2023届山东省淄博市高三下学期一模数学试题含解析

2023届山东省淄博市高三下学期一模数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合A,B中元素的范围，然后求即可.

【详解】,

,

,

.

故选：C.

2．设复数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】求出复数的代数形式，进而可求模.

【详解】，

.

故选：D.

3．函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，得到函数的图象，只需将的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【分析】先根据条件求出周期，即可得到，再利用平移的规则即可得到答案、.

【详解】函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，

则，

，

，

只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象.

故选：C.

4．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为，则其体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由图可知：该几何体是有一个圆柱和两个半球拼接而成，根据表面积公式求出圆柱的高，利用体积计算公式即可求解.

【详解】由题意可知：设该几何体中间部分圆柱的高为，圆柱的半径为，

则该几何体的表面积为，因为，所以，

所以该几何体的体积，

故选：A.

5．某公园有如图所示至共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（    ）

A．168 B．336 C．338 D．84

【答案】B

【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，

第二步：排女生，若男生选，则女生有共7种选择， 由于女生可以互换，故女生的排法有种，

根据分步计数原理，共有种，

故选：B

6．已知中，，，，过点作垂直于点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据求得，再用余弦定理求得，利用等面积法求得，勾股定理求得，从而，最后分解为已知向量即可.

【详解】

即，

又因为，所以.

在中，根据余弦定理可得：

，即，

根据三角形面积公式，解得，

，，

.

故选：A

7．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由直线与坐标轴的交点，得到，，则，由，得点坐标，点A又在椭圆上，由定义求得，可求椭圆的离心率.

【详解】对直线，令，解得，令，解得，

故，， 则 ，设，则 ，

而，则 ，解得 ， 则，

点A又在椭圆上，左焦点，右焦点，

由，

则，椭圆的离心率.

故选：C

8．已知，，.其中为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件构造函数，，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.

【详解】由，令，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

又，

所以，又，

所以，在成立，

所以，即，

所以，即，

令，所以，

因为，所以，即，

所以在上单调递减，

所以，即

令，所以，

因为，所以，即，

所以在上单调递减，

所以，即，

所以，在成立，

令，则上式变为，所以，即，

综上，.

故选：B.

【点睛】解决此题的关键是构造函数，，，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.

二、多选题

9．某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（    ）

A．图中的值为0.016

B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间

C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人

D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80

【答案】BCD

【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.

【详解】由频率分布直方图性质可得：

，解得，故A错误；

得分介于60至90之间的频率为，故B正确；

得分不小于90的人数估计为，故C正确；

得分介于50至80之间的频率为，故D正确.

故选：BCD.

10．已知函数，则（    ）

A．当时，在有最小值1

B．当时，图象关于点中心对称

C．当时，对任意恒成立

D．至少有一个零点的充要条件是

【答案】AC

【分析】利用基本不等式判断选项；利用函数的对称性即可判断选项；利用导数判断函数的单调性即可判断选项；举例说明即可判断选项.

【详解】对于，当时，，

当时，则当且仅当，即时去等号，

所以函数在有最小值1，故选项正确；

对于，当时，则，

因为，所以此时函数图象不关于点中心对称，故选项错误；

对于，当时，则，令，

则，当时，；

当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

则当时，对任意恒成立，故选项正确；

对于，因为时，函数，，

函数在上有一个零点，所以选项错误，

故选：.

11．已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（    ）

A．若，则为双曲线，且渐近线方程为

B．若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆

C．若点的坐标为，线段与轴垂直，则

D．若直线，的斜率分别为，，则

【答案】BD

【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.

【详解】对于，若，则为双曲线，其双曲线的渐近线方程为：，故选项错误；

对于，因为点在曲线上，所以，所以，则曲线为椭圆，又因为，所以为焦点在轴上的椭圆，故选项正确；

对于，因为点的坐标为，所以过点与轴垂直的直线方程为，代入曲线方程可得：，若，则有，

若，则有，故选项错误；

对于，由题意可知：，，设点，

则，，所以，

又因为点在曲线上，所以，

所以，故选项正确，

故选：.

12．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（    ）

A．存在唯一点，使得

B．存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值

C．若，则三棱锥外接球的表面积为

D．若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分

【答案】BCD

【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点位置，判断选项B；为中点时，求三棱锥外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点的轨迹，判断选项D.

【详解】对于A选项：正方形中，有，

正方体中有平面，平面，，

又，平面，平面，

只要平面，就有，在线段上，有无数个点，A选项错误；

对于B选项：平面，直线与平面所成的角为，，取到最小值时，最大，

此时点与点重合，B选项正确；

对于C选项：若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，C选项正确；

对于D选项：以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设，则有，，

有，化简得，是正方形内部(含边界)的一个动点，

所以的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.

故选：BCD

三、填空题

13．在二项式的展开式中，常数项是______.

【答案】

【分析】由题意首先结合通项公式写出通项，然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，

则展开式的常数项为：.

故答案为：

14．若，，则______.

【答案】

【分析】先通过以及确定的范围，进而可得，再利用两角差的余弦公式展开计算即可.

【详解】,

，又，

若，则，与矛盾，

，

，

.

故答案为：.

15．在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于，两点，若为正三角形，则实数______.

【答案】

【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得答案.

【详解】由题意可知在圆上，如图：

设MN中点为H，连接PH，因为为正三角形，则PH过点O,且 ，

则直线MN的斜率为：，

故即为，

因为为正三角形，则O点为的中心，由中心及重心性质知，

，故 ，解得 ，

结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知 ，即.

故答案为：，

16．已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是______．

【答案】

【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案．

【详解】解：作出的函数图象如图所示：

∵存在实数，满足，

，

，

由图可知，，

，

设，其中，

，显然在单调递增，

，

，，

在单调递增，

在的最大值为，

的最大值为，

故答案为：．

四、解答题

17．已知数列中，，.

(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；

(2)求数列的前项和

【答案】(1)是等差数列，理由见解析

(2)

【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解；

(2)结合（1）的结论得出，然后利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）因为，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；

（2）由（1）知：

数列的通项公式为：，

则，

①，

②，

①②得：

，

则.

18．在中，角，，的对边分别是，，，满足

(1)求角；

(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；

(2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由可得：，

由余弦定理知，，

又因此.

（2）在中，由，得，

在中，由，可得，

所以；

在中，由，得，

解得，，

所以，

因为，，

所以，

当且仅当时取等号，

因此的最小值为.

19．某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据，如表所示:

其中，

(1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程；

(2)若用模型拟合得到的回归方程为，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系，进而计算出年度广告费为何值时，利润的预报值最大？

参考公式：，；

【答案】(1)

(2)选用回归方程更好，时，利润的预报值最大

【分析】(1)根据数据，利用公式即可求出线性回归方程；

（2）越大拟合效果越好，选用回归方程更好，从而计算出结果.

【详解】（1）由题意可得：

所以，

，

关于的线性回归方程：.

（2）因为，越大拟合效果越好，

选用回归方程更好，

，

即当时，时，利润的预报值.

20．已知多面体中，，且，，

(1)证明:；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析;

(2)

【分析】（1）通过证明，得平面，从而证明；

（2）由条件证得，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系求解.

【详解】（1）连接,，

在中，，，，

，

可得，即，

同时，可得，

同理可得，

因为，，且平面，平面，，

所以平面；

又因为平面，所以.

（2）在中，易得，且，

所以，同时，，

以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，如图所示，

建立空间直角坐标系.

其中，，，，

，，

设向量为平面的法向量，

满足，

不妨取，，

直线与平面所成角的正弦值为：

.

21．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线上异于原点的两点.延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点.

(1)若，求四边形面积的最小值；

(2)证明:点在定直线上.

【答案】(1)32

(2)证明见解析

【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得抛物线方程，设，，直线的方程，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式求得，再结合基本不等式即可得解；

（2）设，，，根据，，三点共线和，，三点共线，求得，再结合（1）即可得出结论.

【详解】（1）由抛物线定义可知，，解得，

即抛物线方程为，

由题意，设，，直线的方程，

由，消去得，恒成立，

由韦达定理可知：，，

故，

因为，所以直线的方程为，

于是，

则

当且仅当，即时等号成立，

所以四边形面积的最小值为32；

（2）设，，，因为，，，都在上，

所以，，

因为，，三点共线，所以有，

即，整理得：，

同理，因为，，三点共线，可得，

即，

解得：，

由（1）可知，，代入上式可得：，

得，

即点在定直线上.

【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式及抛物线与直线位置关系的应用，考查了抛物线中四边形的面积的最值问题，及抛物线中的定直线问题，考查了逻辑推理和数据分析能力，有一定的难度.

22．已知函数和有相同的最小值.

(1)求的值；

(2)设，方程有两个不相等的实根，，求证:

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)由二次函数的性质可得，利用导数可得，再根据两函数的最小值相同，求解即可；

(2) 令，利用导数确定即在上单调递增，由零点存在定理可得，使，由题意可设，，利用导数可得是减函数，即可得 ，再由在上的单调性即可得证.

【详解】（1）解：，

所以；

函数的定义域为，，

令，解得，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以

因为函数和有相同的最小值，

所以

即；

（2）证明：，

，

令，则，

所以即在上单调递增，

因为，

所以，使，

于是在上单调递减，在上单调递增.

又，当趋于0时，趋于0，

则当时，

方程有两个不相等的实根根，，

不妨设.

设，

则，

，

由即，

得，

并代入上式，得

所以是减函数，

，

即，

又由题意，得，

而，且在上单调递增，

所以，

即，

又，

故.

【点睛】方法点睛：有关函数的单调性的问题，借助于导数进行确定；关于不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题进行解答.