2023届山东省聊城市高三下学期第二次模拟考试数学试题含解析

  2023年聊城市高考模拟试题

数学（二）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合，若，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A. i B.  C. 1 D.

3. 设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（    ）

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

4. 在梯形中，则的余弦值为（    ）

A  B.  C.  D.

5. 某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为，，若该模型的体积为，则该模型的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数满足，若，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为 （    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（    ）

A. 该平台女性主播占比的估计值为0.4

B. 从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7

C. 按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名

D. 从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6

10. 已知函数，则（    ）

A. 函数是增函数

B. 曲线关于对称

C. 函数的值域为

D. 曲线有且仅有两条斜率为的切线

11. 已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别是线段，，的中点，则（    ）

A.

B. ∥平面

C. 直线与平面所成角的余弦值为

D. 过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为

12. 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为中点．（    ）

A. 当时，的斜率为2 B. 当时，

C. 当时，符合条件的直线l有两条 D. 当时，符合条件的直线l有四条

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．（用数字作答）

14. 健走是介于散步和竞走之间一种运动方式，它是一项简单安全，能增强肺活量且有益心脏健康的有氧运动，某运动生理学家对健走活动人群的体脂率（体脂率是指人体内脂肪含量与总体重的比值）做了大量的调查，发现调查者的体脂率X服从正态分布，规定体脂率小于或等于0.17的人的身材为良好身材，若参加健走的人群中有16%的人具有良好身材，则的值约为________．

参考数据：则．

15. 若互不相等的实数m，n，s，t满足，则称m，n，s，t具有“准等比”性质．现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________．

16. 已知曲线，过点的直线交曲线C于M，N两点，O为坐标原点，则的面积的取值范围为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，证明：．

18. 随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：

（1）经计算相关系数，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；

（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．

参考公式：线性回归方程中，最小二乘法估计分别为．

19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）证明：；

（2）若，求面积的最大值．

20. 如图，平面平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，且，点G在线段上．

（1）若点G为线段的中点，求证：平面；

（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长．

21. 已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．

（1）证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；

（2）已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

22. 已知函数，设m，n为两个不相等的正数，且.

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：.