2023贵州省松桃民族中学高一下学期第一次月考试题数学含解析

贵州省松桃民族中学2022-2023学年度第二学期第一次月考

高一数学

考试时间：120分钟；

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1. 全称命题“”的否定是

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将全称改为特称，并否定结论即可．

【详解】全称命题“”的否定是“” ．

故选A．

【点睛】本题考查全称命题的否定，注意书写的时候不仅要改为特称，而且还要否定结论，是基础题．

2. 已知全集，集合，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用交集，并集和补集运算法则进行计算，选出正确答案.

【详解】，，A错误；

，B错误；

，C正确；

，D错误

故选：C

3. 已知向量满足，则（    ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】根据，求出向量的坐标，根据模的计算公式，求得答案.

【详解】因为，所以，

故，

故选：C

4. 如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合图形，根据向量的线性运算结论用，表示，由此确定正确选项.

【详解】∵   E为线段AD的中点

∴   ，

又，

∴   ，

故选：A.

5. 在正方形中，点为的中点，若点满足，且，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，取基底向量，表示出向量，再利用向量数量积的运算律求解作答.

【详解】在正方形中，点为的中点，，而，

则，又，

于是得，解得，

所以.

故选：A

6. 已知正方形ABCD的边长为，E为边BC中点，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用分别表示向量，再求并结合投影向量的定义计算作答.

【详解】正方形ABCD的边长为，E为边BC中点，则，，而，

则，又，即是单位向量，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：C

7. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）

A. 346 B. 373 C. 446 D. 473

【答案】B

【解析】

【分析】在给定的几何体中作出辅助线，再利用正弦定理结合高度差的意义求解作答.

【详解】在上分别取点，使，连接，如图，

因为，则四边形都是平行四边形，于是，

在中，，，，

则，在中，，，有，

，

由正弦定理得，

在中，，因此，

于是，

所以A，C两点到水平面的高度差.

故选：B

8. 锐角中，若，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及余弦定理，再利用正弦定理、三角形内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角形的为锐角三角形得出角的范围即可求解

【详解】由，得，

由余弦定理得，所以，

即，由正弦定理得,

因为,

所以,

即.

因为为锐角三角形，

所以或，解得或（舍），

因为为锐角三角形，.

所以.

故选：B.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

9. 下列命题中，正确的是（　　）

A. 对于任意向量有 B. 若则或

C. 对于任意向量有  D. 若共线，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由向量加法的三角形法则可判断A选项；利用数量积的定义式可判断BCD选项.

【详解】对于A：由向量加法的三角形法则可知A正确;

对于B：当时，故B错误;

对于C：因为故C正确;

对于D：当共线同向时，

当共线反向时，故D正确.

故选：ACD.

10. 下列函数中，在区间上是增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用一次函数、二次函数与幂函数的单调性判断即可.

【详解】对于A，易知开口向上，对称轴为，则在上单调递减，故A错误；

对于B，易知一次函数在上单调递减，故B错误；

对于C，当时，，则在上是增函数，故C正确；

对于D，因为幂函数在上是增函数，故D正确；

故选：CD.

11. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则或.

B. 若，则与共线.

C. 若是平面内的一个基底，则平面内任一向量都可以表示为且这对实数，是唯一的.

D. 若，，与夹角为锐角，则实数.

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项直接由向量的概念判断；B选项由共线定理判断；C选项由平面向量基本定理判断；

D选项由夹角为锐角时数量积大于0且不共线即可判断.

【详解】说明模长相等，但方向不确定，A错误；由平面向量共线定理知B正确；

由平面向量基本定理知C正确；与的夹角为锐角，又，

可得，解得且，D错误.

故选：BC.

12. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 是钝角三角形

C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D.

【详解】解：由，可设，，，，

根据正弦定理可知，选项A描述准确；

由为最大边，可得，

即为锐角，选项B描述不准确；

，

，

由，，可得，选项C描述准确；

若，可得，

外接圆半径为，选项D描述准确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分，双空题全部答对得5分，部分选对得2分.）

13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则______.

【答案】44

【解析】

【分析】根据奇函数的定义运算求解.

【详解】由题意可得：.

故答案为：44.

14. 已知单位向量，若，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据单位向量的模为1，及数量积的运算性质求解即可.

【详解】因为，

所以，

解得，

而，

故答案为：

15. 已知向量，，若，则________，若，则________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，若，则；

若，则

故答案为:;

16. 在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，则，根据的范围即可求出的范围.

【详解】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，

由题意得，，因为为中点，所以，

设，则，

，，则，

，则，

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （1）已知，,与的夹角为，求．

（2）已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】（1）由向量数量积的定义及运算律进行运算即可；

（2）用数量积表示向量垂直进行运算求解即可.

【详解】（1）原式

.

∴

（2）∵向量与互相垂直，且与不共线

∴，解得，

∴当为或时，向量与互相垂直．

18. 如图所示，在中，分别是，的中点，，，.

（1）用，表示向量，，；

（2）求证：，，三点共线.

【答案】（1），，；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）用一组基底来表示其他向量的问题利用三角形法则进行计算即可；

（2）将三点共线转化成两个向量共线即可得证.

【详解】解：（1）∵，，，分别是，的中点，

∴，

，

∴；

（2）由（1）知，，

∴，

∴与共线，又∵与有公共点，

故，，三点共线.

19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由余弦定理求解即可；

（2）由正弦定理求解即可.

【小问1详解】

由余弦定理，，

∵，

∴.

【小问2详解】

由正弦定理，，

由第（1）问，，

∴.

20. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

（1）求渔船甲的速度；

（2）求sin α．

【答案】（1）7 n mile/h   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理求解；

(2)利用正弦定理即可求解.

【小问1详解】

依题意，知

在中，由余弦定理，

得

解得甲船的速度为＝7，

所以渔船甲的速度为7 n mile/h．

【小问2详解】

在中，

由正弦定理，得＝，

即.

21. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求证：；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理，结合已知等式、两角和差正弦公式进行证明即可；

（2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可,

【详解】（1）因为，结合余弦定理，

得，即，由正弦定理得，

所以，所以，

又为锐角三角形，所以，

所以，即．

（2）由（1）知，由正弦定理可知：，

又为锐角三角形，

所以即，所以

所以．

22. 在中，角、、所对的边分别为、、，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；

（2）利用正弦定理得出，，于是得出，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.

【详解】（1），，且，

，即，

即，化简得，

，，则，得

，；

（2）由正弦定理得，则，，

所以，，为锐角，且，，

，，则，

当时，取得最大值.

【点睛】本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.