2023年中考数学高频考点突破—反比例函数与四边形附答案

这是一份2023年中考数学高频考点突破—反比例函数与四边形附答案，共51页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学高频考点突破—反比例函数与四边形附答案
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．

(1)点的坐标_________；
(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．







2．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．







3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．

（1）求k和m的值；
（2）根据图象写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；
（3）设点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．








4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求和的值；
（2）点在轴正半轴上，且的面积为1，求点坐标；
（3）在（2）的条件下，点是一次函数上一点，点是反比例函数图像上一点，且点、都在轴上方．如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标．






5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，，，且，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）求经过点的双曲线对应的函数解析式；
（3）设经过点的双曲线与直线的另一交点为，过点作轴的平行线，交经过点的双曲线于点，交轴于点，求的面积．


6．如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数(x＞0)图象的交点，且点A的横坐标为1．
(1)求k的值；
(2)如图1，双曲线(x＞0)上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标；
(3)如图2所示，若已知反比例函数(x＞0)图象上一点B(3，1)，点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数(x＞0)图象上另一点，是否存在以P、A、 B、Q为顶点的平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
                   






7．已知：如图所示，反比例函数与一次函数只有一个公共点G，则称G为切点．
（1）若反比例函数与一次函数只有一个公共点M，求当时两函数的解析式和切点M的坐标；
（2）设（1）结论中的直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将沿AB翻折，设翻折后的OB边所在的直线与x轴交于点C．
①直接写出点C的坐标；
②在经过A、B、C三点的抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P，O，M，C为顶点的四边形满足两对边平行另两边不平行，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．






8．已知直线y＝mx+n（m≠0，且m，n为常数）与双曲线y＝（k＜0）在第一象限交于A，B两点，C，D是该双曲线另一支上两点，且A、B、C、D四点按顺时针顺序排列．
（1）如图，若m＝﹣，n＝，点B的纵坐标为，
①求k的值；
②作线段CD，使CD∥AB且CD＝AB，并简述作法；
（2）若四边形ABCD为矩形，A的坐标为（1，5），
①求m，n的值；
②点P（a，b）是双曲线y＝第一象限上一动点，当S△APC≥24时，则a的取值范围是　 　．





9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．

（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．








10．四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．
（1）如图1，四边形中，，，对角线平分，求证：是四边形的相似对角线；
（2）如图2，直线分别与，轴相交于，两点，为反比例函数（）上的点，若是四边形的相似对角线，求反比例函数的解析式；
（3）如图3，是四边形的相似对角线，点的坐标为，轴，，连接，的面积为．过，两点的抛物线（）与轴交于，两点，记，若直线与抛物线恰好有3个交点，求实数的值．







11．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝ax+b（a≠0）交于A，B两点，直线AB分别交x轴，y轴于C、D两点，若OA＝OC，A点坐标为（4，3）．

（1）分别求出双曲线与直线的函数表达式；
（2）若P为双曲线上一点，且横坐标为2，H为直线AB上一点，且PH+HC最小，延长PH交x轴于点E，将线段OE沿x轴平移得线段O'E'，在平移过程中，是否存在某个位置使|BO'﹣AE'|的值最大值，求出最大值并求出此时E点坐标．
（3）在（2）的情况下，将直线OA沿线段CE平移，平移过程中交y＝（x＞0）的图象于M（M与点A不重合）交x轴于点N，在平面内找一点G，使M、N，E，G为顶点的四边形为矩形？直接写出G的坐标．




12．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y＝（k≠0，x＞0）过点D．

（1）写出D点坐标；
（2）求双曲线的解析式；
（3）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．





13．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，且，.若动点从开始沿向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点从开始沿向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为秒.

（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，在轴上存在点，使的周长最小，请求出此时点的坐标，并直接写出的周长最小值；
（3）在双曲线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的值；若不存在，请说明理由.

14．如图，矩形OABC的项点A、C分别在、轴的正半轴上，点B点反比例函数（k≠0）的第一象限内的图象上，OA=3，OC=5，动点P在轴的上方，且满足

（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q在平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标.





15．【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵≥0，
∴a﹣2+b≥0，
∴a+b≥2，（只有当a＝b时，a+b＝2）．
即当a＝b时，a+b取得最小值，且最小值为2．

根据上述内容，回答下列问题：
问题1：若m＞0，当m＝　 　时，m+有最小值为　 　；
问题2：若函数y＝a+，则当a＝　 　时，函数y＝a+有最小值为　 　；
【探索应用】已知点Q（﹣3，﹣4）是双曲线y＝上一点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y＝上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．




16．如图1，已知点，的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点．
（1）求的值；
（2）点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点的坐标；
（3）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

17．定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“等边对称点”；

（1）若，求点的“等边对称点”的坐标；
（2）若点是双曲线上动点，当点的“等边对称点”点在第四象限时，
①如图（1），请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由；
②如图（2），已知点，，点是线段上的动点，点在轴上，若以、、、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围.







18．如图，点A在反比例函数图象上一点，B在反比例函数图象上，是等腰直角三角形，，AB交y轴于C，，将沿y轴折叠得.

（1）试判断点D是否在的图象上，并说明理由；
（2）连接BD，求四边形BCOD的面积.
（3）将直线OB向上平移，分别交于E，交于F.问：是否存在某一位置使？若存在，求E、F两点的坐标，若不存在，说明理由.

参考答案：
1．(1)(﹣3，1)
(2)，
(3)存在，或或

【分析】对于（1），先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△DGA≌△AHB，得DG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；
对于（2），先根据运动表示出点，的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；
对于（3），先求出点，的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．
【解析】（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，

∵点A（-6，0），D（-7，3），
∴OA=6，OG=7，DG=3，
∴AG=OG-OA=1．
∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，
∴∠GDA=∠BAH．
又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，
∴△DGA≌△AHB，
∴DG=AH=3，BH=AG=1，
∴点B的坐标是（-3，1）；
（2）由（1），得点B（-3，1），D（-7，3），
∴运动t秒时，点，．
设反比例函数的关系式为，
∵点，在反比例函数图象上，
∴，
解得，k=6，
∴反比例函数的关系式为；
（3）存在，理由：由（2）知，点，，，
∴，，反比例函数关系式为，
设点Q，点P（0，s）．
以点PQ四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当PQ与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
②当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
③当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，．
综上所述：或或．
【点评】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
2．（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，
【分析】（1）证明，则，故点，故，即可求解；
（2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，

四边形为平行四边形，则，，
，，
故点，故，
则反比例函数表达式为：；
（2）翻折后点的坐标为：，
，

在反比例函数的图象上；
（3）如图示：

当时，点，；
当时，点；
当时，设点，
则，解得：；
综上，点的坐标为：，或或．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
3．（1）；（2）或；（3）或．
【解析】解：（1）如解图，连接，与x轴交于点E，
∵，

∴，，
∵ 四边形是菱形，
∴，，
∴，
将代入直线，得，
即，
将代入反比例函数得；
（2）由图象可知：反比例函数的值小于2时x的取值范围为或；
（3）∵,，
∴，
∵，即，
设，则，即，
解得，，
则点P的坐标为或．
4．（1）1，1；（2）；（3），或，．
【分析】（1）将B与C坐标代入一次函数解析式即可求出k与b的值；
（2）先求出点A的坐标，设点M的坐标为，再根据的面积为1列出方程求出m的值进而得解；
（3）由题意可得PQ∥BM且PQ＝BM＝2，设点P（a＋2，a＋1），则可表示点Q的坐标，利用点Q在反比例函数图像上列出方程求解即可．
【解析】解：（1）把点，，代入函数得，
由题意得解得
（2）由题意得，点在一次函数和反比例函数上，
则，
化简得，，解得，，
因为点在第一象限所以
所以点坐标为
设：点坐标为
则，

解得，．
点坐标为
（3）由（2）得，点M为
又∵
∴BM＝2，
∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形，且点、都在轴上方，
∴PQ∥BM且PQ＝BM＝2，
设点P（a，a＋1），
当点Q在点P右侧时，则点Q为（a＋2，a＋1）
将（a＋2，a＋1）代入得
(a＋2)(a＋1)＝2
解得，a＝0或a＝－3（舍去）
∴，
当点Q在点P左侧时，则点Q为（a－2，a＋1）
将（a－2，a＋1）代入得
(a－2)(a＋1)＝2
解得，a＝或a＝（舍去）
∴，．
∴，或，．
【点评】此题属于反比例函数与一次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，求两函数图像的交点坐标，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于M，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EM、AM，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：，把点E坐标代入求出k的值即可；
（3）设经过点的反比例函数解析式为，结合点B坐标求出表达式，利用求出结果.
【解析】解：（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图1，连接，交于点，
四边形是菱形，
与互相垂直且平分,
，，
，,
点的坐标为,
设经过点的反比例函数解析式为，
把点代得，
双曲线的函数解析式为；

（3）解：如图2，设经过点的反比例函数解析式为，
把点代入得，
经过点的反比例函数解析式为，
直线轴，
，，
．

【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．
6．（1）k＝3（2）M（3，1）或M（，9）（3）Q1（＋2，−2），Q2（−2，＋2），Q3（，）．
【分析】（1）点A是直线y＝2x＋1的点，点A的横坐标为1，代入y＝2×1＋1＝3，求得点A即可得到结果；
（2）如图1，设点M（m，），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，根据题意得：S△AOM＝S梯形AEFM解方程即可得到结果；
（3）首先求得反比例函数的解析式，然后设P（m，m），分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标．
【解析】（1）∵点A是直线y＝2x＋1的点，点A的横坐标为1，
∴y＝2×1＋1＝3，
∴A（1，3），
∵点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，
∴k＝3；
（2）如图1，设点M（m，），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，

当M在A点右侧时，根据题意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（m−1）＝4，
解得：m＝3，m=-（负值舍去），
当M在A点右侧时，根据题意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（1−m）＝4，
解得：m＝，m=-3（负值舍去），
综上，m＝3或，
故M（3，1）或M（，9）；
（3）∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在直线y＝x上，
∴设P（m，m）
，若PQ为平行四边形的边，
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点Q在点P的下方，则点Q的坐标为（m＋2，m−2）如图2，

若点Q在点P的上方，则点Q的坐标为（m−2，m＋2）如图3，

把Q（m＋2，m−2）代入反比例函数的解析式得：（m＋2）（m-2）=3
m＝±，
∵m＞0，
∴m＝，
∴Q1（＋2，−2），
同理可得另一点Q2（−2，＋2）；
②若PQ为平行四边形的对角线，如图4，

∵A、B关于y＝x对称，
∴OP⊥AB
此时点Q在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝的交点，
由解得或（舍去）
∴Q3（，）
综上所述，满足条件的点Q有三个，坐标分别为：Q1（＋2，−2），Q2（−2，＋2），Q3（，）．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，准确的画出图形是解题的关键．
7．（1）两个函数的解析式分别为，和y=-3x+6，点M的坐标为（1，3）；（2）①，②
【分析】（1）因为两函数只有一个公共点，将关于两个函数解析式的方程组转化为一元二次方程，令△=0即可求出k的值．进而求出两函数的解析式及M点的坐标．
（2）①根据直线解析式，先求出A、B两点坐标，再根据翻折变换的性质，得∠OBA=∠ABC，根据三角形内角平分线的性质定理，求出AC的长，易得C点坐标．
②由于A、C在x轴上，且A、C关于抛物线对称轴对称，可求出抛物线对称轴方程，根据P点的移动情况，可见有三种情况：（I）当MP∥OC时，可根据M点纵坐标得到P点纵坐标；（II）MO∥CP时，可根据直线MO的系数求出直线CP的系数，再将C点坐标代入，即可求得PC解析式，将对称轴坐标代入解析式，即可求得P点坐标；（III）可根据直线MC的系数求出直线CP的系数，由于OP过原点，即可求得OP解析式，将对称轴坐标代入解析式，即可求得P点坐标．
【解析】解：（1）因为反比例函数与直线y=kx+6只有一个公共点，
将代入y=kx+6得kx2+6x+k=0，
由△=36-4k2=0
得k=±3．
又∵k＜0，
∴k=-3．
∴两个函数的解析式分别为，和y=-3x+6．
∴点M的坐标为（1，3）．

（2）①如图，y=-3x+6与x轴、y轴两交点A、B的坐标分别为（2，0）（0，6）．
根据翻折不变性，∠OBA=∠ABC，
设AC=a，根据勾股定理，
根据三角形内角平分线性质定理，
解得或a=-2（负值舍去），
可求得点C的坐标为
②存在点P满足以P，O，M，C为顶点的四边形满足两对边平行另两边不平行．
∵经过点A、B、C三点的抛物线的对称轴为
（I）当MP1∥OC时，P1点的纵坐标为M点的纵坐标3，则P1点的纵坐标为（，3），而此时OM与CP1不平行．
（II）当MO∥CP2时，由于OM解析式为y=3x，设P2C解析式为y=3x+b，
将C（，0）代入解析式y=3x+b，可得b=- ，
则P2C解析式为y=3x-，
当x=时，y=-，
则P2点的坐标为（，−），
经判断，OP2与MC不平行．
（III）当MC∥OP3时，由于CM解析式为y=-x+，则P3O解析式为y=-x，
当x=时，y=-，则P3点的坐标为（，−），
经判断，MO与CP不平行．
∴满足条件的P点的坐标为

【点评】此题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的性质，函数解析式组成的方程组的解的个数和函数图象交点个数及根的判别式的关系，体现了分类讨论的数学思想．
8．（1）①k= 5；②见解析，由此AO交双曲线于点C，延长BO交双曲线于点D，线段CD即为所求；（2）①；②0＜a＜1或a＞5
【分析】（1）①求出直线的解析式，利用待定系数法即可解决问题；②如图，由此AO交双曲线于点C，延长BO交双曲线于点D，线段CD即为所求；
（2）①求出A，B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；②分两种情形求出△PAC的面积＝24时a的值，即可判断．
【解析】（1）①∵，，
∴直线的解析式为，
∵点B在直线上，纵坐标为，
∴，
解得x＝2
∴，
∴；
②如下图，由此AO交双曲线于点C，延长BO交双曲线于点D，线段CD即为所求；

（2）①∵点在上，
∴k＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B关于直线y＝x对称，
∴，
则有：，解得；
②如下图，当点P在点A的右侧时，作点C关于y轴的对称点C′，连接AC，AC′，PC，PC′，PA．

∵A，C关于原点对称，，
∴，
∵，
当时，
∴，
∴，
∴a＝5或(舍弃)，
当点P在点A的左侧时，同法可得a＝1，
∴满足条件的a的范围为或．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法解函数解析式以及交点坐标的求法是解决本题的关键.
9．（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（6，9）或（9﹣2 ，﹣1）．
【分析】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n），利用反比例函数图像上的点的坐标特征可求出m的值，之后进一步求出n的值，然后进一步求解即可；
（2）根据三角形的面积公式与矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC即可进一步求出P的纵坐标.①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；②由点A，B的坐标及点P的总坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．
【解析】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n）．
∵点D，E在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝mn＝（m﹣6）n，
∴m＝9．
∵OC：CD＝5：3，
∴n：（m﹣6）＝5：3，
∴n＝5，
∴k＝mn＝×9×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，
∴OA∙yP＝OA∙OC，
∴yP＝OC＝4．
当y＝4时，＝4，
解得：x＝，
∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．
②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5），
∵yP＝4，yA+yB＝5，
∴，
∴AP≠BP，
∴AB不能为对角线．
设点P的坐标为（t，4）．
分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：

（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，
解得：t1＝6，t2＝12（舍去），
∴点P1的坐标为（6，4）．
又∵P1Q1＝AB＝5，
∴点Q1的坐标为（6，9）；
（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，
解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），
∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．
又∵P2Q2＝AB＝5，
∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．
综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
10．（1）详见解析；（2）或或；（3）或
【分析】（1）设，则，然后根据角平分线的性质可求得∠BAC=∠DAC=50°，根据三角形的内角和定理可得，最后根据相似三角形的判定定理可证是四边形的相似对角线；
（2）根据一次函数即可求出点A、B的坐标，再根据锐角三角函数值即可求出，，然后根据相似对角线的定义和相似三角形对应角的情况分类讨论，分别利用锐角三角函数求出点P的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（3）根据锐角三角函数和面积公式可得，然后根据相似对角线的定义即可求出AC，从而求出两个m的值和两条直线的解析式和，根据图形可知，一定与抛物线有两个交点，故与抛物线有且仅有一个交点，然后联立方程令一元二次方程的△=0即可求出a的值．
【解析】（1）证明：如图1，设，则
∵，平分
∴∠BAC=∠DAC=
∴
在和中
∵，
∴∽
∴是四边形的相似对角线．

（2）如图2，可求得直线与两坐标轴的交点分别为，
∴OA=4，OB=
在Rt△AOB中，
∴，
当是四边形的相似对角线时，有如下情况：
①当∠APO=∠AOB=90°时，过点P作PQ⊥x轴于Q，如下图所示，此时又分以下两种情况

（i）当，
在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2
在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=1，PQ= OP·sin∠AOP=
∴此时点，将点坐标代入，得
∴该反比例函数的解析式为；
（ii），
在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2
在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=3，PQ= OP·sin∠AOP=
∴此时点，将点坐标代入，得
∴该反比例函数的解析式为；
②当∠OAP=∠AOB=90°时，此时又分以下两种情况
（i）当∠AOP=∠OAB=30°时，如下图所示，

∵OA=AO，∠OAP=∠AOB=90°
∴△OAP≌AOB，不符合相似对角线的定义，故舍去；
（ii）当时，如下图所示，

在Rt△OAP中，AP=OA·tan∠AOP=
∴此时点，将点坐标代入，得
该反比例函数的解析式为；
③当∠AOP=∠AOB=90°时，此时点P在y轴上，故不存在反比例函数图象，故舍去．
综上所述：反比例函数的解析式为或或．
（3）如图3，作的底边边上的高，则，
∴
在中，由勾股定理可求得，
∵，即
∴
∵是四边形的相似对角线
若∽，由CA=CA可得≌，不符合相似对角线的定义，故舍去，
∴∽，
∴，
∴
∴，即
由点的坐标为可知，点的坐标为，
将，两点的坐标代入抛物线，得
解得，，
所以抛物线的解析式可化为
由，得直线的解析为,，
∵直线与抛物线的交点必有两个
∴直线与该抛物线的交点有且只有一个
∴方程组有且只有一组解
即关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
∴，
解得或

【点评】此题考查的是新定义问题、新定义与反比例函数、新定义与二次函数的综合大题，此题难度较大，涉及知识点较多，掌握相似三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数解析式、二次函数与一次函数交点个数与一元二次方程根的判别式的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
11．（1）；（2）最大值为，点E（2，0）；（3）G（﹣6，6）
【分析】（1）由OA＝OC，A点坐标为（4，3）可求出C点的坐标，再双曲线与直线的函数表达式即可；
（2）作PK⊥x轴于K，交AC于H，得到＝，求得HK＝CH，可得E（2，0），再作B关于x轴的对称点B'，B'N∥OE，B'N＝OE，连接AN交x轴于E'，截取E'O'＝OE，则B'N∥E'O'，B'N＝E'O'，得到|BO'﹣AE'|＝|E'N'﹣AE'|＝AE'﹣E'N＝AN,再求最大值即可；
（3）设平移后的解析式为y＝x+b，当直线经过点P（2，6）时，可得矩形MEGN，再求点G坐标即可.
【解析】解：
（1）∵OA＝OC，A点坐标为（4，3），
∴OC＝5，
∴C（﹣5，0），
将点A（4，3）代入y＝可得k＝12，
∴y＝，
将点A（4，3）和C（﹣5，0）代入y＝ax+b，可得a＝，b＝，
∴y＝x+；
（2）由已知可得，P（2，6），D（0，），作PK⊥x轴于K，交AC于H，
∵HK∥OD，
∴＝，
∴CD＝＝＝
，
∴＝，
∴HK＝CH，
∴PH+CH＝PH+HK＝PK，此时PH+HC为最小，
∴E与K重合，
∴E（2，0），
如图1中，作B关于x轴的对称点B'，B'N∥OE，B'N＝OE，连接AN交x轴于E'，

截取E'O'＝OE，则B'N∥E'O'，B'N＝E'O'，
∴四边形B'O'E'N是平行四边形，
∴NE'＝O'B'＝O'B，
∴|BO'﹣AE'|＝|E'N'﹣AE'|＝AE'﹣E'N＝AN,最大；
∵B（﹣9，﹣），
∴B'（﹣9，），
∴N（﹣7，），
∴AN＝＝，
∴|BO'﹣AE'|的最大值为，点E（2，0）．
（3）如图3中，

∵直线OA的解析式为y＝x，
∴平移后的解析式为y＝x+b，
当直线经过点P（2，6）时，可得矩形MEGN，
∴6＝+b，
∴b＝，
∴平移后的直线的解析式为y＝x+，
令y＝0，可得x＝﹣6，
∴G（﹣6，6）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数和直线解析式，最值问题，解本题的关键是确定出E（2，0）和|BO'﹣AE'|＝|E'N'﹣AE'|＝AE'﹣E'N＝AN．
12．（1）点D的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y＝；（3）△CDE的面积是3．
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；
（2）求出点的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；
（3）观察图形，可用割补法将分成与两部分，以为底，分别以到的距离和到的距离为高求解即可.
【解析】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），
∴点D的坐标是（1，2），
（2）∵双曲线y＝（k≠0，x＞0）过点D（1，2），
∴2＝，得k＝2，
即双曲线的解析式是：y＝；
（3）∵直线AC交y轴于点E，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），点D的坐标是（1，2），
∴AD＝2，点E到AD的距离为1，点C到AD的距离为2，
∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝＝1+2＝3，
即△CDE的面积是3．
【点评】本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.
13．（1）；（2）点坐标为，；（3）存在，或2
【分析】（1）通过AB,BC的长度，求出点B的坐标，将点B的坐标代入即可求出反比例函数的表达式；
（2）当时，可求出E,F的坐标，作E关于y轴的对称点E’，连接E’F，则E’F与y轴的交点即为所求的点D，然后再求的周长的最小值即可；
（3）分别用含t的代数式表示出E,F,B的坐标，分可以分别与、、相对三种情况，根据相对关系表达出坐标，最后将坐标代入反比例函数解析式求解.
【解析】（1）

∵点B在反比例函数图像上，



（2）时，， ，，
∴，.
作点关于轴得对称点，连接交轴与一点，即为所求的点，

设直线解析式为
将点E’,F代入解析式中得，解得，
∴直线解析式为，
令得，
∴点坐标为，


在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴；
（3）存在，或2，

由题意得：、、，
①与相对时，此时M在F的右侧，，
∵四边形BEFM是平行四边形，
，
，
∵点M在反比例函数上，
∴，解得，
由于，∴；
②与相对，此时M在E的正上方，，
∵四边形EFBM是平行四边形，

，
∵点M在反比例函数上，
∴，解得或2，
由于，∴.
③与相对时，点M不在反比例函数图像上，所以此时不存在点M
综上所述，或2
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径及平行四边形的综合问题，能够对位于反比例函数上的点M分情况讨论是解题的关键.
14．（1）P（5，3）;（2）最小值为;（3）Q（，8）或（7，8）或（，）或（，）
【分析】（1）由矩形的性质可得出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出反比例函数解析式，由可求出点P的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
（2）作点O关于直线y=3的对称点O′，连接AO′交直线y=3于点P，利用两点之间线段最短可得出此时PO+PA取得最小值，由点O的坐标可求出点O′的坐标，再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值；
（3）由线段AB的长及点P的纵坐标可得出AB只能为边，分点Q在点P的上方及点Q在点P的下方两种情况考虑：①当点Q在点P的上方时，由AP=AB=5可求出m的值，进而可得出点P1，P2的坐标，结合PQ=AB=5可得出点Q1，Q2的坐标；②当点Q在点P的下方时，由BP=AB=5可求出m的值，进而可得出点P3，P4的坐标，结合PQ=AB=5可得出点Q3，Q4的坐标．
【解析】（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．
∵点B在反比例函数（k≠0）的第一象限内的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数的解析式为，
∵
∴
∴．
当y=3时，，
解得：x=5，
∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．
（2）由（1）可知：点P在直线y=3上，作点O关于直线y=3的对称点O′，连接AO′交直线y=3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．

∵点O的坐标为（0，0），
∴点O′的坐标为（0，6）．
∵点A的坐标为（3，0），
∴AO′=，
∴PO+PA的最小值为．
（3）∵AB∥y轴，AB=5，点P的纵坐标为3，
∴AB不能为对角线，只能为边．
设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：

①当点Q在点P的上方时，AP=AB=5，即，
解得：m1=-1，m2=7，
∴点P1的坐标为（-1，3），点P2的坐标为（7，3）．
又∵PQ=5，且PQ∥AB∥y轴，
∴点Q1的坐标为（-1，8），点Q2的坐标为（7，8）；
②当点Q在点P的下方时，BP=AB=5，即，
解得：，，
同理，可得出：点Q3的坐标为（，-2），点Q4的坐标为（，-2）
综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为Q（，8）或（7，8）或（，）或（，）
【点评】本题考查反比例函数与几何的综合问题，熟练掌握矩形和菱形的性质，采用分类讨论与数形结合是解决本题的关键.
15．问题1：2，4；问题2：4，7；【探索应用】四边形AQBP的面积的最小值为24.
【分析】问题1：根据阅读材料的结论解答即可；
问题2：先变形y＝ 得，再根据阅读材料的方法和结论即可求解；
探索应用：先求出反比例函数的解析式，设出点P坐标，再用点P的横坐标表示出所求四边形面积，然后利用阅读材料提供的方法求解即可．
【解析】解：问题1：根据题意，当m＝时，即m＝±2，∵m＞0，所以m＝2，
此时m+的最小值为2＝4.
故答案为2、4；
问题2：∵a＞1，∴，根据题意，得：
y＝，
当时，解得：，（不合题意，舍去），∴，
即当时，函数y＝a+有最小值7.
故答案为4、7；
探索应用：
因为点Q（﹣3，﹣4）是双曲线y＝上一点，所以k＝12，所以双曲线为y＝．
连接PQ，设P（x，），
所以S四边形AQBP＝×4（x+3）+×3（+4）＝2x++12≥＝12+12＝24.
当时，即x=3时“=”成立.
所以四边形AQBP的面积的最小值为24．

【点评】本题是阅读理解题，重点考查了反比例函数的性质和理解新知与应用新知的能力，正确理解题意、弄清阅读材料提供的方法和结论是解题的关键.
16．（1）；（2）；；；（3），见解析.
【分析】（1）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y＝ 上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT，由此即可得出结论．
【解析】（1）设，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵由（1）知，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在双曲线上，点在轴上，
∴设，
①当为边时：

如图1，若为平行四边形，
则，
解得：，
此时；

如图2，若来平行四边形，
则，
解得，
此时；
②

如图3，当为对角线时，
，且；
∴，
解得：，
∴；
故，；；；
（3）的值不发生改变，

理由：如图4，连，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
四边形中，，而，
所以，，所以，四边形内角和为360°，
所以，
∴，
∴
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
17．（1）或；（2）①；②或
【分析】（1）根据P点坐标得出P'的坐标，可求PP'=4；设C（m，n），有PC=P'C=24，通过解方程即可得出结论；
（2）①设P（c，），得出P'的坐标，利用连点间的距离公式可求的长，设C（s，t），有，然后通过解方程可得，再根据消元c即可得xy=-6；
②分AG为平行四边形的边和AG为平行四边形的对角线两种情况进行分类讨论．
【解析】解：（1）∵P（1，），
∴P'（-1，-），
∴PP'=4，
设C（m，n），
∴等边△PP′C，
∴PC=P'C=4，



解得n=或-，
∴m=-3或m=3．
如图1，观察点C位于第四象限，则C（，-3）．即点P的“等边对称点”的坐标是（，-3）．
（2）①设，∴，
∴，
设，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点在第四象限，，
∴，
令，
∴，即；
②已知，，则直线为，设点，设点，，即，，，构成平行四边形，点在线段上，；
当为对角线时，平行四边形对角坐标之和相等；

，，，即；
当为边时，平行四边形，

，，，即；
当为边时，平行四边形，

，，，而点在第三象限，，即此时点不存在；
综上，或.
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，等边三角形的性质，新定义；理解题意，利用等边三角形的性质结合勾股定理求点C的坐标是关键，数形结合解题是求yc范围的关键．
18．（1）在，理由见解析；（2）；（3）存在，E点坐标为：，F的坐标为：.
【分析】（1）分别过点A、B作AP⊥x轴，BG⊥y轴，垂足分别为P、G，根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理分别求出A、B的坐标，再将A、B坐标分别代入其解析式中，再利用A、D关于y轴对称求出D点坐标，去判断是否满足解析式即可；
（2）过点B作BH⊥OD，垂足为H，利用A、B坐标求出AB所在直线的解析式，即可求出C点坐标，利用30°所对的直角边是斜边的一半可求出BH的长，然后求△OBC和△OBD的面积从而求出四边形BCOD的面积；
（3）利用E、F所在的图像分别设出其坐标，再分别过E、F作x轴，y轴的平行线交于点M利用△EFM是直角三角形并证明其中一个角是30°，再用E、F坐标表示出EM和FM的长度利用即可求出E、F的坐标.
【解析】解：（1）分别过点A、B作AP⊥x轴，BG⊥y轴，垂足分别为P、G

∵是等腰直角三角形，，
∴∠AOP=∠BOG=30°
∴AP=AO=1，BG=OB=1
根据勾股定理：

∵点A在第二象限，点B在第一象限
∴点A坐标为，点B的坐标为：
∵点A在反比例函数图象上，B在反比例函数图象上，
将A、B坐标分别代入其对应解析式得：

解得：
∴点A在反比例函数图象上，B在反比例函数图象上
∵A、D关于y轴对称
∴点D的坐标为
将代入反比例函数，解得：
故点D在的图象上.
（2）过点B作BH⊥OD，垂足为H

设直线AB的解析式为：y=kx＋b
将A、B坐标代入得：

解得：
∴直线AB的解析式为：
将x=0代入得：
∴C点坐标为：
即OC=
∵沿y轴折叠得，
∴∠DOC=∠AOC=60°，OD=OA=2
∴∠BOH=∠DOC－∠GOB=30°
∴BH=BO=1
∴S△BOC=OC·BG=，S△BOD=OD·BH=
∴S四边形BCOD= S△BOC＋S△BOD=
（3）存在，
∵E、F分别在反比例函数和图像上，I为x轴正半轴上一点，

设E点坐标为，点F的坐标为
分别过E、F作x轴，y轴的平行线交于点M
∴EM=，FM=
∵EF∥OB，EM∥x轴，EM∥y轴，∠BOI=90°－∠BOC=60°
∴∠FEM=∠BOI=60°
∴∠EFM=30°
∴EM=EF=1，
∴
解得：，
将，分别代入其对应解析式中，
，
∴E点坐标为：，F的坐标为：
【点评】此题考查的是（1）用待定系数法求反比例函数解析式和30°所对的直角边是斜边的一半及勾股定理；（2）利用坐标求面积；（3）利用坐标表示线段长度；此题难度较大，找到等量关系列方程及利用坐标表示出各个线段的长度是解决此题的关键.