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中考数学二轮复习培优专题47函数的综合问题之多函数综合题 (含答案)
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这是一份中考数学二轮复习培优专题47函数的综合问题之多函数综合题 (含答案)，共69页。试卷主要包含了选择题，四象限知k<0；，解答题等内容，欢迎下载使用。
47第9章函数的综合问题之多函数综合题
一、选择题
1．下列四个函数中，在自变量取值范围内随的增大而减小的是（）
A．（＜0） B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数自变量取值范围内y随x的增大而减小，结合函数图像性质，判断二次函数、反比例函数和一次函数，选出正确结论．
【解答】A.（＜0），如下图：当＜0时，y随x的增大而减小，A选项符合题意．
B.，如下图：x取值全体实数，当＜0时，y随x的增大而增大，B选项不符合题意．
C.，如下图：x取值全体实数，y随x的增大而增大，C选项不符合题意．
D.，如下图：x取值全体实数，y随x的增大而增大，D选项不符合题意．
故选：A
【点评】本题考查二次函数、反比例函数和一次函数增减性，掌握二次函数、反比例函数和一次函数图像增减性是解题关键．
2．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋2x＋b的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax＋b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2＋2x＋b的图象相比较看是否一致．
【解答】A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
3．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【答案】D
【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．
【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，
∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
4．如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数的图象于点和点，过点作轴于点，连结，若的面积与的面积相等，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】由反比例k的几何意义可得S△OCE=k，设D（x，），所以S△BOD=-x，再由已知可得k=-x，求得D（-k，-2），再将点D代入y=x-1即可求k的值．
【解答】解：由题意可求B（0，-1），
∵直线y=x-1与y1=交于点C，
∴S△OCE=k，
设D（x，），
∴S△BOD=×1×（-x）=-x，
∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴k=-x，
∴k=-x，
∴D（-k，-2），
∵D点在直线y=x-1上，
∴-2=-k-1，
∴k=2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质；熟练掌握反比函数的k的几何意义，函数上点的特征是解题的关键．
5．如图，点M为反比例函数y＝上的一点，过点M作x轴，y轴的垂线，分别交直线y＝-x+b于C，D两点，若直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，则AD·BC的值是（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
【答案】C
【分析】设点M的坐标为()，将代入y＝-x+b中求出C点坐标，同理求出D点坐标，再根据两点之间距离公式即可求解．
【解答】解：设点M的坐标为()，
将代入y＝-x+b中，得到C点坐标为()，
将代入y＝-x+b中，得到D点坐标为()，
∵直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，
∴A点坐标(0，b)，B点坐标为(b，0)，
∴AD×BC=，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M点坐标，用M点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．
6．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝6，BD＝3，EF＝8，则k1﹣k2的值是（ ）
A．10 B．18 C．12 D．16
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质可知，，结合和可求得的值．
【解答】解：连接、、、，如图：
由反比例函数的性质可知，，
，
①，
，
②，
由①②两式得：，
解得，
则，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
7．已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【解答】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
【点评】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
8．若函数与的图像如图所示，则函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据二次函数及反比例函数的图像确定k、c的正负，然后根据一次函数的性质即可解答．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k<0；
根据二次函数的图像可知a >0，b<0，c >0；
根据一次函数的性质可得：函数y=kx+c的大致图象经过一、二、四象限．
故答案为B．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键在于根据二次函数及反比例函数的图像确定k、c的正负．
9．正方形ABCD的边长为4，P 为BC上的动点，连接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，连接AQ ，则AQ的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】A
【分析】设BP=x，CQ=y，根据△ABP∽△PCQ可得y关于x的二次函数，利用二次函数的性质，求得y的最大值情况，则QD最小，则AQ最小．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
设BP=x，CQ=y
即，
∴y＝﹣+x＝﹣+1(0＜x＜4)，
∵﹣＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝2时，y有最大值1cm．此时QD=3
在Rt△AQP中，
故AQ的最小值是5
故选：A．
【点评】本题考查最值问题，是利用二次函数求最值的方式解决的，常见求最值方法有3种：利用对称求最值；利用三角形三边关系求最值；利用二次函数性质求最值．
10．如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
【答案】D
【分析】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点，求出点的坐标，连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，再求出直线DE的解析式，联立两条直线的解析式即可求出交点D的坐标．
【解答】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点
∵直线AB的解析式为
∴直线的解析式为
由
解得
∴直线AB与直线的交点坐标为
∵K是线段的中点
∴
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小
设直线DE的解析式为
可得
解得
∴直线DE的解析式为
联立直线DE和直线直线可得
解得
∴点D的坐标为
故答案为：D．
【点评】本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
11．直线y＝3kx+2(k﹣1)与抛物线y＝x2+2kx﹣2在﹣1≤x≤3范围内有唯一公共点，则k的取值为________．
【答案】1＜k≤或k＝0
【分析】联立方程组得到x2＝kx+2k，看成是联立而成的两个函数，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．
【解答】解：联立，
得：3kx+2（k﹣1）＝x2+2kx﹣2，
即，x2＝kx+2k，
可以看成是联立而成的两个函数，
∵y＝kx+2k＝k（x+2），
∴当x+2＝0时，此函数必过定点（﹣2，0），
即过（﹣2，0），（﹣1，1）的直线l1与过（﹣2，0），（3，9）的直线l2间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，
将（﹣1，1）代入y＝kx+2k得1＝﹣k+2k，
解得，k＝1，
将（3，9）代入y＝kx+2k得，9＝3k+2k，
解得，k＝，
当k＝1时，直线直线与抛物线在﹣1≤x≤3内有两个交点，
∴k≠1，
∴1＜k≤，当k＝0时，直线为y＝﹣2，抛物线为y＝x2﹣2，此时，在﹣1≤x≤3范围内有唯一公共点，
故答案为：1＜k≤或k＝0．
【点评】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
12．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点、，则的面积为_______．
【答案】
【分析】由题意得，，建立如图所示的平面直角坐标系，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM-S△OBN计算即可．
【解答】解：∵，，
∴
,
∵,
∴OA⊥OB．
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
∵
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
由待定系数法可得直线AB解析式为y′=-2x′+8，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，
联立，解得或，
∴
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形的性质以及一次函数和反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题．
13．如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点A（2，4），与y轴相交于点B（0，2），点C在该反比例函数的图象上运动，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】过C作CD∥y轴，交直线AB于点D．把A（2，4）代入y＝，求出k＝8，得到反比例函数的解析式，再把A（2，4），B（0，2）代入y＝mx+n，求出直线AB的解析式为y＝x+2．设C（t，），则D（t，t+2）．由三角形的面积公式可得S△ABC＝CD×2＝CD＝|t+2﹣|，根据△ABC的面积超过5列出不等式|t+2﹣|＞5，解不等式即可．
【解答】解：如图，过C作CD∥y轴，交直线AB于点D．
∵双曲线y＝（k＞0，x＞0）过点A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴y＝．
∵直线y＝mx+n过点A（2，4），B（0，2），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2．
设C（t，），则D（t，t+2），CD＝|t+2﹣|．
∵S△ABC＝CD×2＝CD＝|t+2﹣|，
∴当△ABC的面积超过5时，|t+2﹣|＞5，
∴t+2﹣＞5或t+2﹣＜﹣5．
①如果t+2﹣＞5，那么＞0，
∵t＞0，
∴t2﹣3t﹣8＞0，
∴t＞或t＜（舍去）；
②如果t+2﹣＜﹣5，那么＜0，
∵t＞0，
∴t2+7t﹣8＜0，
∴﹣8＜t＜1，
∴0＜t＜1．
综上所述，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是t＞或．
故答案为：t＞或0＜t＜1．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形面积，不等式的性质，一元二次方程解法等知识点，利用三角形面积等量代换列出不等式是解题的关键．
14．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为_____．
【答案】
【分析】先利用面积判断出BD＝AC，再判断出△AOC∽△ADO，进而建立方程求出AC＝BD，再判断出△ACE∽△ABO，进而求出CE，OE，即可得出结论．
【解答】解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH，GD，CH，
∵点C，D是反比例图象上的点，
∴S矩形FDHO＝S矩形GCEO，
∴S矩形FDHO＝S矩形GDEO．
∴S△DGH＝S△GHC．
∴点C，D到GH的距离相等．
∴CD∥GH．
∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形．
∴BD＝GH，GH＝CA．
即BD＝AC；
设AC＝BD＝m，
∵∠AOC＝∠ADO，
CAO＝∠DAO，
∴△AOC∽△ADO，
∴，
∴AO2＝AC•AD，
∴22＝m（2﹣m），
∴m＝±1（舍去+1），
过点C作CE⊥x轴于点E，
∴△ACE∽△ABO，
∴，
∴，
∴AE＝，CE＝，
∴OE＝OA﹣AE＝2﹣＝•OE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解函数的图像和性质，结合相似三角形解决问题.
15．在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
【答案】或
【分析】
首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.
【解答】
∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限），
∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)，
∴，
①当点B在第二象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
②当点B在第四象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
综上所述，点A坐标为：(，)或(，)，
故答案为：(，)或(，).
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
三、解答题
16．如图，直角坐标系中，一次函数的图像分别与，轴交于，两点，正比例函数的图像与交于点．
（1）求的值及的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）若点M是直线一动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的时，请直接写出出符合条件的点M的坐标；
（4）一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．
【答案】（1）；；（2）20；（3）M的坐标为，；（4）k的值是或2或．
【分析】（1）把点C代入可得出m的值，设为，即可得到结果；
（2）求出A的值，根据三角形面积计算即可；
（3）求出AM，BC，根据列出等式计算即可；
（4）由于一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，根据，，的位置关系分别判断即可；
【解答】（1）∵点在上，
∴，
∴，
∴，
设为，将代入，
得，
∴，
∴的解析式．
（2）由于，
∴与垂直，
由（1）可知，
在中，令，可得，解得，
∴，
令，可得,
∴，
∴．
（3）由题意可得：,
设，
则，
，
∴，
，
整理得：，
解得：，，
故M的坐标为，．
（4）∵一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，
∴当经过点时，；
当、平行时，；
当、平行时，；
故k的值是或2或．
【点评】本题主要考查了一次函数中的直线位置关系，准确分析计算是解题的关键．
17．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，
【分析】（1）证明，则，故点，故，即可求解；
（2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，
四边形为平行四边形，则，，
，，
故点，故，
则反比例函数表达式为：；
（2）翻折后点的坐标为：，
，
在反比例函数的图象上；
（3）如图示：
当时，点，；
当时，点；
当时，设点，
则，解得：；
综上，点的坐标为：，或或．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
18．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一周获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的周销售量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
120
110
100
90
80
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的周销售量固定为40件．试问：当x为多少时，线上和线下周利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）；（2）；730元．
【分析】（1）根据线下周销售量与线下售价存在一次函数关系，将表格中任意两个数值代入一次函数，计算求解即可．
（2）先算线上、线下销售额总数，再减去线上、线下总成本，所得结果就是线上、线下周利润总和，其结果可表示成以x为自变量的二次函数，运用求二次函数最大值的方法运算求解．
【解答】（1）解：线下的周销售量y与线下售价x()满足一次函数的关系，
，
从题中表格任取两组数值，联立二元一次方程组，
解得：
．
（2）解：设线下每件商品售价x元，线上每件商品售价元，
销售额=单价×销售量
线上、线下总销售额=，
成本=每件商品进价×件数
线上、线下总成本=，
总利润=总销售额-总成本
可列式子：
整理得：，
设总利润y与商品线下每件售价x存在二次函数关系：，
当 ，函数有最大值，
最大值为．
当时，线上和线下周利润总和达到最大，最大利润是730元．
【点评】本题考查一次函数、二次函数在销售中求最大值，找出题中的数量关系，掌握二次函数求最值的方法是解题关键．
19．某医药研究所研发了一种新药，试验药效时发现：1.5小时内，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的关系可近似地用二次函数y＝ax2+bx表示；1.5小时后（包括1.5小时），y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示，部分实验数据如表：
时间x（小时）
0.2
1
1.8
…
含药量y（微克）
7.2
20
12.5
…
（1）求a、b及k的值；
（2）服药后几小时血液中的含药量达到最大值？最大值为多少？
（3）如果每毫升血液中含药量不少于10微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间．（≈1.41，精确到0.1小时）
【答案】（1）a＝﹣20，b＝40，k＝22.5；（2）服药后1小时血液中的含药量达到最大值，最大值为20微克；（3）成人按规定剂量服用该药一次后能维持2.0小时的有效时间．
【分析】（1）根据表格信息代入数值列方程组求解即可；
（2）由（1）得到y＝﹣20x2+40x，化为顶点式即可得到结果；
（3）令y=10求出x的值就是所求的结果；
【解答】（1）设1.5小时内，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的关系为y＝ax2+bx，
根据表格得：，
解得：a＝﹣20，b＝40，
1.5小时后（包括1.5小时），y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0），根据表格得：
k＝1.8×12.5＝22.5，
∴a＝﹣20，b＝40，k＝22.5；
（2）由（1）知y＝﹣20x2+40x，
∴y＝﹣20（x﹣1）2+20，
∴服药后1小时血液中的含药量达到最大值，最大值为20微克；
（3）当y＝10时，10＝﹣20x2+40x，或10＝，
解得：x＝1﹣或x＝1+（ x＞1.5，不合题意舍去），x＝2.25，
∴成人按规定剂量服用该药一次后能维持2.25﹣（1﹣）≈2.0小时的有效时间．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，准确求解二次函数的解析式及一般式与顶点式的互化是解题的关键．
20．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A、B、C、D中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
Y1（分钟）
18
20
22
25
28
（1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间．
【答案】（1）；（2）李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短，最短时间为分钟
【分析】（1）先设函数表达式为，再结合表格数据利用待定系数法求解即可；
（2）设李华从文化宫回到家所需时间为y，则，根据二次函数的性质进一步分析求解即可.
【解答】（1）设关于x的函数表达式为：，
由表格可知：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴关于x的函数表达式为：；
（2）设李华从文化宫回到家所需时间为y，则，
即：，
∴，
∴当时，y有最小值，且，
∴李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短，最短时间为分钟.
【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质的综合应用，熟练掌握相关方法是解题关键.
21．如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，点是轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，设．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，求线段的最大值；
（3）若点在正半轴移动时，在和中当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应的值；
（4）若点在抛物线上，点在线段的中垂线上，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先确定出直线AB解析式，进而得出点D和点C的坐标，得出CD的函数关系式，即可得出结论；
（3）先确定，再分两种情况解绝对值方程即可；
（4）由点A和点B的坐标得出中点和△AOB是等腰直角三角形，可得线段的中垂线经过原点，设线段的中垂线为，联立方程组求解即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵，，∴直线AB的解析式为，
∵，∴，
∵，∴，
当时，；
（3）由（2）可知，，
①当时，∴，
即，解得：或（舍去）；
②当时，∴，
即，解得：或（舍去）；
∵点在正半轴移动，∴或，
综上所述，或；
（4）∵，，即OA=OB，
∴中点， △AOB是等腰直角三角形，
∴线段的中垂线经过原点，
∵点在线段的中垂线上，
设线段的中垂线为，把代入，得：，
，把①代入②，化简得：，
解得：，即点的横坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法、极值、绝对值方程、线段的中垂线、解一元二次方程等知识．
22．函数的图象记为（为常数），当与轴存在两个交点时，设交点为和（点在点的左侧），
（1）当时，直接写出与时间之间的函数的关系式；
（2）当时，求出点和点的坐标；
（3）当在部分的最高点到轴的距离为2时，求的值；
（4）点的坐标为，点的坐标为，当与线段有且仅有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）4或-4；（4）或
【分析】(1)将m=0代入函数即可得出结果；
(2)将m=6代入得到函数解析式，再令y=0即可得到结果；
(3)分两种情况讨论即可：①当m＞0时，②当m<0时；
(4)将，分别代入解析式即可得出结果．
【解答】解：(1)
(2)将m=6时，代入解析式得到，
当时，，则；
(3)当时，的最高点即为，
则（舍），，
当时，的最高点即为，
则（舍），，
(4)代入，
代入，
代入，
代入，
或．
【点评】本题主要考查的是分段函数，根据题目要求正确的分析每个题是解题的关键．
23．当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；
（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______．
（2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且．
①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得
则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________．
请你继续完成证明的后续过程：
②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．
【答案】（1）；（2）①，；证明见解析；②．
【分析】（1）联立直线与反比例函数，然后求解即可；
（2）①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，然后可得直线的解析式，进而可得点C坐标，同理可得点D坐标，如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，则有，进而可进行求解；
②根据题意可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，则的面积为与t的函数关系式可求解．
【解答】解：（1）∵①与②，联立①②解得，
（是的纵横坐标），
故答案为：；
①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，
解得，
则直线的解析式为，
令，
，
则点的坐标为，
同理．直线的解析式为；
令，
，
，
点的坐标为，
如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，
；，
，
为的中点，
垂直平分，
，
故答案为；
②当时，，
当时，．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
24．如图，函数的图象过点和两点
（1）求和的值；
（2）将直线沿轴向左移动得直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）n=4，k=8；（2）；（3）存在点，点的坐标为或或．
【分析】（1）把、点坐标代入反比例函数解析式列出、的方程组便可求得、的值；
（2）由点坐标求得直线的解析式，设，过作轴与交于点，根据，列出的方程求得点坐标，由平移性质设直线的解析式，再代入点坐标便可求得结果；
（3）先求出、的坐标，再分三种情况：①当，时，②当，时，③当，时，分别构造全等三角形求得点坐标便可．
【解答】解：（1）函数的图象过点和，两点．
，
解得，；
（2）由（1）知，，
设直线的解析式为，则
，
，
直线的解析式为：，
由（1）知反比例函数的解析式为：，
设，过作轴与交于点，如图1，
则，
，
，
，
解得，（舍，或，
，
将直线沿轴向左移动得直线，
设直线的解析式为：，
把代入中，得，
解得，，
直线的解析式为：；
（3）令，得，
令，得，解得，
，，
①当，时，如图2，过作轴于点，
，
，
，，
，
，，
；
②当，时，如图3，过作轴于点，
，
，
，，
，
，，
；
③当，时，如图4，过点作轴于点，作轴于点，
，
，
，，
，
，，
，
四边形为正方形，
，即，
，
，
；
综上，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，其点的坐标为或或．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．
25．定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．
（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；
（2）设点 在直线上运动：
①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．
②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）①抛物线的解析式为：；②
【分析】（1）a=b=2，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2，故答案为：y=x2-2x-2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；
（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：（m，m2+2m+2），即可求解；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【解答】解：（1），
故抛物线的表达式为：．
故答案为：；
将点、坐标代入得：
，
解得：，．
故答案为：；
（2）①由点、的坐标得：直线的表达式为：，
设点，则抛物线的表达式为：，
顶点为：，
令，则，
则
即抛物线的解析式为：；
②如图所示，抛物线落在内部为段，
抛物线与直线的交点为点；
当时，即，解得：
故点；
故，由①知：，
故：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线经过点A､B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若､是第一象限内抛物线上的两个动点，且．分别过点M､N做､垂直于x轴，分别交直线于点C､D．
①如果四边形是平行四边形，求m与n之间的关系；
②在①的前提下，求四边形的周长L的最大值；
（3）如图2，设抛物线与x轴的另一个交点为，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由？
【答案】（1）y=-x2+x+3；（2）① ，②四边形的周长L的最大值为；（3） 或
【分析】（1）根据y=-x+3，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；
（2）①由MNDC是平行四边形，可得MN∥CD，设M(m,-m2+m+3 ),N(n, -n2+n+3 )，过点D作NE⊥MC于E，由△NEM∽△AOB，得，把四边线段代入即可求得结果．②由△NEM∽△AOB，得，，根据求出MN，由平行四边形周长公式可得：MNDC周长=-2
（3）分点P在x轴的上方、点P在x轴的下方两种情况，分别求解
【解答】解：（1）在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y=-x2+bx+c中，得：
，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为：y=-x2+x+3．
（2）①如图，
过点N作NE⊥MC于E，设M(m,-m2+m+3 ),N(n, -n2+n+3 ),
ME=-m2+n2+(m-n)，NE=n-m
由△NEM∽△AOB，得 ，
，
②在Rt△AOB中，AB===5，
，
，
,
，
，
MNDC周长=2（NM+MC）=2 =
=-2
当m=时，四边形的周长L的最大值为；
（3）如图，抛物线与x轴的另一个交点为，则的坐标为
①当点P在x轴上方时，过点A作AE⊥于点E，
由，,
△RtAOB∽Rt△AEP，
∴ ，
令PE=3m，PA=4m，则AP=A’P=5m，m,
由勾股定理，得 ，
，
整理，得 ，
∴
=
=
②当点P在x轴下方时，则 ，
∴点P的坐标为 或
【点评】
本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形性质，平行四边形性质，二次函数最值问题等；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论．
27．某大学生利用40天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种成本为20元/件的商品，细心的他发现在第天销售的相关数据可近似地用如下表中的函数表示：
销售量
销售单价
当时，单价为
当时，单价为40
（1）求前20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（2）求后20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在后20天中，他决定每销售一件商品给山区孩子捐款元（且为整数），此时若还要求每一天的利润都不低于160元，求的值．
【答案】（1）前20天中，第15天获得利润最大，最大利润是元；（2）后20天中，第21天获得利润最大，最大利润是580元；（3）或4．
【分析】（1）设该加盟店的每天利润为元，先根据前20天的销售量和销售单价求出利润关于x的函数表达式，再利用二次函数的性质求解即可；
（2）同（1）的思路，先根据后20天的销售量和销售单价求出利润关于x的函数表达式，再利用一次函数的性质求解即可；
（3）先列出关于x的函数表达式，再根据“每一天的利润都不低于160元”列出不等式，从而可求出m的取值范围，由此即可得出答案．
【解答】设该加盟店的每天利润为元
（1）当时
由二次函数的性质可知，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小
则当时，取得最大值，最大值为元
答：前20天中，第15天获得利润最大，最大利润是元；
（2）当时
因为
所以当时，随增大而减小
则当时，取得最大值，最大值为（元）
答：后20天中，第21天获得利润最大，最大利润是580元；
（3）由题意得：
，且为整数
由一次函数的性质可知，当时，随增大而减小
则当时，取得最小值，最小值为（元）
要使每一天的利润都不低于160元，则只需的最小值不低于160元即可
则
解得
因此，m的取值范围为且为整数
故m的值为3或4．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式和不等式是解题关键．
28．如图，反比例函数y= （x0）过点A（4，3），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的所有D点的坐标．
【答案】（1）；（2）（4，1）或（4，5）或（8，﹣1）
【分析】（1）将A的坐标代入即可求出k的值，点B的横坐标为6，代入求出点B的坐标，
（2）根据不同情况，分别求出相应的点D的坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入y= （x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y= ．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y= ，得
y==6．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）
（2）A（4，3），B（6，2）、C（6，0），BC=2，
①过A作BC的平行线，在这条平行线上截取AD1=BC，AD2=BC，
此时D1（4，1），D2（4，5），
②过点C作AB的平行线与过B作AC的平行线相交于D3，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，过D3作D3N⊥BC，垂足为N，
∵ABCD3是平行四边形，
∴AC=BD3，∠ACM=∠DBN，
∴△ACM≌△D3BN （AAS）
∴D3N=AM=6-4=2，CM=BN=3，
∴D3的横坐标为6+2=8，CN=3-2=1
∴D3（8，-1）
∴符合条件的所有D点的坐标为（4，1），（4，5），（8，-1）．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和判定，分类讨论各种不同的情况下的结果是解决问题的关键．
29．如图，为已知抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①或或或；②点的坐标为(，)或（0，5）
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①先求得直线的表达式为：，利用，解方程即可；
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）①令，则，
解得或，即点，
如图1，过点作轴的平行线交于点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式得，
解得，
并解得：直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∴或，
解得或或或；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：，
将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
解方程组，得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
解方程组，
得：或（舍去），
则，
故点P (，)；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：，
将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：，
解方程组，
得：x=0或-4（舍去-4），
则，
故点P（0，5）；
故点P的坐标为(，)或（0，5）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
30．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）如图2，隐去OA，OB若点P为y轴上一动点，则平面内是否存在点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x﹣1；（2）；（3）存在，点P的坐标为（0，0）或（0，）或（0，）或（0，）或（0，）
【分析】（1）把点A、B的坐标代入双曲线即可求出m、n，然后利用待定系数法求解即可；
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，过A作轴于点C，过点B作轴于点D，先求出点G坐标，再利用S△ABO=S△AOG+S△BOG求解即可；
（3）易得OA=OB，于是可得点P与O重合时，如图3，A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，进而可得点P坐标；若BP=BA，可设点P坐标为（0，m），如图4，然后根据勾股定理可得关于m的方程，解方程即得结果；若AP=AB，如图5，同样的方法求解即可．
【解答】解：（1）把x=3代入，得m=2，所以点A的坐标为（3，2），
把x=﹣2代入，得n=﹣3，所以点B的坐标为（﹣2，﹣3），
把A，B的坐标代入y=kx+b，
得，解得：k=1，b=﹣1，
所以一次函数表达式为y=x﹣1；
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，过A作轴于点C，过点B作轴于点D，则BD=2，AC=3，
将x=0代入y=x﹣1得y=﹣1，所以点G（0，﹣1），所以OG=1，
所以S△ABO=S△AOG+S△BOG；
（3）∵，，∴OA=OB，
∴点P与O重合时，如图3，存在以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，此时P（0，0）；
若BP=BA=，设点P坐标为（0，m），如图4，过点B作轴于点D，则BD=2，
根据勾股定理得：，解得：；
∴点P的坐标为（0，）或（0，）；
若AP=AB=，设点P坐标为（0，m），如图5，过A作轴于点C，则AC=3，
根据勾股定理得：，解得：；
∴点P的坐标为（0，）或（0，）；
综上，平面内存在点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，且点P的坐标为（0，0）或（0，）或（0，）或（0，）或（0，）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、菱形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法等知识，正确分类、熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
31．已知抛物线C1：和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．若AP＝AQ，求点P的横坐标；
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
【答案】（1）将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到抛物线C2；（2）P点横坐标为；（3）m﹣n＝2
【分析】(1)根据“上加下减，左加右减”的平移规律平移即可；
(2)先求出点A点坐标，进而求出AB解析式，再联立直线AB与抛物线解析式，求出B点坐标，再根据AP＝AQ得出即可求解；
(3)先将直线ME和NE用m的代数式表示，再将直线ME和NE联立方程组求出E点坐标，再根据即可得到m和n的数量关系．
【解答】解：(1)根据“上加下减，左加右减”的原则，将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到抛物线C2；
(2)与x轴正半轴的交点A（3，0），
∵直线y＝x+b经过点A，∴b＝4，
∴y＝x+4，
消去，得
x＝3或x＝，
∴B（，），
设P（t，），且，
∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣2t﹣3），
当AP＝AQ时，
即﹣4+＝t2﹣2t﹣3，
∴t＝，
∴P点横坐标为，
故答案为：．
(3)设直线ME的解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
消去，得
x2﹣kx+km﹣m2＝0，
△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，
∴k＝2m，
∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，
同理， 直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，
∴E（，mn），
∴
=[(n2-mn)+(m2-mn)]×(m-n)-(n2-mn)×(-n)-(m2-mn)×(m-)＝2，
∴(m-n)3﹣＝4，
∴(m-n)3＝8，
∴m-n＝2，
故答案为：m-n＝2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．
32．我们知道：抛物线y＝a（x+m）2+n（其中a，m、n是常数，且a≠0）可以由抛物线y＝ax2平移得到；类似的：y＝+n（其中k，m，n是常数，且k≠0）的图象也可以由反比例函数y＝的图象平移得到．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0），（0，3），点D是OA的中点．连接OB，CD交于点E，函数y＝+n的图象经过B，E两点．
（1）求此函数的解析式；
（2）过线段BE中点M的一条直线与此函数的图象交于P，Q两点（P在线段BC上方），若四边形BPEQ面积为16，求点P的坐标．
【答案】（1）函数的关系式为：y＝+2；（2）点P的坐标为（7，5）
【分析】（1）求出直线OB的关系式和直线CD的关系式，进而求出交点E的坐标，再把点E、B的坐标代入，求出k、n的值，即可确定函数关系式，
（2）求出点M的坐标，根据函数图象的平移规律和反比例函数的图象的对称性，可以得到三角形PMB的面积为四边形BPEQ面积的四分之一，再根据三角形PMB的面积与点P的坐标之间的关系列方程求解即可，
【解答】解：（1）由题意得，B（9，3），D（4.5，0），
设直线OB的函数关系式为y＝kx，将B（9，3）代入得，
9k＝3，解得，k＝，
∴y＝x，
设直线CD的关系式为y＝kx+b，把C（0，3）、D（4.5，0）代入得，
，解得，k＝﹣，b＝3，
∴y＝﹣x+3，
由题意的，
，解得，x＝3，y＝1，
∴E（3，1），
把B（9，3）、E（3，1）代入函数y＝+n得，
，解得，k＝3，n＝2，
∴函数的关系式为：y＝+2．
（2）∵E（3，1），B（9，3），M是BE的中点，
∴M（6，2）
根据反比例函数图象的对称性可知，MB＝ME，MP＝MQ，
∴四边形PEQB是平行四边形，
∴S△PMB＝S四边形PEQB＝4，
设点P的坐标为（x，+2），
由题意得，（+1）（9﹣x）＝4，
整理得，x2﹣4x﹣21＝0，
解得：x＝7，或x＝﹣3（舍去），
当x＝7时，+2＝5，
因此点P的坐标为（7，5）
【点评】本题考查反比例函数和二次函数的图象和性质，图形的平移以及一元二次方程的应用，将点的坐标转化为线段的长，用坐标表示面积，列出方程求解是常用的方法
33．已知函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1
（1）若k＝2，则新函数y＝ ；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝ ，b＝ ；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式；
（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点B，A，函数的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．
【答案】（1）x2﹣6x+1；（2）5，﹣12；（3）①；② n＝﹣m2﹣m+4；（4）或﹣或﹣．
【解析】 【分析】
（1）把代入 再把 代入新函数即可得到答案，
（2）利用新函数的定义，结论关于的方程组即可得到答案，
（3）①利用新函数的定义，写出函数解析式，化为顶点式，利用二次函数的性质可得答案，②利用顶点坐标，消去
得到答案，
（4）先分别求解 的坐标，设，分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得答案．
【解答】
解：（1）当k＝2时， y1＝2kx+ k＝4x+2，
∵函数 ，定义新函数y＝y2﹣ y1，
∴y＝x2﹣2 x+3﹣4x﹣ 2 ＝x2﹣6x +1 ，
故答案为：x2﹣6x +1；
（2）函数y1＝2 kx+k与函数 ，定义新函数y＝y2﹣ y1，
∴新函数y的解析式为y＝x2 ﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣ 2（k+1）x +3 ﹣k，
∵新函数y的解析式为y＝x2+ bx﹣2，
∴b＝ ，3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣ 12，
故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数y＝ x2﹣2（k +1 ）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2 ﹣k2﹣3k +2，
∵新函数y顶点为（m，n），
∴
∴ ，
当时，的最大值
②由①知，
将k＝m﹣1代入 n＝﹣k2﹣3 k+2得：
∴n＝﹣m2﹣ m+4；
（4）∵函数y1＝ 2kx+k＝k （2x+1），
当2x+1＝0 即x＝ 时，y＝0，
∴A（ ，0），
∵新函数y＝x2﹣ 2（k+1）x +3 ﹣k＝x2﹣ 2（k+1）x ﹣（ k+1）+4＝x 2 ﹣（k+1）（2x +1）+4，
当2x+1＝0 ，即x＝ 时，y＝
∴B ，
∵函数
∴C（1，2 ），
设D（c，d ），
∵以点A，B，C ，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴①当BC与AD为对角线时，
∴
∴D（1， ），
将点D坐标代入新函数y＝x 2﹣2（k+1 ） x+3﹣k，
得，1﹣2（k +1）+3﹣k＝，
∴
②当AB与CD是对角线时，
∴D（ ），
将点D坐标代入新函数y＝x2 ﹣2（k +1）x+3﹣k
得，4+4（k+1） +3﹣k＝ ，
∴k＝ ，
③当AC与BD为对角线时，
∴
∴D（1， ），
将点D坐标代入新函数y＝x2 ﹣2（k +1）x+3﹣k
得，1﹣2（k +1）+3﹣k＝，
∴k＝ ，
即满足条件的k的值为 或或 ．
【点评】
本题考查的是二次函数的新定义题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
34．在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数y=ax+b的图象经过点A(1，5)和点B(n，1)．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点M是线段AB下方反比例函数图象上的一动点，过点M作x轴的垂线，与一次函数y=ax+b的图象交于点P，连接OP、OM，求的面积的最大值．
【答案】（1），；（2）3
【分析】（1）由已知的点A坐标求得反比例函数解析式，由解析式确定点B的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）假设点M横的坐标是m，可以根据解析式分别写出M、P的纵坐标，从而表示出的底，高即是m，因此可以写出面积的表达式，再计算最值.
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（1，5）和点B（n，1）.
∴ 1×5＝n×1＝5
∴ k＝5，n＝5
∴反比例函数的表达式为
∵一次函数的图象经过点A（1，5）和点B（5，1）
∴
∴
一次函数的表达式为：
（2）设点M（m， ），则点P（m，），
∴PM＝ ﹣
∴
∴
∴（ ）
∵，开口向下，S有最大值
∴当m＝3时， 最大，最大值为2
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，要先确定需要的点；考查了面积的最大值与二次函数的结合，假设点的坐标是关键.
35．如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于两点，以为直径作圆，圆心为点，圆与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆与轴相切；
（3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为求的值．
【答案】（1）（2）见详解（3）
【分析】（1）可以利用二次函数顶点式求出解析式；
（2）根据抛物线与直线交于 、两点，直接将两式联立可以求出 、坐标，从而确定点的纵坐标以及的长度，进一步可得出圆心到轴的距离等于半径，即可得证最后结论；
（3）在（1）、（2）结论以及已知条件分别求出、的长，即可求得答案．
【解答】解：（1）设抛物线方程为
∵抛物线的顶点坐标是
∴
∵抛物线经过点
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
（2）∵直线与抛物线交于 、两点
∴
∴，
∴，
∵点是的中点
∴点的纵坐标是
∵
∴的半径
∴圆心到轴的距离等于半径
∴与轴相切
（3）过点作，垂足为，连接，如图：
∵由（2）可知，，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案是：（1）（2）见详解（3）
【点评】此题主要考查了求二次函数解析式，以及一次函数、二次函数以及圆的综合应用，综合性比较强，难度较大．
47第9章函数的综合问题之多函数综合题
一、选择题
1．下列四个函数中，在自变量取值范围内随的增大而减小的是（）
A．（＜0） B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数自变量取值范围内y随x的增大而减小，结合函数图像性质，判断二次函数、反比例函数和一次函数，选出正确结论．
【解答】A.（＜0），如下图：当＜0时，y随x的增大而减小，A选项符合题意．
B.，如下图：x取值全体实数，当＜0时，y随x的增大而增大，B选项不符合题意．
C.，如下图：x取值全体实数，y随x的增大而增大，C选项不符合题意．
D.，如下图：x取值全体实数，y随x的增大而增大，D选项不符合题意．
故选：A
【点评】本题考查二次函数、反比例函数和一次函数增减性，掌握二次函数、反比例函数和一次函数图像增减性是解题关键．
2．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋2x＋b的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax＋b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2＋2x＋b的图象相比较看是否一致．
【解答】A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
3．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【答案】D
【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．
【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，
∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
4．如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数的图象于点和点，过点作轴于点，连结，若的面积与的面积相等，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】由反比例k的几何意义可得S△OCE=k，设D（x，），所以S△BOD=-x，再由已知可得k=-x，求得D（-k，-2），再将点D代入y=x-1即可求k的值．
【解答】解：由题意可求B（0，-1），
∵直线y=x-1与y1=交于点C，
∴S△OCE=k，
设D（x，），
∴S△BOD=×1×（-x）=-x，
∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴k=-x，
∴k=-x，
∴D（-k，-2），
∵D点在直线y=x-1上，
∴-2=-k-1，
∴k=2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质；熟练掌握反比函数的k的几何意义，函数上点的特征是解题的关键．
5．如图，点M为反比例函数y＝上的一点，过点M作x轴，y轴的垂线，分别交直线y＝-x+b于C，D两点，若直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，则AD·BC的值是（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
【答案】C
【分析】设点M的坐标为()，将代入y＝-x+b中求出C点坐标，同理求出D点坐标，再根据两点之间距离公式即可求解．
【解答】解：设点M的坐标为()，
将代入y＝-x+b中，得到C点坐标为()，
将代入y＝-x+b中，得到D点坐标为()，
∵直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，
∴A点坐标(0，b)，B点坐标为(b，0)，
∴AD×BC=，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M点坐标，用M点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．
6．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝6，BD＝3，EF＝8，则k1﹣k2的值是（ ）
A．10 B．18 C．12 D．16
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质可知，，结合和可求得的值．
【解答】解：连接、、、，如图：
由反比例函数的性质可知，，
，
①，
，
②，
由①②两式得：，
解得，
则，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
7．已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【解答】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
【点评】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
8．若函数与的图像如图所示，则函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据二次函数及反比例函数的图像确定k、c的正负，然后根据一次函数的性质即可解答．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k<0；
根据二次函数的图像可知a >0，b<0，c >0；
根据一次函数的性质可得：函数y=kx+c的大致图象经过一、二、四象限．
故答案为B．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键在于根据二次函数及反比例函数的图像确定k、c的正负．
9．正方形ABCD的边长为4，P 为BC上的动点，连接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，连接AQ ，则AQ的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】A
【分析】设BP=x，CQ=y，根据△ABP∽△PCQ可得y关于x的二次函数，利用二次函数的性质，求得y的最大值情况，则QD最小，则AQ最小．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
设BP=x，CQ=y
即，
∴y＝﹣+x＝﹣+1(0＜x＜4)，
∵﹣＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝2时，y有最大值1cm．此时QD=3
在Rt△AQP中，
故AQ的最小值是5
故选：A．
【点评】本题考查最值问题，是利用二次函数求最值的方式解决的，常见求最值方法有3种：利用对称求最值；利用三角形三边关系求最值；利用二次函数性质求最值．
10．如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
【答案】D
【分析】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点，求出点的坐标，连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，再求出直线DE的解析式，联立两条直线的解析式即可求出交点D的坐标．
【解答】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点
∵直线AB的解析式为
∴直线的解析式为
由
解得
∴直线AB与直线的交点坐标为
∵K是线段的中点
∴
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小
设直线DE的解析式为
可得
解得
∴直线DE的解析式为
联立直线DE和直线直线可得
解得
∴点D的坐标为
故答案为：D．
【点评】本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
11．直线y＝3kx+2(k﹣1)与抛物线y＝x2+2kx﹣2在﹣1≤x≤3范围内有唯一公共点，则k的取值为________．
【答案】1＜k≤或k＝0
【分析】联立方程组得到x2＝kx+2k，看成是联立而成的两个函数，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．
【解答】解：联立，
得：3kx+2（k﹣1）＝x2+2kx﹣2，
即，x2＝kx+2k，
可以看成是联立而成的两个函数，
∵y＝kx+2k＝k（x+2），
∴当x+2＝0时，此函数必过定点（﹣2，0），
即过（﹣2，0），（﹣1，1）的直线l1与过（﹣2，0），（3，9）的直线l2间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，
将（﹣1，1）代入y＝kx+2k得1＝﹣k+2k，
解得，k＝1，
将（3，9）代入y＝kx+2k得，9＝3k+2k，
解得，k＝，
当k＝1时，直线直线与抛物线在﹣1≤x≤3内有两个交点，
∴k≠1，
∴1＜k≤，当k＝0时，直线为y＝﹣2，抛物线为y＝x2﹣2，此时，在﹣1≤x≤3范围内有唯一公共点，
故答案为：1＜k≤或k＝0．
【点评】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
12．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点、，则的面积为_______．
【答案】
【分析】由题意得，，建立如图所示的平面直角坐标系，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM-S△OBN计算即可．
【解答】解：∵，，
∴
,
∵,
∴OA⊥OB．
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
∵
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
由待定系数法可得直线AB解析式为y′=-2x′+8，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，
联立，解得或，
∴
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形的性质以及一次函数和反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题．
13．如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点A（2，4），与y轴相交于点B（0，2），点C在该反比例函数的图象上运动，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】过C作CD∥y轴，交直线AB于点D．把A（2，4）代入y＝，求出k＝8，得到反比例函数的解析式，再把A（2，4），B（0，2）代入y＝mx+n，求出直线AB的解析式为y＝x+2．设C（t，），则D（t，t+2）．由三角形的面积公式可得S△ABC＝CD×2＝CD＝|t+2﹣|，根据△ABC的面积超过5列出不等式|t+2﹣|＞5，解不等式即可．
【解答】解：如图，过C作CD∥y轴，交直线AB于点D．
∵双曲线y＝（k＞0，x＞0）过点A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴y＝．
∵直线y＝mx+n过点A（2，4），B（0，2），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+2．
设C（t，），则D（t，t+2），CD＝|t+2﹣|．
∵S△ABC＝CD×2＝CD＝|t+2﹣|，
∴当△ABC的面积超过5时，|t+2﹣|＞5，
∴t+2﹣＞5或t+2﹣＜﹣5．
①如果t+2﹣＞5，那么＞0，
∵t＞0，
∴t2﹣3t﹣8＞0，
∴t＞或t＜（舍去）；
②如果t+2﹣＜﹣5，那么＜0，
∵t＞0，
∴t2+7t﹣8＜0，
∴﹣8＜t＜1，
∴0＜t＜1．
综上所述，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是t＞或．
故答案为：t＞或0＜t＜1．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形面积，不等式的性质，一元二次方程解法等知识点，利用三角形面积等量代换列出不等式是解题的关键．
14．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为_____．
【答案】
【分析】先利用面积判断出BD＝AC，再判断出△AOC∽△ADO，进而建立方程求出AC＝BD，再判断出△ACE∽△ABO，进而求出CE，OE，即可得出结论．
【解答】解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH，GD，CH，
∵点C，D是反比例图象上的点，
∴S矩形FDHO＝S矩形GCEO，
∴S矩形FDHO＝S矩形GDEO．
∴S△DGH＝S△GHC．
∴点C，D到GH的距离相等．
∴CD∥GH．
∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形．
∴BD＝GH，GH＝CA．
即BD＝AC；
设AC＝BD＝m，
∵∠AOC＝∠ADO，
CAO＝∠DAO，
∴△AOC∽△ADO，
∴，
∴AO2＝AC•AD，
∴22＝m（2﹣m），
∴m＝±1（舍去+1），
过点C作CE⊥x轴于点E，
∴△ACE∽△ABO，
∴，
∴，
∴AE＝，CE＝，
∴OE＝OA﹣AE＝2﹣＝•OE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解函数的图像和性质，结合相似三角形解决问题.
15．在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
【答案】或
【分析】
首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.
【解答】
∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限），
∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)，
∴，
①当点B在第二象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
②当点B在第四象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
综上所述，点A坐标为：(，)或(，)，
故答案为：(，)或(，).
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
三、解答题
16．如图，直角坐标系中，一次函数的图像分别与，轴交于，两点，正比例函数的图像与交于点．
（1）求的值及的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）若点M是直线一动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的时，请直接写出出符合条件的点M的坐标；
（4）一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．
【答案】（1）；；（2）20；（3）M的坐标为，；（4）k的值是或2或．
【分析】（1）把点C代入可得出m的值，设为，即可得到结果；
（2）求出A的值，根据三角形面积计算即可；
（3）求出AM，BC，根据列出等式计算即可；
（4）由于一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，根据，，的位置关系分别判断即可；
【解答】（1）∵点在上，
∴，
∴，
∴，
设为，将代入，
得，
∴，
∴的解析式．
（2）由于，
∴与垂直，
由（1）可知，
在中，令，可得，解得，
∴，
令，可得,
∴，
∴．
（3）由题意可得：,
设，
则，
，
∴，
，
整理得：，
解得：，，
故M的坐标为，．
（4）∵一次函数的图像为，且，，不能围成三角形，
∴当经过点时，；
当、平行时，；
当、平行时，；
故k的值是或2或．
【点评】本题主要考查了一次函数中的直线位置关系，准确分析计算是解题的关键．
17．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，
【分析】（1）证明，则，故点，故，即可求解；
（2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，
四边形为平行四边形，则，，
，，
故点，故，
则反比例函数表达式为：；
（2）翻折后点的坐标为：，
，
在反比例函数的图象上；
（3）如图示：
当时，点，；
当时，点；
当时，设点，
则，解得：；
综上，点的坐标为：，或或．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
18．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一周获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的周销售量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
120
110
100
90
80
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的周销售量固定为40件．试问：当x为多少时，线上和线下周利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）；（2）；730元．
【分析】（1）根据线下周销售量与线下售价存在一次函数关系，将表格中任意两个数值代入一次函数，计算求解即可．
（2）先算线上、线下销售额总数，再减去线上、线下总成本，所得结果就是线上、线下周利润总和，其结果可表示成以x为自变量的二次函数，运用求二次函数最大值的方法运算求解．
【解答】（1）解：线下的周销售量y与线下售价x()满足一次函数的关系，
，
从题中表格任取两组数值，联立二元一次方程组，
解得：
．
（2）解：设线下每件商品售价x元，线上每件商品售价元，
销售额=单价×销售量
线上、线下总销售额=，
成本=每件商品进价×件数
线上、线下总成本=，
总利润=总销售额-总成本
可列式子：
整理得：，
设总利润y与商品线下每件售价x存在二次函数关系：，
当 ，函数有最大值，
最大值为．
当时，线上和线下周利润总和达到最大，最大利润是730元．
【点评】本题考查一次函数、二次函数在销售中求最大值，找出题中的数量关系，掌握二次函数求最值的方法是解题关键．
19．某医药研究所研发了一种新药，试验药效时发现：1.5小时内，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的关系可近似地用二次函数y＝ax2+bx表示；1.5小时后（包括1.5小时），y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示，部分实验数据如表：
时间x（小时）
0.2
1
1.8
…
含药量y（微克）
7.2
20
12.5
…
（1）求a、b及k的值；
（2）服药后几小时血液中的含药量达到最大值？最大值为多少？
（3）如果每毫升血液中含药量不少于10微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间．（≈1.41，精确到0.1小时）
【答案】（1）a＝﹣20，b＝40，k＝22.5；（2）服药后1小时血液中的含药量达到最大值，最大值为20微克；（3）成人按规定剂量服用该药一次后能维持2.0小时的有效时间．
【分析】（1）根据表格信息代入数值列方程组求解即可；
（2）由（1）得到y＝﹣20x2+40x，化为顶点式即可得到结果；
（3）令y=10求出x的值就是所求的结果；
【解答】（1）设1.5小时内，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的关系为y＝ax2+bx，
根据表格得：，
解得：a＝﹣20，b＝40，
1.5小时后（包括1.5小时），y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0），根据表格得：
k＝1.8×12.5＝22.5，
∴a＝﹣20，b＝40，k＝22.5；
（2）由（1）知y＝﹣20x2+40x，
∴y＝﹣20（x﹣1）2+20，
∴服药后1小时血液中的含药量达到最大值，最大值为20微克；
（3）当y＝10时，10＝﹣20x2+40x，或10＝，
解得：x＝1﹣或x＝1+（ x＞1.5，不合题意舍去），x＝2.25，
∴成人按规定剂量服用该药一次后能维持2.25﹣（1﹣）≈2.0小时的有效时间．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，准确求解二次函数的解析式及一般式与顶点式的互化是解题的关键．
20．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A、B、C、D中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
Y1（分钟）
18
20
22
25
28
（1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间．
【答案】（1）；（2）李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短，最短时间为分钟
【分析】（1）先设函数表达式为，再结合表格数据利用待定系数法求解即可；
（2）设李华从文化宫回到家所需时间为y，则，根据二次函数的性质进一步分析求解即可.
【解答】（1）设关于x的函数表达式为：，
由表格可知：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴关于x的函数表达式为：；
（2）设李华从文化宫回到家所需时间为y，则，
即：，
∴，
∴当时，y有最小值，且，
∴李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短，最短时间为分钟.
【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质的综合应用，熟练掌握相关方法是解题关键.
21．如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，点是轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，设．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，求线段的最大值；
（3）若点在正半轴移动时，在和中当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应的值；
（4）若点在抛物线上，点在线段的中垂线上，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先确定出直线AB解析式，进而得出点D和点C的坐标，得出CD的函数关系式，即可得出结论；
（3）先确定，再分两种情况解绝对值方程即可；
（4）由点A和点B的坐标得出中点和△AOB是等腰直角三角形，可得线段的中垂线经过原点，设线段的中垂线为，联立方程组求解即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵，，∴直线AB的解析式为，
∵，∴，
∵，∴，
当时，；
（3）由（2）可知，，
①当时，∴，
即，解得：或（舍去）；
②当时，∴，
即，解得：或（舍去）；
∵点在正半轴移动，∴或，
综上所述，或；
（4）∵，，即OA=OB，
∴中点， △AOB是等腰直角三角形，
∴线段的中垂线经过原点，
∵点在线段的中垂线上，
设线段的中垂线为，把代入，得：，
，把①代入②，化简得：，
解得：，即点的横坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法、极值、绝对值方程、线段的中垂线、解一元二次方程等知识．
22．函数的图象记为（为常数），当与轴存在两个交点时，设交点为和（点在点的左侧），
（1）当时，直接写出与时间之间的函数的关系式；
（2）当时，求出点和点的坐标；
（3）当在部分的最高点到轴的距离为2时，求的值；
（4）点的坐标为，点的坐标为，当与线段有且仅有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）4或-4；（4）或
【分析】(1)将m=0代入函数即可得出结果；
(2)将m=6代入得到函数解析式，再令y=0即可得到结果；
(3)分两种情况讨论即可：①当m＞0时，②当m<0时；
(4)将，分别代入解析式即可得出结果．
【解答】解：(1)
(2)将m=6时，代入解析式得到，
当时，，则；
(3)当时，的最高点即为，
则（舍），，
当时，的最高点即为，
则（舍），，
(4)代入，
代入，
代入，
代入，
或．
【点评】本题主要考查的是分段函数，根据题目要求正确的分析每个题是解题的关键．
23．当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；
（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______．
（2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且．
①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得
则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________．
请你继续完成证明的后续过程：
②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．
【答案】（1）；（2）①，；证明见解析；②．
【分析】（1）联立直线与反比例函数，然后求解即可；
（2）①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，然后可得直线的解析式，进而可得点C坐标，同理可得点D坐标，如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，则有，进而可进行求解；
②根据题意可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，则的面积为与t的函数关系式可求解．
【解答】解：（1）∵①与②，联立①②解得，
（是的纵横坐标），
故答案为：；
①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，
解得，
则直线的解析式为，
令，
，
则点的坐标为，
同理．直线的解析式为；
令，
，
，
点的坐标为，
如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，
；，
，
为的中点，
垂直平分，
，
故答案为；
②当时，，
当时，．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
24．如图，函数的图象过点和两点
（1）求和的值；
（2）将直线沿轴向左移动得直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）n=4，k=8；（2）；（3）存在点，点的坐标为或或．
【分析】（1）把、点坐标代入反比例函数解析式列出、的方程组便可求得、的值；
（2）由点坐标求得直线的解析式，设，过作轴与交于点，根据，列出的方程求得点坐标，由平移性质设直线的解析式，再代入点坐标便可求得结果；
（3）先求出、的坐标，再分三种情况：①当，时，②当，时，③当，时，分别构造全等三角形求得点坐标便可．
【解答】解：（1）函数的图象过点和，两点．
，
解得，；
（2）由（1）知，，
设直线的解析式为，则
，
，
直线的解析式为：，
由（1）知反比例函数的解析式为：，
设，过作轴与交于点，如图1，
则，
，
，
，
解得，（舍，或，
，
将直线沿轴向左移动得直线，
设直线的解析式为：，
把代入中，得，
解得，，
直线的解析式为：；
（3）令，得，
令，得，解得，
，，
①当，时，如图2，过作轴于点，
，
，
，，
，
，，
；
②当，时，如图3，过作轴于点，
，
，
，，
，
，，
；
③当，时，如图4，过点作轴于点，作轴于点，
，
，
，，
，
，，
，
四边形为正方形，
，即，
，
，
；
综上，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，其点的坐标为或或．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．
25．定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．
（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；
（2）设点 在直线上运动：
①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．
②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）①抛物线的解析式为：；②
【分析】（1）a=b=2，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2，故答案为：y=x2-2x-2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；
（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：（m，m2+2m+2），即可求解；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【解答】解：（1），
故抛物线的表达式为：．
故答案为：；
将点、坐标代入得：
，
解得：，．
故答案为：；
（2）①由点、的坐标得：直线的表达式为：，
设点，则抛物线的表达式为：，
顶点为：，
令，则，
则
即抛物线的解析式为：；
②如图所示，抛物线落在内部为段，
抛物线与直线的交点为点；
当时，即，解得：
故点；
故，由①知：，
故：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线经过点A､B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若､是第一象限内抛物线上的两个动点，且．分别过点M､N做､垂直于x轴，分别交直线于点C､D．
①如果四边形是平行四边形，求m与n之间的关系；
②在①的前提下，求四边形的周长L的最大值；
（3）如图2，设抛物线与x轴的另一个交点为，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由？
【答案】（1）y=-x2+x+3；（2）① ，②四边形的周长L的最大值为；（3） 或
【分析】（1）根据y=-x+3，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；
（2）①由MNDC是平行四边形，可得MN∥CD，设M(m,-m2+m+3 ),N(n, -n2+n+3 )，过点D作NE⊥MC于E，由△NEM∽△AOB，得，把四边线段代入即可求得结果．②由△NEM∽△AOB，得，，根据求出MN，由平行四边形周长公式可得：MNDC周长=-2
（3）分点P在x轴的上方、点P在x轴的下方两种情况，分别求解
【解答】解：（1）在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y=-x2+bx+c中，得：
，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为：y=-x2+x+3．
（2）①如图，
过点N作NE⊥MC于E，设M(m,-m2+m+3 ),N(n, -n2+n+3 ),
ME=-m2+n2+(m-n)，NE=n-m
由△NEM∽△AOB，得 ，
，
②在Rt△AOB中，AB===5，
，
，
,
，
，
MNDC周长=2（NM+MC）=2 =
=-2
当m=时，四边形的周长L的最大值为；
（3）如图，抛物线与x轴的另一个交点为，则的坐标为
①当点P在x轴上方时，过点A作AE⊥于点E，
由，,
△RtAOB∽Rt△AEP，
∴ ，
令PE=3m，PA=4m，则AP=A’P=5m，m,
由勾股定理，得 ，
，
整理，得 ，
∴
=
=
②当点P在x轴下方时，则 ，
∴点P的坐标为 或
【点评】
本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形性质，平行四边形性质，二次函数最值问题等；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论．
27．某大学生利用40天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种成本为20元/件的商品，细心的他发现在第天销售的相关数据可近似地用如下表中的函数表示：
销售量
销售单价
当时，单价为
当时，单价为40
（1）求前20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（2）求后20天第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在后20天中，他决定每销售一件商品给山区孩子捐款元（且为整数），此时若还要求每一天的利润都不低于160元，求的值．
【答案】（1）前20天中，第15天获得利润最大，最大利润是元；（2）后20天中，第21天获得利润最大，最大利润是580元；（3）或4．
【分析】（1）设该加盟店的每天利润为元，先根据前20天的销售量和销售单价求出利润关于x的函数表达式，再利用二次函数的性质求解即可；
（2）同（1）的思路，先根据后20天的销售量和销售单价求出利润关于x的函数表达式，再利用一次函数的性质求解即可；
（3）先列出关于x的函数表达式，再根据“每一天的利润都不低于160元”列出不等式，从而可求出m的取值范围，由此即可得出答案．
【解答】设该加盟店的每天利润为元
（1）当时
由二次函数的性质可知，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小
则当时，取得最大值，最大值为元
答：前20天中，第15天获得利润最大，最大利润是元；
（2）当时
因为
所以当时，随增大而减小
则当时，取得最大值，最大值为（元）
答：后20天中，第21天获得利润最大，最大利润是580元；
（3）由题意得：
，且为整数
由一次函数的性质可知，当时，随增大而减小
则当时，取得最小值，最小值为（元）
要使每一天的利润都不低于160元，则只需的最小值不低于160元即可
则
解得
因此，m的取值范围为且为整数
故m的值为3或4．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式和不等式是解题关键．
28．如图，反比例函数y= （x0）过点A（4，3），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的所有D点的坐标．
【答案】（1）；（2）（4，1）或（4，5）或（8，﹣1）
【分析】（1）将A的坐标代入即可求出k的值，点B的横坐标为6，代入求出点B的坐标，
（2）根据不同情况，分别求出相应的点D的坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入y= （x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y= ．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y= ，得
y==6．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）
（2）A（4，3），B（6，2）、C（6，0），BC=2，
①过A作BC的平行线，在这条平行线上截取AD1=BC，AD2=BC，
此时D1（4，1），D2（4，5），
②过点C作AB的平行线与过B作AC的平行线相交于D3，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，过D3作D3N⊥BC，垂足为N，
∵ABCD3是平行四边形，
∴AC=BD3，∠ACM=∠DBN，
∴△ACM≌△D3BN （AAS）
∴D3N=AM=6-4=2，CM=BN=3，
∴D3的横坐标为6+2=8，CN=3-2=1
∴D3（8，-1）
∴符合条件的所有D点的坐标为（4，1），（4，5），（8，-1）．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和判定，分类讨论各种不同的情况下的结果是解决问题的关键．
29．如图，为已知抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①或或或；②点的坐标为(，)或（0，5）
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①先求得直线的表达式为：，利用，解方程即可；
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）①令，则，
解得或，即点，
如图1，过点作轴的平行线交于点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式得，
解得，
并解得：直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∴或，
解得或或或；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：，
将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
解方程组，得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
解方程组，
得：或（舍去），
则，
故点P (，)；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：，
将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：，
解方程组，
得：x=0或-4（舍去-4），
则，
故点P（0，5）；
故点P的坐标为(，)或（0，5）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
30．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）如图2，隐去OA，OB若点P为y轴上一动点，则平面内是否存在点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x﹣1；（2）；（3）存在，点P的坐标为（0，0）或（0，）或（0，）或（0，）或（0，）
【分析】（1）把点A、B的坐标代入双曲线即可求出m、n，然后利用待定系数法求解即可；
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，过A作轴于点C，过点B作轴于点D，先求出点G坐标，再利用S△ABO=S△AOG+S△BOG求解即可；
（3）易得OA=OB，于是可得点P与O重合时，如图3，A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，进而可得点P坐标；若BP=BA，可设点P坐标为（0，m），如图4，然后根据勾股定理可得关于m的方程，解方程即得结果；若AP=AB，如图5，同样的方法求解即可．
【解答】解：（1）把x=3代入，得m=2，所以点A的坐标为（3，2），
把x=﹣2代入，得n=﹣3，所以点B的坐标为（﹣2，﹣3），
把A，B的坐标代入y=kx+b，
得，解得：k=1，b=﹣1，
所以一次函数表达式为y=x﹣1；
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，过A作轴于点C，过点B作轴于点D，则BD=2，AC=3，
将x=0代入y=x﹣1得y=﹣1，所以点G（0，﹣1），所以OG=1，
所以S△ABO=S△AOG+S△BOG；
（3）∵，，∴OA=OB，
∴点P与O重合时，如图3，存在以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，此时P（0，0）；
若BP=BA=，设点P坐标为（0，m），如图4，过点B作轴于点D，则BD=2，
根据勾股定理得：，解得：；
∴点P的坐标为（0，）或（0，）；
若AP=AB=，设点P坐标为（0，m），如图5，过A作轴于点C，则AC=3，
根据勾股定理得：，解得：；
∴点P的坐标为（0，）或（0，）；
综上，平面内存在点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，且点P的坐标为（0，0）或（0，）或（0，）或（0，）或（0，）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、菱形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法等知识，正确分类、熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
31．已知抛物线C1：和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．若AP＝AQ，求点P的横坐标；
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
【答案】（1）将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到抛物线C2；（2）P点横坐标为；（3）m﹣n＝2
【分析】(1)根据“上加下减，左加右减”的平移规律平移即可；
(2)先求出点A点坐标，进而求出AB解析式，再联立直线AB与抛物线解析式，求出B点坐标，再根据AP＝AQ得出即可求解；
(3)先将直线ME和NE用m的代数式表示，再将直线ME和NE联立方程组求出E点坐标，再根据即可得到m和n的数量关系．
【解答】解：(1)根据“上加下减，左加右减”的原则，将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到抛物线C2；
(2)与x轴正半轴的交点A（3，0），
∵直线y＝x+b经过点A，∴b＝4，
∴y＝x+4，
消去，得
x＝3或x＝，
∴B（，），
设P（t，），且，
∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣2t﹣3），
当AP＝AQ时，
即﹣4+＝t2﹣2t﹣3，
∴t＝，
∴P点横坐标为，
故答案为：．
(3)设直线ME的解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
消去，得
x2﹣kx+km﹣m2＝0，
△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，
∴k＝2m，
∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，
同理， 直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，
∴E（，mn），
∴
=[(n2-mn)+(m2-mn)]×(m-n)-(n2-mn)×(-n)-(m2-mn)×(m-)＝2，
∴(m-n)3﹣＝4，
∴(m-n)3＝8，
∴m-n＝2，
故答案为：m-n＝2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．
32．我们知道：抛物线y＝a（x+m）2+n（其中a，m、n是常数，且a≠0）可以由抛物线y＝ax2平移得到；类似的：y＝+n（其中k，m，n是常数，且k≠0）的图象也可以由反比例函数y＝的图象平移得到．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0），（0，3），点D是OA的中点．连接OB，CD交于点E，函数y＝+n的图象经过B，E两点．
（1）求此函数的解析式；
（2）过线段BE中点M的一条直线与此函数的图象交于P，Q两点（P在线段BC上方），若四边形BPEQ面积为16，求点P的坐标．
【答案】（1）函数的关系式为：y＝+2；（2）点P的坐标为（7，5）
【分析】（1）求出直线OB的关系式和直线CD的关系式，进而求出交点E的坐标，再把点E、B的坐标代入，求出k、n的值，即可确定函数关系式，
（2）求出点M的坐标，根据函数图象的平移规律和反比例函数的图象的对称性，可以得到三角形PMB的面积为四边形BPEQ面积的四分之一，再根据三角形PMB的面积与点P的坐标之间的关系列方程求解即可，
【解答】解：（1）由题意得，B（9，3），D（4.5，0），
设直线OB的函数关系式为y＝kx，将B（9，3）代入得，
9k＝3，解得，k＝，
∴y＝x，
设直线CD的关系式为y＝kx+b，把C（0，3）、D（4.5，0）代入得，
，解得，k＝﹣，b＝3，
∴y＝﹣x+3，
由题意的，
，解得，x＝3，y＝1，
∴E（3，1），
把B（9，3）、E（3，1）代入函数y＝+n得，
，解得，k＝3，n＝2，
∴函数的关系式为：y＝+2．
（2）∵E（3，1），B（9，3），M是BE的中点，
∴M（6，2）
根据反比例函数图象的对称性可知，MB＝ME，MP＝MQ，
∴四边形PEQB是平行四边形，
∴S△PMB＝S四边形PEQB＝4，
设点P的坐标为（x，+2），
由题意得，（+1）（9﹣x）＝4，
整理得，x2﹣4x﹣21＝0，
解得：x＝7，或x＝﹣3（舍去），
当x＝7时，+2＝5，
因此点P的坐标为（7，5）
【点评】本题考查反比例函数和二次函数的图象和性质，图形的平移以及一元二次方程的应用，将点的坐标转化为线段的长，用坐标表示面积，列出方程求解是常用的方法
33．已知函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1
（1）若k＝2，则新函数y＝ ；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝ ，b＝ ；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式；
（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点B，A，函数的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．
【答案】（1）x2﹣6x+1；（2）5，﹣12；（3）①；② n＝﹣m2﹣m+4；（4）或﹣或﹣．
【解析】 【分析】
（1）把代入 再把 代入新函数即可得到答案，
（2）利用新函数的定义，结论关于的方程组即可得到答案，
（3）①利用新函数的定义，写出函数解析式，化为顶点式，利用二次函数的性质可得答案，②利用顶点坐标，消去
得到答案，
（4）先分别求解 的坐标，设，分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得答案．
【解答】
解：（1）当k＝2时， y1＝2kx+ k＝4x+2，
∵函数 ，定义新函数y＝y2﹣ y1，
∴y＝x2﹣2 x+3﹣4x﹣ 2 ＝x2﹣6x +1 ，
故答案为：x2﹣6x +1；
（2）函数y1＝2 kx+k与函数 ，定义新函数y＝y2﹣ y1，
∴新函数y的解析式为y＝x2 ﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣ 2（k+1）x +3 ﹣k，
∵新函数y的解析式为y＝x2+ bx﹣2，
∴b＝ ，3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣ 12，
故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数y＝ x2﹣2（k +1 ）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2 ﹣k2﹣3k +2，
∵新函数y顶点为（m，n），
∴
∴ ，
当时，的最大值
②由①知，
将k＝m﹣1代入 n＝﹣k2﹣3 k+2得：
∴n＝﹣m2﹣ m+4；
（4）∵函数y1＝ 2kx+k＝k （2x+1），
当2x+1＝0 即x＝ 时，y＝0，
∴A（ ，0），
∵新函数y＝x2﹣ 2（k+1）x +3 ﹣k＝x2﹣ 2（k+1）x ﹣（ k+1）+4＝x 2 ﹣（k+1）（2x +1）+4，
当2x+1＝0 ，即x＝ 时，y＝
∴B ，
∵函数
∴C（1，2 ），
设D（c，d ），
∵以点A，B，C ，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴①当BC与AD为对角线时，
∴
∴D（1， ），
将点D坐标代入新函数y＝x 2﹣2（k+1 ） x+3﹣k，
得，1﹣2（k +1）+3﹣k＝，
∴
②当AB与CD是对角线时，
∴D（ ），
将点D坐标代入新函数y＝x2 ﹣2（k +1）x+3﹣k
得，4+4（k+1） +3﹣k＝ ，
∴k＝ ，
③当AC与BD为对角线时，
∴
∴D（1， ），
将点D坐标代入新函数y＝x2 ﹣2（k +1）x+3﹣k
得，1﹣2（k +1）+3﹣k＝，
∴k＝ ，
即满足条件的k的值为 或或 ．
【点评】
本题考查的是二次函数的新定义题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
34．在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数y=ax+b的图象经过点A(1，5)和点B(n，1)．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点M是线段AB下方反比例函数图象上的一动点，过点M作x轴的垂线，与一次函数y=ax+b的图象交于点P，连接OP、OM，求的面积的最大值．
【答案】（1），；（2）3
【分析】（1）由已知的点A坐标求得反比例函数解析式，由解析式确定点B的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）假设点M横的坐标是m，可以根据解析式分别写出M、P的纵坐标，从而表示出的底，高即是m，因此可以写出面积的表达式，再计算最值.
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（1，5）和点B（n，1）.
∴ 1×5＝n×1＝5
∴ k＝5，n＝5
∴反比例函数的表达式为
∵一次函数的图象经过点A（1，5）和点B（5，1）
∴
∴
一次函数的表达式为：
（2）设点M（m， ），则点P（m，），
∴PM＝ ﹣
∴
∴
∴（ ）
∵，开口向下，S有最大值
∴当m＝3时， 最大，最大值为2
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，要先确定需要的点；考查了面积的最大值与二次函数的结合，假设点的坐标是关键.
35．如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于两点，以为直径作圆，圆心为点，圆与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆与轴相切；
（3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为求的值．
【答案】（1）（2）见详解（3）
【分析】（1）可以利用二次函数顶点式求出解析式；
（2）根据抛物线与直线交于 、两点，直接将两式联立可以求出 、坐标，从而确定点的纵坐标以及的长度，进一步可得出圆心到轴的距离等于半径，即可得证最后结论；
（3）在（1）、（2）结论以及已知条件分别求出、的长，即可求得答案．
【解答】解：（1）设抛物线方程为
∵抛物线的顶点坐标是
∴
∵抛物线经过点
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
（2）∵直线与抛物线交于 、两点
∴
∴，
∴，
∵点是的中点
∴点的纵坐标是
∵
∴的半径
∴圆心到轴的距离等于半径
∴与轴相切
（3）过点作，垂足为，连接，如图：
∵由（2）可知，，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案是：（1）（2）见详解（3）
【点评】此题主要考查了求二次函数解析式，以及一次函数、二次函数以及圆的综合应用，综合性比较强，难度较大．
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