2023届宁夏银川市高三下学期教学质量检测（一模）数学（理）试题含解析

这是一份2023届宁夏银川市高三下学期教学质量检测（一模）数学（理）试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届宁夏银川市高三教学质量检测数学（理）试题

一、单选题
1．设全集，集合，，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由交集和补集的定义求解即可.
【详解】因为，
或，，
所以=.
故选：C.
2．在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出向量所对的复数，再利用复数除法运算求解作答.
【详解】依题意，，将向量绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为，，
则有，解得，因此，即，
所以.
故选：A
3．的一个充要条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用举例说明，排除AB；利用对数函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D.
【详解】A：若，取，则不成立，故A不符题意；
B：若，取，则不成立，故B不符题意；
C：函数在上单调递增，
由，得，故C不符题意；
D：函数在R上单调递增，
由，得；由，得，
所以“”是“”的充要条件，故D符合题意.
故选：D.
4．已知函数，则（    ）
A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.
【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，
因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.
故选：C
5．正方体中，E为中点，O是AC与BD的交点，以下命题中正确的是（    ）
A．平面 B．平面
C．上平面 D．直线与直线所成的角是60°
【答案】C
【分析】根据正方体的结构特征，证明判断A；证明平面判断B；证明上平面判断C；求出直线与直线所成的角余弦判断D作答.
【详解】在正方体中，对角面是矩形，则，直线与平面相交，
因此与平面不平行，A错误；

平面，平面，则，又，，平面，
则有平面，而平面，有，同理，
平面，于是平面，因为平面平面，因此不垂直于平面，B错误；
令，E为中点，O是AC与BD的交点，则，
，，
即，有，又，为的中点，则，
面，因此平面，C正确；

取中点，连接，因为E为中点，则四边形为平行四边形，
于是，四边形为平行四边形，即，
则为直线与直线所成的角或其补角，由选项C知，，，
因此，不是，D错误.
故选：C
6．在△ABC中，，，D是AC边的中点，点E满足，则与的夹角为（    ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【答案】C
【分析】根据给定条件，用向量分别表示，再利用向量数量积的运算律求解作答.
【详解】在中，，，，如图，

则，又，
则，
所以，
即，所以与的夹角为.
故选：C.
7．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，现将角的终边绕原点O逆时针方向旋转与单位圆交点的纵坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角函数定义得，然后利用诱导公式及余弦的二倍角公式即得．
【详解】由题意得，
所以，
则.
故选：A.
8．已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积的比为，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用圆锥的底面圆半径表示其母线，再用表示圆柱的底面圆半径及母线，结合圆柱、圆锥体积公式求解作答.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为，依题意，，即有，高，如图，

设圆柱的底面圆半径为，母线为，则有，由得：，
又，即，于是，
所以圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，利用轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
9．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，代入公式用对立事件的概率和为1计算即可.
【详解】由题， ，，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时，
所以，
所以，，
则.
故选：B
10．已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．在区间上最小值为
【答案】C
【分析】由图像可求出最小正周期，从而求得，由特殊点求出 的值,可得的解析式. 再利用函数 的图象变换规律, 得出函数的解析式，由正弦函数的图象和性质, 得出结论.
【详解】由图可知，,则最小正周期，，，
把点 代入, 可得 , 即，,
又 ， ，故.
将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），可得，
再将图象向右平移个单位长度得，即，
故 的最小正周期是 , 故 A错误;
令, 求得 ,不是的最大或最小值, 故的图象不关于直线 对称, 故B错误;
在区间 上, ,令，函数是增函数,故 在区间上单调递增，故C正确；
在区间上, ，此时当时，取最小值，最小值为，故D错误；
故选: C.

11．已知抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C于点A，取OA的中点B，过点B作斜率为的直线l交x轴于点D，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．与k值有关
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标，进而求出直线方程，得点的坐标，再借助抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线为，
直线：，由解得：或，即点，则点，
直线的方程为：，令，得点，因此，
所以.
故选：A
12．已知函数的定义域为R，且，，在单调递减，则不等式在区间所有整数解的和为（    ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】由题意可得函数的图象关于对称和直线对称，则函数的周期为，由，结合的周期性，即可求出不等式在区间所有整数解的和.
【详解】因为函数的定义域为R，且，
函数的图象关于对称，且，
由，可知函数的图象关于直线对称，
令中等价于，
则，又因为，
所以①，令等价于，
则②，则由②减①可得：，
所以函数的周期为，
由在单调递减，且的图象关于对称和直线对称，
可得在单调递减，在单调递增，
由对称性可得，
令，因为，则，
则不等式在区间所有整数解，
即在区间所有整数解，
因为，由周期性可得，
所以或，
所以或，
整数解为，，
所以这些整数解之和为：.
故选：B.

二、填空题
13．点是双曲线的右焦点，圆与双曲线C的一条渐近线交于A、B，若为直角三角形，则双曲线的离心率为________．
【答案】##
【分析】由焦点到渐近线的距离为，然后根据圆的性质可得，进而可得离心率．
【详解】因为圆与双曲线C的一条渐近线交于A、B，为直角三角形，
所以圆F与渐近线相交所得弦长，
由题可得双曲线的一条渐近线为，
所以焦点到渐近线的距离为，
所以，得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：．
14．中，，，，D为BC边上一点，且，则的面积等于________.
【答案】
【分析】利用余弦定理求出边长，再利用正弦定理求出即可求解作答.
【详解】在中，，，，由余弦定理得：
，即有，而，解得，
由正弦定理得：，显然为锐角，则，
，因为D为BC边上一点，且，则，
所以的面积.

故答案为：
15．某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．
【答案】##0.8
【分析】根据排列知识可得所有结果数，然后算出甲不能参加演讲比赛的结果数，再利用古典概型概率公式即得.
【详解】随机选派三名同学分别参加三项比赛，共有种结果，
其中甲不能参加演讲比赛可分两类，一类是甲没有被选中有种结果，一类是甲被选中有，所以甲不能参加演讲比赛的结果数为，
所以甲不能参加演讲比赛的概率为.
故答案为：.
16．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】等价于，即，令，对求导，得出的单调性，即可得出答案.
【详解】因为不等式恒成立，可知，，
由可得，
则，
令，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
因为，，所以，
所以要使，故只需即可，
故即可，
令，，解得：，
令解得：；令解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.

三、解答题
17．“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到年全国水产品年产量达到万吨.年至年全国水产品年产量（单位：千万吨）的数据如下表：
年份




年份代号




总产量





(1)求出关于的线性回归方程，并预测年水产品年产量能否实现目标；
(2)为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了年全国个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过万吨的地区有个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有个，其中年产量超过万吨且高配比的地区有个，能否有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，；









参考数据，.
【答案】(1)，年水产品年产量能实现目标
(2)有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系

【分析】（1）利用最小二乘法即可求得线性回归方程，代入得到预估值，由可得结论；
（2）由已知数据可得列联表，进而求得，对比临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格数据知：，，，，
，，
关于的线性回归方程为：，
当时，，年水产品年产量能实现目标.
（2）列联表如下：

渔业年产量超过万吨的地区
渔业年产量不超过万吨的地区
合计
有渔业科技推广人员高配比的地区



没有渔业科技推广人员高配比的地区



合计




则，
有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.
18．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)若________，求数列的前n项和．
在①，②，③这三个条件中任是一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)答案见解析

【分析】（1）分和，根据前前n项和与通项公式之间的关系运算求解，并结合等差数列求和；
（2）选①：结合（1）得，进而根据分组求和的方法求解即可；
选②：结合（1）得，进而结合裂项求和的方法求解即可；
选③：结合（1）得，再根据错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，
当时，则；
当时，则，
相减得，
则；满足n=1时，a1=3，
综上所述：.
∵，则数列为等差数列，
∴.
（2）选①：，
由（1）可知：，，
∴，
∵
，
故.
选②：，
由（1）可知：，则，
∵

，
故.
选③：，
由（1）可知：，则
∵，
则，
两式相减得，
所以．
19．如图，在四棱锥中，已知，．

(1)求证：；
(2)若平面平面，，且，，二面角大小为45°，点E是线段AP上的动点，求直线EB与平面PAD所成角的正弦值的最小值，并说明此时点E的位置．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，E与P重合.

【分析】（1）取的中点，连接，进而证明平面即可证明结论；
（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法结合条件即得.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
∵在中，，，
∴，
同理可在中，，，
∴，∵，平面，
∴平面，∵平面，
∴；
（2）因为平面平面ABCD，交线为CD，又，，
所以，平面ABCD，
所以面PCD，面PCD，
所以，故为二面角的平面角，，
以C为原点，以CD为x轴，以CB为y轴，建立如图所示的坐标系，

则，
设，，，
设，
则，所以，
所以，
设平面PAD的一个法向量为，
，，则
，令，可得，
所以直线EB与平面PAD所成角的正弦值为
，
因为，所以，当时，取得最小值，
即直线EB与平面PAD所成角的正弦值的最小值为，此时，E与P重合．
20．．
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)当时，设，若既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为；极大值为，无极小值；
(2).

【分析】（1）由题可得导函数，然后根据导数与函数单调性及极值关系即得；
（2）由题可得有两个不等正根，进而可得有两个不等正根，然后构造函数，利用导数研究函数的性质作出函数的大致图象利用数形结合即得.
【详解】（1）因为，
当时，，
所以，
由，得，由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以在处有极大值，极大值为，无极小值；
（2）因为，
所以，则有两个变号零点，
由，可得，
所以有两个不等正根，
设，则，
由，可得，函数单调递增，由，可得，函数单调递减，
所以在处有极大值，，
又，时；时，，
作出函数的大致图象，

由图象可知要使有两个不等正根，则，
即a的取值范围为.
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
21．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；
(3)直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析

【分析】（1）根据题意可得，，解出a、b即可求解；
（2）设，将直线l方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合两点表示斜率公式对化简计算，即可求解；
（3）设切线方程，由直线与椭圆的位置关系求出k，得出倾斜角，可得，由，得，结合三角形的外角和即可下结论.
【详解】（1）由题意知，，所以，
又椭圆经过T（2,1），所以，
解得，，所以椭圆方程为；
（2）联立直线与椭圆方程，得，
所以，∴，
则，解得，
设，则，，
所以


，
即；
（3）椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等.证明如下：
设切线方程为，即，
由，得，
所以，
，解得，
则，又，所以，所以，
设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D，

因为，所以，又，
，，
所以.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是以为圆心，且过点的圆.
(1)求曲线的极坐标方程与直线的普通方程；
(2)直线过点且与曲线交于A，B两点，求的值.
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）把点C，M的极坐标化为直角坐标，求出圆C的直角坐标方程，再化成极坐标方程，消去参数得直线的普通方程.
（2）把直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，再借助参数的几何意义求解作答.
【详解】（1）直线的参数方程（为参数），消去参数得：，
所以直线的普通方程为；
由，得，点，，半径，
于是曲线的的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）知，曲线的的普通方程为，
将直线的参数方程（为参数）代入曲线C的的普通方程，整理得
设A，B两点对应的参数分别为，，则有，
所以.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若且满足，记是的最大值，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，分段解含绝对值符号的不等式作答.
（2）利用（1）中信息，借助函数单调性求出c，再利用作差法结合均值不等式推理作答.
【详解】（1）依题意，，于是不等式化为：
或或，解得，
所以不等式的解集.
（2）由（1）可知：函数在上单调递增，在上单调递减，，即，
由得，即，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以.