2023石阡县民族中学高二下学期3月月考试题数学含解析

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石阡民族中学2022~2023学年第二学期高二年级3月月考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（    ）A. 13种 B. 22种 C. 30种 D. 60种【答案】D【解析】分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，故选：D．2. 某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.【详解】解：，当时，.故选：C.3. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据排列数的定义直接求解.【详解】根据排列数的定义直接求解，.故选：B.4. 已知函数，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数运算法则直接求解即可.【详解】.故选：A.5. 已知是等差数列的前项和，若，，则（    ）A. 40 B. 45 C. 50 D. 55【答案】A【解析】【分析】根据等差数列和性质，分析即得解.【详解】由等差数列的性质得：，，成等差数列，所以，解得.故选：A6. 已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围.【详解】由已知，函数的定义域为，.由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，即，可转化为在上恒成立，所以．因为，所以，所以．因此实数a的取值范围是．故选：D．【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.7. 6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ）A. 360种 B. 180种 C. 720种 D. 450种【答案】D【解析】【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案，共有（种）不同的安排方案.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.所以共有（种）不同的安排方案.故选：D.8. 已知数列{}满足 设数列的前项和为，则 （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【详解】因为 ，，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，即 ，所以 ，因此 ，所以  故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ）A. 18 B. 19 C. 20 D. 21【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得，所以.故选：BC.10. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A. 在上单调递增 B. 在上单调递减C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.【详解】当时，单调递增，由图可知时，，单调递增，故A正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极小值，故C正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极大值，故D正确.故选：ACD.11. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（    ）A. B. 的展开式中有理项有5项C. 的展开式中偶数项的二项式系数和为512D. 除以9余8【答案】ABD【解析】【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A；由二项式的通向结合有理项的概念判断B；由偶数项的二项式系数和判断C；由二项式定理判断D【详解】对于，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质知，故A正确；对于，在的展开式中，令，得，所以，所以二项式通项为.由为整数，得，所以展开式中有理项有5项，故B正确；对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；对于D，由B知，则，所以除以9余8，故D正确.故选：ABD.12. 已知数列满足，，，，数列的前项和为，且对，恒成立，则（   ）A.  B. 数列为等差数列C.  D. 的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据递推关系式可推导得到，知A错误；根据可推导得到，可知B正确；利用累乘法可求得，知C错误；利用等差数列求和公式可求得，结合基本不等式可求得的最大值，知D正确.【详解】对于A，由得：，即，解得：；，即，解得：；，即，解得：，A错误；对于B，由得：，，，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确；对于C，由B得：，，，又，则当时，，满足，，C错误；对于D，由C得：，由得：，，（当且仅当，即时取等号），，则，的最大值为，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则__________.【答案】-63【解析】【分析】通过赋值法可得结果.【详解】令，则，即令，则，.故答案为：-6314. 已知函数，则______【答案】【解析】【分析】根据复合函数求导法则可求得，代入即可.【详解】，.故答案为：.15. 已知函数有3个零点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】对函数求导，研究函数单调性和极值，结合3个零点判断的取值范围即可.【详解】，令，得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，，又函数有3个零点，所以，，解得，所以的取值范围是.故答案为：.16. 已知定义在上的函数的导函数为，若对任意 ，恒成立，则不等式  的解集为_________.【答案】【解析】【分析】由条件结合求导公式考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性化简不等式求其解.【详解】令，因为所以则  所以在上单调递增，又不等式可化为 ，又，所以，所以，所以，所以的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知二项式，且．（1）求的展开式中的第5项；（2）求的二项式系数最大的项．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）首先根据组合数公式求，再利用二项展开式的通项公式求第5项；（2）根据（1）的结果可知，是最大的二项式系数，代入通项公式求解.【小问1详解】由，得，即，解得或（舍去）．的二项式通项为，当时，，所以的展开式中第5项为．【小问2详解】因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，，所以的二项式系数最大的项是．18 已知函数，且.（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.【小问1详解】，，解得：，，则，在点处的切线方程为：，即.【小问2详解】由（1）知：，则，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，又，，，，，，的值域为.19. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），.    （2）【解析】【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.（2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.【小问1详解】，，解得，（舍去）.故，.【小问2详解】，故.20. 某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）（1）如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序?（2）如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?（3）如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序?【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】(1)捆绑法：先将4首歌曲捆绑，然后与3个舞蹈排序，有（种）不同的出场顺序.（2）插空法：先将4首歌曲排好，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，（种）不同的出场顺序.（3）有条件限制类排列：可用排除法，7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.【小问1详解】先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.【小问2详解】先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.【小问3详解】方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的5个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的出场顺序.21. 已知数列 中 ，，.（1）求证：是等比数列；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）由题意得，结合等比数列定义证明数列是等比数列；（2）由（1）可求即，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，所以，又，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】由(1)知 ，因为，所以，所以 ， ，两式相减，得 ，所以 22. 已知函数 （1）讨论函数的单调性;（2）设，当时，若对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；    （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解大于0或小于0的不等式作答.（2）求出函数及其导数，利用导数求出最小值建立不等式求解作答.【小问1详解】函数的定义域是，，当0时，恒成立，则函数在上单调递增；当0时，由得，由得，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当0时，函数的递增区间是；当0时，函数的递减区间是，递增区间是.【小问2详解】函数的定义域是，求导得，而，由得，由得，则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，因为对任意都成立，则当且仅当，即或，解得，所以实数的取值范围是.