中考数学二轮复习几何专项练习：圆教师版 (含答案)

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中考数学 几何专题练习：圆 【例1】         如图，为的直径，是的中点，交的延长线于，的切线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求的长．【答案】（1）连接．∵为中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴为切线．（2）连接，过作于∵平分，，，∴，∵为直径∴由得，设，则，∴，解得，，由图可知：，舍去，∴，由，得，即，解得：．  【例2】         已知，如图在矩形中，点在对角线上，以长为半径的圆与分别交于点，．（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求的半径．【答案】（1）与相切．连结∵是矩形，∴，∴∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是半径，∴与相切． （2）在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，∵是矩形，∴，∴，解法一：，设半径为，   在中，，∴，解得，∴的半径为．解法二：过点作于．，又，∴，由（1）可知，∴，∴，∴的半径为­．  【巩固】如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与相切于，与、分别相交于、．（1）求证：与相切．（2）若正方形的边长为，求的半径．【答案】连结，作于点．（1）∵切于，∴∵是正方形，是对角线，，∴，即是半径∴与相切．（2）由⑴易知四边形是正方形∴，设半径为正方形的边长为，∴对角线∴∴，即的半径为．  【例3】         已知：在中，是直径，是弦，于点，过点作直线，使，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）设与相交于点，若，求半径的长；（3）在（2）的条件下，当时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）连接（如图①），∵，∴．∵，∴．∴．又，∴． 即．∴是的切线．（2）连接(如图②)，∵，∴．又，∴且．∴． ∴．∵，∴．∴． 即半径是．（3）∵，由(2)知∵，∴是等边三角形．∴． 在中，．∴．  【例4】         如图，，以为直径的交于点，过作，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）作交于，垂足为，若，求弦的长．【答案】（1）连结∵，∴∵，∴∴，∴∵，∴，∵是半径，∴是的切线．（2）连结∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴．   【巩固】如图，在中，，以为直径的与交于点，过作，交的延长线于，垂足为．（1）求证：直线是的切线；（2）当时，求的值．【答案】（1）连结∵，∴∵，∴，∴，∴ ∵，∴，∵在上，是半径，∴是的切线．（2）连结，过点作于．由⑴知，∴．∵，，∴，又，∴，在中，，∴，∴．又，∴．  【例5】         如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．（1）求证：直线是的切线；（2）连接交于点，若，求的值．【答案】（1）连结∵是的直径，∴，∵是中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）连结，作于，由（1）知，，∵，∴，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．  【巩固】如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，交于点，，作于点，交于点．（1）求证：是的切线；（2）．【答案】（1）连结，∵，∴∵切于，∴∵为直径，∴∴，故是的切线．（2）∵，∴又∵，∴∴∵，∴．点评：（1）由于为直径，可考虑连结，构造直角三角形来解题，要证是的切线，证到即可．（2）可证到，考虑用比例线段证线段相等．  【巩固】如图，是的的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点．（1）求证：点是的中点；（2）求证：是的切线；（3）若，的半径为，求的长．【答案】（1）∵，∴，∴，∴．（2）连结由（1）知在和中，，∴∴，又∵，∴，即是的切线．（3）解法一：在中，，设∵，∴，又∵的半径为，∴，∵，即，解得(舍去)，∴．解法二：连结∵是直径，∴，∵的半径为，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴．  【例6】         如图，是的直径，，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，且．（1）证明是的切线；（2）设的半径为，且，求的长．【答案】（1）连接，∵是的直径，∴．∵，∴．又∵，∴．在中，∵，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．∴为的切线．（2）在中，，∴．∵，∴．在中，，，∴．∴．  【巩固】如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）若，且的半径长为，求和的长度．【答案】（1）∵是的直径，是的切线，∴．又∵，∥．易证，．∴，∴．∵是的中点，∴，∴．（2）连结．∵是的直径，．在中，由(1)，知是斜边的中点，，．又，．是的切线，．，是的切线．（3）过点作于点．∵，∴∥．由(1)，知，．由已知，有，，即是等腰三角形．∵，∴．∵，∴，即．∵∥，∥，∴四边形是矩形，．∵∥，易证．∴，即．∴的半径长为，．∴，解得．．∵，∴，∴．在中，，，由勾股定理，得．∴，解得(负值舍去)．∴．