2023届江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）高三二模数学试题含解析

这是一份2023届江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）高三二模数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）高三二模数学试题

一、单选题
1．若M，N是U的非空子集，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集结果可得集合的包含关系即可一一判断.
【详解】因为，所以，A正确，B错误；
因为M，N是U的非空子集，所以，，C,D错误，
故选:A.
2．若 ，则z =（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘法以及除法运算即可化简求解.
【详解】由得，
故选：C
3．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（       ）
A．60 B．80 C．100 D．120
【答案】B
【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.
【详解】当时，，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以，
故选：B
4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100 m，则该球体建筑物的高度约为（    ）（cos10° ≈ 0.985）

A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
【答案】B
【分析】根据三角函数可得，利用求解即可.
【详解】如图，

设球的半径为
，
，

，
故选：B
5．在平行四边形中，，．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算求出即可.
【详解】由题意可得
，

所以，，
所以，
故选：D
6．记函数的最小正周期为T．若，且，则 （    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【详解】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，.
故选：C
7．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
8．已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，

圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D

二、多选题
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（       ）
A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
【答案】ABD
【分析】根据极差判断A，计算平均数判断B，计算方差判断C，分别计算甲乙的样本60百分位数判断D.
【详解】对A，，故A对；
对B，，，故B对；
对C，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；
对D，为整数，故甲的60百分位数，
乙的60百分位数为，故D对.
故选：ABD
10．已知数列{an}的前n项和为， ，若，则k可能为（    ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】AC
【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值.
【详解】，
当时，由，
解得或（舍去），所以A选项正确.
，
，，所以B选项错误.
，所以C选项正确.
，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
11．如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC = 2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧，则（    ）

A．
B．平面BDC
C．多面体的外接球的表面积为
D．点A，P旋转运动的轨迹长相等
【答案】BC
【分析】由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积.
【详解】正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC = 2，则正三棱锥A-PBC中侧棱两两互相垂直，正三棱锥D-PBC中侧棱两两互相垂直，则正三棱锥可以放到正方体中，当点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧时，如图所示，

连接，，如图所示

正方体中且，四边形为平行四边形，则有
为等边三角形，则与夹角为，，有与夹角为，选项A错误；
，平面BDC ，平面BDC ，平面BDC ，选项B正确；
多面体的外接球即棱长为的正方体的外接球，外接球的半径为，表面积为，选项C正确；
点A，P旋转角度相同，但旋转半径不同，所以运动的轨迹长不相等，选项D错误.
故选：BC
【点睛】思路点睛：本题的关键在于作出旋转后的图形，根据图形研究相关的性质，而正三棱锥中侧棱两两互相垂直，图形放到正方体中，又使判断线面位置关系和运算变得更简便.
12．已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D.
【详解】由，可得，
，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，即，
由知，A正确；
由可得，可得（时取等号），
因为，所以，B正确；
时，，则，
，C错误；
，
令，则，
，
在单调递增，，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可.

三、填空题
13．已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】如下图所示：

不妨设点在第一象限，联立可得，即点
易知轴，则轴，则，
所以，直线的倾斜角为，易知点，
所以，，整理可得，且有，故，
等式两边平方可得，即，
解得（6舍去）
故答案为：.
14．过点 作曲线的切线，写出一条切线的方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程.
【详解】，，
设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，
代入点，得，即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为.
故答案为：（或）.
15．已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m，下边长为1m，且下边距地面1 m．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m3．
【答案】
【分析】根据题意，所得几何体体积为两个直三棱柱体积之差求解即可.
【详解】因为窗户下边长1m，所以留在底面上影子矩形的长为1m，
又影子矩形的面积为1.5 m 2，所以矩形的宽为1.5 m，
设影子矩形靠近墙的边长到窗户底部墙的距离为，则，
解得，
所以窗户与地面影子之间光线所形成的几何体为两个底面为直角三角形，高为1的直三棱柱体积之差，其中大三棱柱底面直角三角形两直角边为，小三棱柱底面直角三角形两直角边长为,
所以
故答案为：

四、双空题
16．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．
【答案】     42    
【分析】根据为n的所有正因数之和，直接计算，分析的正因数的特点，利用等比数列求和求解.
【详解】根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；

五、解答题
17．记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意和两角差的正弦公式可得，结合和角的范围计算即可求解；
（2）由正弦定理可得，则，结合三角形面积公式计算即可求解.
【详解】（1）在中，，所以．
因为，所以，
所以，即（*），
又．
所以，即，
又，所以，由（*）知，，
所以；
（2）因为，由正弦定理，得．
又，所以.
所以的面积为.
18．已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
【答案】(1)，
(2)186

【分析】（1）根据的关系，即可求解，
（2）根据的形成规律，分组即可求解.
【详解】（1）因为，当时，
，                        
因为，所以，故．
当时，适合上式，
所以，.
（2）（方法1）因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设，则，
因为，所以.                       
所以的前100项是由14个1与86个2组成．
所以.                             
（方法2）设，则，
因为，所以.                             
根据数列的定义，知

.
19．如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为中点，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面、平面的法向量，结合空间向量数量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解.
【详解】（1）如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
.
20．我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量xi
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量yi
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
| xi - yi |
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26

并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组（xi ，yi）满足| xi - yi | < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤| xi - yi | < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足| xi - yi |≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．
附：相关系数
【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【详解】（1）因为，…
代入已知数据，
得．
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数
的所有可能取值为.       
则，
，
，
.              
所以的概率分布为

0
1
2
3
P





所以X的数学期望.     
另解：因为，所以.
21．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据已知条件求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的横坐标，再利用弦长公式可证得成立；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，则直线方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出的表达式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.        
所以，
，
因此，.
（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以

，
同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
22．已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；
（2）由题意要证，只要证，涉及到转化的思想令，，求的最小值即可求得结果.
【详解】（1）依题意，.           
①当时，在上，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.        
②当时，令，得，解得，，
所以当时，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.
③当时，判别式，所以，
所以在上单调递增，所以.
综上，实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点.
由（1）知，，，则.
综上，要证，只需证，
因为

，
设，.        
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以，即得成立．
所以原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，同时考查了利用导数证明不等式的成立，
（1）含参问题的分类讨论，对参数的讨论不重不漏；
（2）换元法的应用，通过换元研究函数时的常用方法.