同,周期为2.的图象关于点对称,
,所以,函数的图象关于直线对称,则的图象关于直线对称,B正确;
因为,,故,D不正确.
故选：B.
13、答案：-2
解析：由,共线,则,得,即,
又与方向相反,故,
故答案为：-2.
14、答案：0（答案不唯一）
解析：作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立可得,即点,
化直线方程为,
当,且,过有最大的纵截距,
即在点取得最大值,则;
当,且,过有最大的纵截距,
此时在点取得最大值,则,
,故可取,
故答案为：0（答案不唯一）
15、答案：
解析：如图,取P,Q的中点为M,连接OM,PF,
则由题意可得,,,
所以,相似,所以,
因为直线PQ,PF的斜率之积为,所以,
设,,则,且,
两式相减可得,
即,即,即,
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
16、答案：
解析：设第n次传球后球在甲手中的概率为,.则,
得,.
一次传球后,花不在甲手上,故,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,所以.
即,所以.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,由正弦边角关系得,即,
由余弦定理,得,又,所以,
由,则.
（2）由正弦定理得,所以,,
由余弦定理,得,所以,
利用等面积法可得,
则
,
∵,∴,故,则,
所以,故.
18、答案：(1)证明见解析
(2)存在,
解析：（1）连接OC,OP, 为等边三角形,,O为的中点,
,,,
,而底面ABCD为菱形,则, ,
又,平面POC,平面POC,, 平面POC,
又平面POC, .
（2）平面平面ABCD,平面平面,
平面PAB, 平面ABCD,
又平面ABCD, ,
又由（1）知平面POC,PO,平面POC,
故,
故,分别以OB,OC,OP为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,
,,
设,,,
由,即,
得,
则,,
设平面ABG的法向量,
则,
取,则,
又平面ABCD,则取平面ABCD的法向量为,
设ABG与平面ABCD所成的角为,由题意知为锐角,
则,
解得,,（舍去）.
即存在实数,当使得二面角的余弦值是.
19、答案：(1)0.8991
(2)方案一检测次数更少.
解析：（1）设事件A：血检呈阳性,事件B：患疾病,
则由题意得,,,
由条件概率公式可得,
该同学确实患甲流的概率.
（2）设方案一中每组的化验次数为X,则X的取值为1,7,
,
X的分布列为：
.
故方案一的化验总次数的期望值为：次.
设方案二中每组的化验次数为Y,则Y的取值为1,6,
,,
Y的分布列为：
.
方案二的化验总次数的期望为次.
,
方案一检测次数更少.
20、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由的最大值为8,知,即
将点代入,可得,,
因为,则
所以椭圆C的方程为;
（2）由可知,,则椭圆C的右焦点坐标为.
由题意,显然AB的斜率存在,设直线AB的方程为,点D的坐标为
设,,将直线AB的方程与椭圆C的方程联立得：
,
恒成立,
由韦达定理知,,
又,,
所以
因为,则,
所以,解得
即点D的横坐标为定值.
21、答案：(1)减区间为,增区间为
(2)证明见解析
解析：（1）由,
令,当时,当
设,是的两根,,,
则,,
当时,,
当时,,
的减区间为,增区间为
（2）由,
,则,
,
由（1）得在上单调递减,在单调递增,
,则,,
,使得,
要证：
下证：当,有
,, ,原不等式等价于
设,,
在单调递减,.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）令,则,解得,或（舍）,
则,即,
令,则,解得,或（舍）,
则,即,
;
（2）曲线的极坐标方程为,即,
由,得的普通方程为,
设上点的坐标为,由（1）知直线AB的方程为,
则上的点到直线AB的距离,
当时,d取最小值.
23、答案：(1)或
(2)
解析：（1）,
当时,不等式可化为,
解得,故;
当时,不等式可化为,
得,此时无解;
当时,不等式可化为,
解得,故
综上所述：原不等式的解集是或.
（2）不等式的解集为R,
即,
当时,;
当时,;
当时,,
所以
,解得,
a的取值范围是.
1
2
3
A
B
C
√
A
C
B
√
B
A
C
√
B
C
A
√
C
A
B
√
C
B
A
X
1
7
P
0.970
0.030
X
1
6
P
0.975
0.025