专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球
【考点预测】
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1 图2 图3 图4
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．

考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．

解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
考点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： ．

考点七：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1 图2
考点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
考点九：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
例1．（2023春·天津宁河·高一校考期末）在三棱锥中，面，且在中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得出图形如右图：

O为球心，N为底面截面圆的圆心，ON⊥面ABC，
∵在三棱锥P-ABC中，AP=2， ，PA⊥面ABC，且在中，
∴根据正弦定理得出： ，解得，
∵PA⊥面ABC，∴PA//ON，
∵PA=2，AN=1，ON=d，
∴OA=OP=R，
∴根据等腰三角形得出： ，
解得
∴三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
例2．（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）在正三棱锥S﹣ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】取AC的中点E，连结BE、SE，
∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SA=SC，BA=BC．
又∵E为AC的中点，∴SE⊥AC且BE⊥AC
∵SE、BE是平面SBE内的相交直线，
∴AC⊥平面SBE，又SB在平面SBE内
可得SB⊥AC
又∵MN是△SBC的中位线，
∴MN∥SB，可得MN⊥AC
又∵MN⊥AM，又AM，AC是平面SAC内的相交直线，
∴MN⊥平面SAC，结合MN∥SB，可得SB⊥平面SAC
又∵三棱锥S﹣ABC是正三棱锥，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
设球的半径为R，可得，解得R=3，
∴，解之得SA=
故选：D

例3．（2023春·河南南阳·高一校联考期末）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形为两个全等的等腰梯形，则该刍甍的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取，中点，，正方形中心，中点，连接，，，，如图，
依题意，平面，，点是的中点，，
等腰中，，，同理，
因此，等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心在直线上，连，，，正方形外接圆半径，
则有，而，
当点在线段的延长线（含点时，视为非负数，若点在线段（不含点上，视为负数，
即有，即，解得，
因此刍甍的外接球球心为，半径为，
所以刍甍的外接球的体积为．
故选：A．

例4．（2023·高一课时练习）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，
根据圆台的侧面积公式可得，
因此圆台的高，
当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，
当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，
故球半径为
故选：B
例5．（2023·高一课时练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即
由条件可知，，
中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的表面积.

故选：D
例6．（2023·高一课时练习）一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该正四棱柱的底面边长为，高为，则,，解得，
所以该正四棱柱的体对角线为球的直径，
设球的半径为，
所以，，即，
所以，球的体积为．
故选：B
例7．（2023·高一课时练习）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为，则，

且正四棱锥的高为图中，易得，即：

解得：，所以，内切球的表面积为.
故选：C．
例8．（2023·高一课时练习）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（    ）
A．球的外切正方体的棱长为 B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为 D．球的半径为
【答案】A
【解析】设球O的半径为，的外接圆半径为，则，
因为球心O到平面的距离等于球O半径的，
所以，得，即，故D错误；
球O的外切正方体的棱长b满足，故A正确；
所以球O的表面积，故B错误；
球O的内接正方体的棱长a满足，即，故C错误.
故选：A.
例9．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体中，棱长为，
所以，四面体是棱长为的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，
所以，该球的体积为，
因为正四面体的体积为，
所以，该球与此正四面体的体积之比为.
故选：A

例10．（2023·高一课时练习）正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在平面内的射影为点，则为的中心，
取的中点，连接，则，取线段的中点，连接，

因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，则平面，因为平面，则，
正的外接圆半径为，，
所以，，
易知球被平面所截的截面圆圆心为点，且，故，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为以为球心的球面与平面的交线和相切，则切点为点，
则球的半径为，
因此，球的体积是.
故选：D.
例11．（2023·高一课时练习）已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．

【答案】     1    
【解析】

由题意可得，且，则
因为外接圆的圆心即为中点，设为，
外接圆的圆心即为中点，设为，
则的中点到六个顶点的距离相等，
则的中点为外接球的球心，即为半径，
，
所以，
即外接球的表面积为
故答案为:，


【过关测试】
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为，由题意可知：，解得：，
所以正四面体的棱长为，

将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的体对角线长为，
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径，
则外接球的体积为，
故选：.
2．（2023·陕西渭南·高一统考期末）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

因为，，所以为等腰直角三角形，
将直三棱柱补全为如图长方体，
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为，，所以外接球直径，
所以外接球半径，表面积.
故选：C.
3．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，
取棱的中点，连接，作，垂足为.
由题中数据可得，
设四棱锥外接球的半径为，
则，
即，
解得.
由题意易证，
则，
故.
故所求截面圆的面积是.

故选：B
4．（2023春·山西太原·高一校考阶段练习）在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在平面内的射影点为，如下图所示：

由线面角的定义可知，直线与底面所成的角为，
所以，，，
因为平面，、平面，，，
，
所以，的外接圆圆心为点，且其外接圆半径为，
所以，三棱锥的外接球球心在直线上，设球的半径为，
由几何关系可得，即，解得，
因此，三棱锥外接球的体积为.
故选：D.
5．（2023春·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，因此三棱锥的外接球被平面截得的截面小圆圆心是的中点，
令三棱锥的外接球球心为，则平面，而，，
因三棱锥体积的最大值为3，则三棱锥底面ABC上的高最大，设此最大高为h，由得，
要三棱锥的体积最大，当且仅当球上的点P到平面的距离最大，则点P在线段的延长线上，
设球半径为，则有，即，解得，
所以三棱锥的外接球体积为.
故选：A
6．（2023·高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因，平面ABCD，平面ABCD，
则，又因四边形ABCD为矩形，则.
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，
则外接球的表面积为：
故选：B
7．（2023·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，即三棱锥的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：

设，则，所以，于是三棱锥的外接球直径为，半径为，所以该三棱锥外接球的表面积为：.
故选：C.
8．（2023·高一课时练习）如图，在等腰梯形中，,为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（  ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故其外接球与棱长为的正方体的外接球一直，又正方体外接球半径为
故外接球的体积为
故选C．
9．（2023·高一课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，

，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
10．（2023·高一课时练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】A
【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径

O为中点，
∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
设，由球O的体积为，可得，
则，
∴三棱锥的体积为9，
故选∶A．
11．（2023·高一课时练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（     ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得正方形的中心即为外接球球心，设，则，
球的体积为，
而，故正八面体的体积，
得，
故选：A
12．（2023·高一课时练习）已知三棱柱所有的顶点都在球的球面上，球的体积是，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球的半径为，外接圆的半径为，
则，解得，
因为，，
由正弦定理得，外接圆的半径，
则．
故选：B

二、多选题
13．（2023春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，则下列说法正确的是（    ）

A．OF // 平面BCE B．BF⊥平面ADF
C．三棱锥C-BEF外接球的体积为 D．三棱锥C-BEF外接球的表面积为5π
【答案】ABD
【解析】选项A：由，AB=2，EF=1，可得
则四边形为平行四边形，则
又平面BCE，平面BCE，则OF // 平面BCE.判断正确；
选项B：连接BF，线段AB为圆O的直径，则
由平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF
平面ABCD，，则平面ABEF
则，又，平面ADF，平面ADF
则BF⊥平面ADF.判断正确；
选项C：取CD中点H，连接OH
由平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF
,平面ABEF，可得平面ABEF
又点E，F，B在圆O上，则三棱锥C-BEF外接球球心在直线上，
由，平面BCE，平面BCE
可得平面BCE，则三棱锥C-BEF外接球球心到平面BCE的距离
为点O到平面BCE的距离
由平面ABEF，平面，可得平面平面ABEF，
则点O到平面BCE的距离即点O到直线的距离，
又点O到直线的距离为，则三棱锥C-BEF外接球球心到平面BCE的距离为
在△BCE中，，，则，则△BCE外接圆半径为
则三棱锥C-BEF外接球的半径
则三棱锥C-BEF外接球的体积为.判断错误；
选项D：由三棱锥C-BEF外接球的半径
则三棱锥C-BEF外接球的表面积为.判断正确.

故选：ABD
14．（2023春·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（    ）
A．正方体的棱切球的半径为
B．正四面体的棱切球的表面积为
C．等长正六棱柱的棱切球的体积为
D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为
【答案】BCD
【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，正方体的棱切球的半径为面对角线的一半，即为，选项A错误；
如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径，所以正四面体的棱切球的半径为，即正四面体的棱切球的表面积为，选项B正确；

如图，等长正六棱柱的棱切球的直径为AB，即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球的体积为，选项C正确；

由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆，
则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 ，
每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即，所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为，所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为，选项D正确.
故选：BCD.
15．（2023春·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第三中学校考期中）已知正方体的各棱长均为2，下列结论正确的是（    ）
A．该正方体外接球的直径为
B．该正方体内切球的表面积为
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为
D．该正方体外接球的体积为
【答案】ABC
【解析】若正方体的棱长为2，则：
①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，
即，故A正确，
外接球体积为，故D错误；
②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故，
球的表面积为，故B正确；
③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，
即，球的半径为，故C正确．
故本题选：ABC.
三、填空题
16．（2023春·陕西汉中·高一校考期中）已知球是四棱锥的外接球，四边形是边长为1的正方形，点在球面上运动且，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积是___________.
【答案】
【解析】设与平面夹角为，
则四棱锥的体积为，
当时，四棱锥的体积最大，即，此时平面，
将四棱锥补成一个正四棱柱，如图所示，
此时四棱锥和该正四棱柱有相同的外接球，设球的半径为，
则，可得，
所以球的表面积为.
故答案为：

17．（2023·高一课时练习）、已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于_______
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，
则外接球的半径为，
外接球的体积，
解得，
即正方体的棱长等于．
18．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】设圆锥的内切球半径为，则，解得，
设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，
内切球球心为，内切球切母线于，
底面半径，
则，又，
由已知为直角三角形，
又，，
所以，
所以，
所以，
故，
又，
故，
故该圆锥的表面积为，
令则，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：.

19．（2023·高一课时练习）如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是______.
【答案】
【解析】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，因此，.
故答案为：.
20．（2023·高一课时练习）已知A、B、C是球面上三点，且，，若球心O到平面ABC的距离为，则该球表面积为______.
【答案】
【解析】因为，，
所以BC为平面ABC截球所得小圆的直径，
如图，设小圆的半径为r，得，
解得，又球心O到平面ABC的距离，
根据球的截面圆性质，得球的半径，
所以球的表面积为.
故答案为：.

21．（2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期中）已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为_________．
【答案】
【解析】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，
过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设，
因为，所以求得，
由勾股定理得：，且∠ASE=30°，设OE=h，
，SO=3-h，，
由题意得：，解得：或，
当时，，此时球O的表面积为；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，，
可求得最大半径，
而当时，，
显然不成立，故舍去，
综上：球O的表面积为

故答案为：
22．（2023春·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____．
【答案】
【解析】结合正四面体的性质：球心在正四面体的体高上，且为外接球的球心，如下图：
取球心，若，则即为球的半径，而为底面中心，
∴面，若为中点，则，
∴，，，
由，则，故，
∴球的体积为.

故答案为：
23．（2023春·广东江门·高一江门市培英高级中学校考期中）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．
【答案】
【解析】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径，
其表面积．
故答案为：.

24．（2023春·江苏苏州·高一江苏省苏州实验中学校考阶段练习）一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V=，其中R为球的半径，h为球缺的高.若一球与一棱长为2的正方体的各棱均相切，则该球与正方体的公共部分的体积为______.
【答案】
【解析】由题可得该球与正方体的公共部分球去掉6个球缺，
则球的半径为，球缺高，
则一个球缺的体积为，
则该球与正方体的公共部分的体积为.
故答案为：.
四、解答题
25．（2023·全国·高一专题练习）已知球与正四面体的六条棱都相切，求球与正四面体的体积之比．
【解析】

如图，设正四面体棱长为，球半径为，取的中点为，中点，连接，则，
，同理，
是的公垂线，则的长是的距离，
，
又由球与正四面体的六棱都相切，得是该球的直径，即，
，
，
又
故
26．（2023·高一课时练习）有三个球，已知球内切于正方体，球与这个正方体各棱都相切，球过这个正方体的各个顶点，求球、球、球的表面积之比.
【解析】设正方体的棱长为.
①球为正方体的内切球，球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图1所示，设球的半径为，表面积为，
则，，所以.
②球与正方体各棱的切点为各棱的中点，过正方体的两个相对面的面对角线作截面，如图2所示，设球的半径为，表面积为，
则，，所以.
③球过正方体的各个顶点，即正方体的各个顶点都在球面上，过正方体的体对角线作截面，如图3所示，设球的半径为，表面积为，
则，，所以.
故这三个球的表面积之比.

图1                     图2                     图3