2023届宁夏银川市高三下学期教学质量检测（一模）数学（文）试题含解析

2023届宁夏银川市高三教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由集合与，求出两集合的交集即可.

【详解】集合，,

.

故选：B.

2．在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出向量所对的复数，再利用复数除法运算求解作答.

【详解】依题意，，将向量绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为，，

则有，解得，因此，即，

所以.

故选：A

3．已知函数，则（    ）

A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数

C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数

【答案】C

【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.

【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，

因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.

故选：C

4．2022年11月30日，神舟十五号、神舟十四号乘组在太空“胜利会师”，在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影.某班级开展了关于太空知识的分享交流活动，活动中有2名男生、3名女生发言，活动后从这5人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1名男生的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算作答.

【详解】记2名男生为，记3名女生为，

从5人中任选2人的试验含有的基本事件为，共10个结果，

其中至少有1名男生的事件M含有的基本事件为，共7个结果，

所以这2人中至少有1名男生的概率.

故选：D

5．在环境检测中人们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：），为基础声强，其值约为，某环境检测点检测到某一时段的声强约为，则这一时段的声强级约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将的值代入关系式即可化简求得结果.

【详解】由题意知：，，

.

故选：C.

6．已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系求出的正弦值和余弦值，再结合诱导公式以及两角差的余弦公式可求得所求代数式的值.

【详解】因为角为第二象限角，由三角函数的定义可得，

则，

因此，

.

故选：D.

7．设是双曲线：的右焦点，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，可得焦点到渐近线的距离等于，再借助点到直线距离公式求解作答.

【详解】设双曲线的半焦距为c，依题意，焦点到渐近线的距离为，

因此，所以双曲线的离心率.

故选：A

8．在中，，，D是AC边的中点，点E满足，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，用向量分别表示，再利用向量数量积的运算律求解作答.

【详解】在中，，，，如图，

则，又，

则，

所以.

故选：A

9．正方体中，E为中点，O是AC与BD的交点，以下命题中正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．上平面 D．直线与直线所成的角是60°

【答案】C

【分析】根据正方体的结构特征，证明判断A；证明平面判断B；证明上平面判断C；求出直线与直线所成的角余弦判断D作答.

【详解】在正方体中，对角面是矩形，则，直线与平面相交，

因此与平面不平行，A错误；

平面，平面，则，又，，平面，

则有平面，而平面，有，同理，

平面，于是平面，因为平面平面，因此不垂直于平面，B错误；

令，E为中点，O是AC与BD的交点，则，

，，

即，有，又，为的中点，则，

面，因此平面，C正确；

取中点，连接，因为E为中点，则四边形为平行四边形，

于是，四边形为平行四边形，即，

则为直线与直线所成的角或其补角，由选项C知，，，

因此，不是，D错误.

故选：C

10．已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递增 D．在区间上最小值为

【答案】C

【分析】由图像可求出最小正周期，从而求得，由特殊点求出 的值,可得的解析式. 再利用函数 的图象变换规律, 得出函数的解析式，由正弦函数的图象和性质, 得出结论.

【详解】由图可知，,则最小正周期，，，

把点 代入, 可得 , 即，,

又 ， ，故.

将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），可得，

再将图象向右平移个单位长度得，即，

故 的最小正周期是 , 故 A错误;

令, 求得 ,不是的最大或最小值, 故的图象不关于直线 对称, 故B错误;

在区间 上, ,令，函数是增函数,故 在区间上单调递增，故C正确；

在区间上, ，此时当时，取最小值，最小值为，故D错误；

故选: C.

11．已知是椭圆的右顶点，焦距为，直线交于、两点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析可知、两点关于原点对称，利用点差法可得出的值，结合的值可得出、的值，由此可得出椭圆的方程.

【详解】因为直线交于、两点，则、两点关于原点对称，

设点，则，易知点，

由题题意可知，直线、的斜率存在，则，

且有，则，

所以，，

又因为椭圆的焦距为，即，所以，，解得，

因此，椭圆的标准方程为.

故选：B.

12．是定义在上的奇函数，当时，，，令，则函数的零点个数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据函数的性质作出的图象，再作出的图象，数形结合求解.

【详解】由可得，的图象关于对称，

又由可得，

所以，所以以4为周期，

所以作出的图象如下，

的零点个数即为方程的根的个数，

也即的图象与图象的交点个数，

因为，

所以数形结合可得的图象与图象的交点个数为5个，

故选:B.

二、填空题

13．若，满足约束条件，则的最大值为________.

【答案】

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，

所以的最大值.

故答案为：

14．直线与曲线相切，则________.

【答案】

【分析】设切点，根据导数几何意义可得切线方程，由此可构造方程求得结果.

【详解】设直线与曲线相切于点，

，，切线方程为：，即，

，解得：，.

故答案为：.

15．中，，，，D为BC边上一点，且，则的面积等于________.

【答案】

【分析】利用余弦定理求出边长，再利用正弦定理求出即可求解作答.

【详解】在中，，，，由余弦定理得：

，即有，而，解得，

由正弦定理得：，显然为锐角，则，

，因为D为BC边上一点，且，则，

所以的面积.

故答案为：

16．已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积的比为，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为________.

【答案】##0.375

【分析】根据给定条件，用圆锥的底面圆半径表示其母线，再用表示圆柱的底面圆半径及母线，结合圆柱、圆锥体积公式求解作答.

【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为，依题意，，即有，高，如图，

设圆柱的底面圆半径为，母线为，则有，由得：，

又，即，于是，

所以圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，利用轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.

三、解答题

17．已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前项和，满足.

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)若_________，求数列的前项和.

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）由题知，进而结合等差数列通项公式解方程即可得，，再求解通项公式与前项和；

（2）选①：结合（1）得，进而根据分组求和的方法求解即可；

选②：结合（1）得，进而结合裂项求和的方法求解即可；

选③：结合（1）得，再根据错位相减法求解即可；

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，

依题意可得，则

解得，，

所以，数列的通项公式为.

综上：，  ；

（2）解：选①

由（1）可知：  

∴

∵

∴

选②

由（1）可知：

∴

∵

选③

由（1）可知：，∴

∵

则

于是得

两式相减得，

所以.

18．“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到年全国水产品年产量达到万吨.年至年全国水产品年产量（单位：千万吨）的数据如下表：

(1)求出关于的线性回归方程，并预测年水产品年产量能否实现目标；

(2)为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了年全国个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过万吨的地区有个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有个，其中年产量超过万吨且高配比的地区有个，能否有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，；

参考数据，.

【答案】(1)，年水产品年产量能实现目标

(2)有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系

【分析】（1）利用最小二乘法即可求得线性回归方程，代入得到预估值，由可得结论；

（2）由已知数据可得列联表，进而求得，对比临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格数据知：，，，，

，，

关于的线性回归方程为：，

当时，，年水产品年产量能实现目标.

（2）列联表如下：

则，

有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.

19．如图，在四棱锥中，已知，.

(1)求证：；

(2)若平面平面，，且，，，为线段的中点，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，进而证明平面即可证明结论；

（2）在平面中，延长与，并交于点，连接，取得中点，连接，进而得四边形为正方形，再证明平面即可得平面，再结合已知条件得，最后根据等体积法求解即可.

【详解】（1）证明：取的中点，连接，

∵在中，，，

∴

同理可在中，，，

∴

∵，平面，

∴平面，

∵平面.

∴.

（2）解：在平面中，延长与，并交于点，连接，取得中点，连接

∵，且，

∴四边形为正方形，

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，

∵平面，

∴

由（1）知平面，

∵平面.

∴.

∵平面

∴平面

∵平面

∴

∵

∴

∵在中，分别为的中点.

∴

∴平面，即平面，

∵，，，

设点到平面的距离为

∵，∴

∴

∴点到平面的距离为.

20．已知函数.

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)当时，证明：只有一个零点.

【答案】(1)在上单调递增，上单调递减；极大值，无极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数, 解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间, 求出函数的最小值, 结合函数的零点个数求出的范围即可.

【详解】（1）当时，，

由得，，由得，或

∴在上单调递增，上单调递减，

∴在处取得极大值，无极小值.

（2）∵，

∴

由，得，或

①当时，，在上单调递增

∵，

∴，故在上有唯一零点

②当时，得或

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

∵，

∴，故在上有唯一零点

综上：当时，只有一个零点.

21．已知点F是抛物线E：的焦点，点在抛物线E上，且.

(1)求抛物线E的方程；

(2)直线：与抛物线E交于A，B两点，设直线TA，TB的斜率分别为，，证明：；

(3)直线是过点T的抛物线E的切线，且与直线交于点P，探究与的关系，并证明你的结论.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)，证明见解析.

【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p值作答.

（2）联立直线与抛物线E的方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算作答.

（3）设出切线方程，与抛物线E的方程联立，求出切线及直线的斜率，再结合几何图形推理作答.

【详解】（1）因为点在抛物线E上，且，由抛物线定义得，解得，

所以抛物线的标准方程为.

（2）由消去x并整理得：，显然，解得，

设，，则，而点，

所以.

（3）结论：，证明如下：

设切线方程为，由消去y并整理得：，

由，解得，

由（2）知，直线的斜率

设切线与轴交点为点Q，直线、TA、TB分别与x交于点M，C，D，如图，

由，得，又，，，

所以.

【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是以为圆心，且过点的圆.

(1)求曲线的极坐标方程与直线的普通方程；

(2)直线过点且与曲线交于A，B两点，求的值.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）把点C，M的极坐标化为直角坐标，求出圆C的直角坐标方程，再化成极坐标方程，消去参数得直线的普通方程.

（2）把直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，再借助参数的几何意义求解作答.

【详解】（1）直线的参数方程（为参数），消去参数得：，

所以直线的普通方程为；

由，得，点，，半径，

于是曲线的的普通方程为，即，

所以曲线的极坐标方程为.

（2）由（1）知，曲线的的普通方程为，

将直线的参数方程（为参数）代入曲线C的的普通方程，整理得

设A，B两点对应的参数分别为，，则有，

所以.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若且满足，记是的最大值，证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，分段解含绝对值符号的不等式作答.

（2）利用（1）中信息，借助函数单调性求出c，再利用作差法结合均值不等式推理作答.

【详解】（1）依题意，，于是不等式化为：

或或，解得，

所以不等式的解集.

（2）由（1）可知：函数在上单调递增，在上单调递减，，即，

由得，即，

于是

，当且仅当，即时取等号，

所以.