2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形附答案

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2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形附答案
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于点E，连接DE．若，．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且以P，A，E为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P点坐标．




2．如图，AB和与x轴垂直，A点坐标是，和是位似三角形，且位似比是，点C是的中点，反比例函数的图象经过点C，与交于点D．

(1)求点D坐标；
(2)连接BD、CD，求四边形ABDC的面积．


3．已知反比例函数y图象过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．

(1)求反比例函数的解析式和直线y＝ax+b解析式．
(2)若点C的坐标是（0，﹣2），求△CAB的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．






4．如图1，点A是函数的图象上一动点，连结OA交函数的图象于点B，过B作x轴的平行线交函数的图象于点C，连结AC并延长交x轴于点D．设点B的横坐标为m．

(1)若m＝2，则点A的坐标是______．
(2)连结OC，若△AOC是以AC为底边的等腰三角形，求m的值．
(3)如图2，连结OC，BD，相交于点E，在点A向右运动的过程中，四边形ABEC的面积会变吗？如果会，请说明理由，如果不会，请求出它的面积．






5．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数的图象交AB于E点，连接DE．若OD=5，．

(1)求过点D的反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形，请直接写出P点的坐标．






6．如图，在等腰三角形AOB中，AO=AB，点O是平面直角坐标系原点，点A在反比例函数的图象上，已知OA=5，OB=6．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点P，交x轴于点C．
①求直线AC的解析式；
②求点P的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．

(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；
(2)若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(3)若点M是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．






8．如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．






9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，作轴于点．

(1)求直线的函数解析式；
(2)设点P是y轴上的点，若的面积等于4，求点P的坐标；
(3)设E点是x轴上的点，且为等腰三角形，直接写出点E的坐标．








10．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．

(1)求出两个函数解析式；
(2)在轴正半轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)直接写出满足的的取值范围．





11．在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”
（1）若，则点的“影射点”的坐标是_________；点的“影射点”的坐标是_________；
（2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是________；
（3）如图，已知点是点的“影射点"，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值．

12．已知双曲线的图象过点．

（1）求的值，并求当时的取值范围；
（2）如图1，过原点作两条直线与双曲线的图象交于、与、．我们把点的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若、、、都是整点，试说明四边形是矩形；
（3）如图2，以过原点的线段为斜边作一个直角三角形，且三个顶点、、都在双曲线上，若点的横坐标为，点的点横坐标为，问：是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．










13．如图，直线y＝kx＋2k (k≠0)与x轴交于点B，与双曲线y＝(m＋5)x2m＋1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若S△AOB＝2，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．







14．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当＝时，求直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．








15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．












16．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于点A（1，3）和B（m，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）以点O为位似中心画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2，请在图中画出所有符合条件的三角形．




17．如图：在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．AB的对应线段CB恰好经过点O．
（1）求证是等边三角形；
（2）求出双曲线的解析式，并判断点C是否在双曲线上．请说明理由；
（3）在y轴上是否存在一点P．使的周长最小．若存在．求点P的坐标：若不存在，请说明理由．



18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点（在的左侧），与轴和轴分别交于，两点．

（1）当时，求、两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，直线、分别交反比例函数图象的另一支于点和点，连接、和，交轴于点，交轴于点．若．
①求此时反比例函数的表达式．
②求四边形的面积．

参考答案：
1．(1)
(2)P点坐标

【解析】（1）∵四边形是矩形
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴
把代人得，
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点D是CB中点，
∴B（8,3）
当x=8时

∴E（8，）
当AEP构成等腰三角形时，只能是PA=EA=
P点可位于E点左边或右边
当P点位于E点左边时：
P的横坐标x=8-=
当P点位于E点右边时：
P的横坐标为x=8+=
故P点坐标
【点评】本题考查待定系数法确定反比例函数表达式、矩形性质在求坐标中的应用，等腰三角形性质，掌握这些才能解出此题．
2．(1)
(2)

【分析】（1）利用位似三角形的性质先求解 再求解的坐标，可得反比例函数的解析式，从而可得答案；
（2）先确定，再分别计算各三角形的面积即可．
（1）
解：和是位似三角形，且位似比是，

A点坐标是，



点C是的中点，

即反比例函数为：
轴，

即
（2）
如图，






【点评】本题考查的是位似三角形的性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，图形与坐标，熟练的运运位似图形的性质求解点的坐标是解本题的关键．
3．(1)；
(2)9
(3)存在，P点坐标为或或或

【分析】（1）将代入得，进而可得反比例函数解析式；将代入，得，可得点坐标，然后将坐标代入中求出的值，进而可得的解析式；
（2）如图，将代入中求解，可得点坐标，根据，计算求解即可；
（3）设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解： ①当时，即，求解满足要求的解即可；②当时，，，进而可得点坐标；③当时，即，求解满足要求的解即可．
【解析】（1）解：∵反比例函数过点A
∴将代入得
∴反比例函数解析式为；
将代入，得
∴
将，代入得
解得
∴直线y＝ax+b解析式为．
（2）解：如图

将代入得
∴
∴


∴的面积为9．
（3）解：存在．
设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解：
①当时，即
解得，（不合题意，舍去）
∴；
②当时，
∵
∴
∴的坐标为，；
③当时，即
解得
∴；
综上所述，在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，P点坐标为或 或 或 ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．(1)
(2)
(3)不变，

【分析】（1）先求出B点坐标，再求出直线OB的解析式，联立直线OB与即可求出A点坐标；
（2）设点，再求得，，根据得到关于m的方程，故可求解；
（3）设点，由（2）点可得，，因此BC＝8m，，，，由，求出△ABC和△OBC的面积，再利用相似三角形的性质得到，故可得到，所以可得到，不变．
【解析】（1）∵点B的横坐标为m，m=2，代入得B（2，）
设直线OB为y=kx（k≠0）
代入B（2，）得=2k，
解得k=
∴直线OB为y=x，
联立
解得或（舍去）
∴；
故答案为：；
（2）∵△AOC是以AC为底边的等腰三角形，
∴OA＝OC，
∴．
设点，
∵过B作x轴的平行线交函数的图象于点C
∴B，C的纵坐标相等，
∴
设直线OB为y=kx（k≠0）
代入得，
解得k=
∴直线OB为y=x，
联立
解得或（舍去）
∴；
∵
∴，
∴，
∴．（负值舍去）
（3）（3）设点，由（2）可得，，
∴BC＝8m，，，，
∵，
∴．
∴，
∵BC//OD
∴△ABC∽△AOD，△BCE∽△DOE
∵△ABC∽△AOD
∴，
∵△BCE∽△DOE
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCE面积不变，是．
【点评】此题主要考查反比例函数与相似三角形综合，解题的关键是熟知待定系数法、反比例函数坐标与函数值的关系及相似三角形的判定与性质△BCE∽△DOE．
5．(1)
(2)3
(3)(4，0)或(，0)

【分析】（1）由四边形是矩形，得到，，根据，设，，求出，，，得到，代入反比例函数的解析式即可．
（2）根据点的坐标求出点，的坐标即可求出结论；
（3）分类讨论：当时，过作轴于，点即为所求，当时，根据三角形相似进行求解即可．
(1)
解：四边形是矩形，
，，
，
设，，
，
，
，，
，
设过点的反比例函数的解析式为：，
，
反比例函数的解析式为：；
(2)
解：点是的中点，
，
，，
点在过点的反比例函数图象上，
，
；
(3)
解：存在，
为直角三角形，
当时，轴于，
，
，
当时，
如图，过作轴于，

，
∴
，
，
．
，，
存在点使为直角三角形，
，，．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质三角形的面积的求法、已知正切值求边长、相似三角形的判定及性质，解题的关键是需要对（3）进行分类讨论，不能漏解．
6．(1)反比例函数的解析式为y=(x＞0)；
(2)①直线AC的解析式为y=-x+；②点P的坐标为（，）．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题；
（2）①利用相似三角形的判定和性质求得CD，即可求得C的坐标，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
②解析式联立成方程组，解方程组即可求得点P的坐标．
（1）
解：作AD⊥OB于D，

∵AO=AB，OA=5，OB=6．
∴OD=BD=3，
∴AD==4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入y= (x＞0)，可得k=12，
∴反比例函数的解析式为y=(x＞0)；
（2）
解：①∵AC⊥OA，
∴△OAC是直角三角形，
∵AD⊥OC，
∴∠OAD+∠DAC=90°，∠OAD+∠DOA =90°，
∴∠DAC=∠DOA，
∴Rt△DAC∽Rt△DOA，
∴，
∴AD2=OD•CD，即16=3•CD，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=，
∴C（，0），
∴设直线AC的解析式为y=ax+b，
把A、C的坐标代入得，，
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+；
②解得或，
∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求得A的坐标．
7．(1)a＝2，b＝3，
(2)平行四边形ABCD是矩形，见解析
(3)（5，1.2），

【分析】（1）把A和B分别代入y＝﹣x+5，得：a＝2，b＝3，再把A（3，2）代入，得：k＝6，故反比例函数解析式为；
（2）由于CD∥AB，可设CD的解析式为y＝﹣x+m，由OD＝1得D的坐标为（1，0），将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，得C的坐标为（0，1），由A，B，C，D可算出，由AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形，过点B作BE⊥y轴于点E得E，由△BEC和△COD都等腰直角三角形证出∠BCD＝90°，即可得平行四边形ABCD是矩形；
（3）分∠MAD＝90°或∠AMD＝90°两种情况计算，当∠MAD＝90°时，通过作辅助线构造△MAQ≌△ADP得PD＝AQ＝2，QM＝AP，设M的坐标为（5，n），由M在反比例函数得5n＝6，得n＝1.2，得M（5，1.2）；当∠AMD＝90°时，同理可求．
【解析】（1）把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5，
得：a＝2，b＝3，
把A（3，2）代入，得：k＝6，
∴反比例函数解析式为；
（2）∵CD∥AB，
∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，
∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，
∴D的坐标为（1，0），
∴-1+m=0，得m=1，
∴直线CD的解析式是y=-x+1，
当x=0时，y＝﹣x+1=1，
∴C的坐标为（0，1），
以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：
∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
∴，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如图，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），

∴BE＝CE＝2，
∴△BEC和△COD都等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（3）①当∠MAD＝90°时，
过点A作直线l∥x轴，过点M作MQ⊥直线l于点Q，过点D作DP⊥直线l于点P，

∵∠MAD＝90°，
∴∠MAQ+∠PAD＝90°，
∵DP⊥直线l于点P，
∴∠PAD+∠PDA＝90°，
∴∠AQM＝∠PDA，
在△MAQ与△ADP中，
，
∴△MAQ≌△ADP（AAS），
∴PD＝AQ＝2，QM＝AP，
设M的坐标为（5，n），
∴5n＝6，则n＝1.2，
∴M（5，1.2）；
②当∠AMD＝90°时，同理，过点M作直线l∥y轴，过点A作AP⊥直线l于点P，过点D作DQ⊥直线l于点Q，
可得：△MAP≌△DMQ，
∴PM＝DQ，QM＝AP，
设M的坐标为（3+n，n），
∴n（3+n）＝6，
解得：，（舍去），
∴，
综上所述：M的坐标为（5，1.2），．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．(1)
(2)或
(3)的坐标为：或或或

【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；
（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；
（3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.
【解析】（1）解： AB⊥x轴，AB=3，

则
设反比例函数为

所以反比例函数为
（2）解：存在，或；理由如下：
如图，作的角平分线交于 过作于
而轴，则

则
而



如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于
则 而



而

设

解得：

综上：或
（3）解：如图， 为等腰三角形，

当时，
当时，
当时，
当时，设

解得：
综上：的坐标为：或或或
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.
9．(1)
(2)P（0，6）或P（0，﹣2）
(3)（-4，0）或（--4，0）或（4，0）或（-1.5，0）．

【分析】（1）由AD⊥x轴，OD＝2，即可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由点P是y轴上的点，若△ACP的面积等于4，可求得CP的长，继而求得点P的坐标；
（3）先求出B坐标，由勾股定理求出BC值，分三种情况：①当BE＝BC时，②当CB＝CE时，③当EB＝EC时，分别讨论即可.
【解析】（1）解：∵AD⊥x轴，OD＝2，
∴点D的横坐标为2，
将x＝2代入y＝，得y＝3，
∴A（2，3），
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）
将点C（0，2）、A（2，3）代入y＝kx+b得
∴
∴直线AB的函数解析式为；
（2）解：∵点P是y轴上的点，△ACP的面积等于4，A（2，3），
∴S△ACP＝CP×=CP×2＝4，
∴CP＝4，
∵C（0，2），点P是y轴上的点，
∴P（0，6）或P（0，﹣2）；
（3）解：直线AB的函数解析式为，
令y=0，得x=-4，
∴B（-4，0），
∵C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴BC＝，
如图：

①当BE＝BC＝时，E1（-4，0），或E2（--4，0）；
②当CB＝CE时，OB=OE3，则E3（4，0）；
③当EB＝EC时，点E在线段BC的垂直平分线上，设点E4（m，0），连接CE4，
则（m+4）2=22+m2，解得m=-1.5，
故E4（-1.5，0）；
综上：E的坐标为（-4，0）或（--4，0）或（4，0）或（-1.5，0）．
【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
10．(1)，
(2)存在，，或，
(3)

【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）设点，，利用勾股定理分别求出，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的定义结合一元二次方程求出m值即可；
（3）求出点C的坐标，结合图像解答即可
（1）
解：反比例函数的图像过点，
，
反比例函数的解析式为，
反比例函数的图像过点，
，
，
，
一次函数的图像过A，两点，
，
解得，，
一次函数的解析式为；
（2）
解：设点，，
，，
，，，
为等腰三角形，
①当时，，
，
（舍或，
，，
②当时，，
，
（舍，
③当时，，
，
（舍或，
，，
即满足条件的点的坐标为，或，．
（3）
解：一次函数的解析式为，其图像与轴交于点，
点的坐标为，
，
的的取值范围是．
【点评】此题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理求线段长，结合图像求不等式的取值范围，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强．
11．（1）；；（2）1；（3）或．
【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转180°，根据中心对称即可求得；
（2）根据定义，是轴上的点，先确定直线与轴的交点，根据交点互为“影射点”即可求得；
（3）根据点是点的“影射点"，是以为直角边的等腰直角三角形，再根据点是反比例函数图像上一点，分类讨论①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得，②同①的方法，如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为，先求得点的坐标，进而证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得．
【解析】（1）设的坐标是的坐标是，
，绕点旋转180°，
，
，，
，
；，
故答案为：；，
（2）根据定义，是轴上的点，设，
点在一次函数，令，得,则与轴的交点为，
其“影射点”在一次函数，令，得，则与轴的交点为，
，
解得：，
故答案为：1，
（3）①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，

，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在上，
，
解得 或者，
，
，
，
，
②如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为，

，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
解得：，
，
，，
即，
，
在上，
，
解得 ．
综上所述，或．
【点评】本题考查了中心对称的性质，中点坐标，一次函数与坐标轴交点问题，反比例函数的定义，三角形全等的性质与判定，求一个数的平方根，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键．
12．（1）0＜y＜；（2）见解析；（3）ab＝2，是定值．
【分析】（1）利用待定系数法以及反比例函数的性质求解即可．
（2）求出A，B，C，D的坐标，证明AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD即可解决问题．
（3）如图2中，连接OA．证明OA＝OB＝OD，利用轴对称的性质解决问题即可．
【解析】（1）解：∵双曲线y＝kx的图象过点（1，2），
∴k＝2，
∵x＝3时，y＝，
∴x＞3时，0＜y＜．
（2）证明：∵A，B，C，D都是整点，
∴A（1，2），B（2，1），C（−1，−2），D（−2，−1），
∴AC＝， BD＝，
∴AC＝BD，
∵反比例函数是中心对称图形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（3）解：如图2中，连接OA．

∵反比例函数是中心对称图形，
∴OB＝OD，
∵∠DAB＝90°，
∴OA＝OB＝OD，
∵反比例函数关于直线y＝x对称，OA＝OB，
∴A，B关于直线y＝x对称，
∴点A的纵坐标与点B的横坐标相同，
∴A（a，b），
∵点A在y＝上，
∴ab＝2，是定值．
【点评】本题属于反比例函数与平面几何的综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，中心对称轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用中心对称的性质，轴对称的性质解决问题，属于中考压轴题．
13．（1）；（2）A；（3）存在，P点坐标为：或或或．
【分析】（1）利用双曲线的定义（k≠0）即可得出；
（2）联立，解得点A的坐标，再利用S△AOB＝|OB|•y=2，解得k即可；
（3）存在，设P（x，0）．分类讨论：①若|OA|=|OP|，②若|AO|=|AP|，③若|PA|=|PO|，再利用两点间的距离公式即可得出．
【解析】解：（1）由双曲线y=（m+5）x2m+1，利用双曲线的解析式和图象可得
，解得，
∴双曲线的方程为．
（2）联立，
解得，（x＞0），
∴，
由直线y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x=2，
∴B点坐标（2，0）；
∴，
∵S△AOB＝|OB|•y=2，
即，
解得，
∴x=2，y=2，
∴A（2，2）．
（3）存在，设P（x，0）．
①若|OA|=|OP|，则，
解得；
②若|AO|=|AP|，则，
解得x=4，或x=0（舍去）；
③若|PA|=|PO|，则，
解得x=2．
综上可知：点P的坐标为以下四个，
或或或．
【点评】熟练掌握双曲线的定义及其性质、直线与双曲线的相交问题转化为方程联立得到方程组、三角形的面积计算公式、两点间的距离公式、分类讨论的思想方法等是解题的关键．
14．（1），n=2；（2）；（3）（1，），（，）
【分析】（1）将、代入反比例函数解析式，进而得出的值；
（2）根据题意进而得出，，的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）利用与 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【解析】解：（1）、在反比例函数的图象上，
，，
，，
反比例函数的解析式为；
（2）如图1，过点作，垂足为．

在中，，
，，
，
．
．
设直线的解析式为，代入、，
得，解得：，
因此直线的函数解析式为：；
（3）存在，
如图2，作于，于，

当时，，
，
，
，
，可得，，
点的坐标为；
如图3，当时，，

，，由勾股定理，，
，
，
，，，
，可得，，
点的坐标为，，
点的坐标为；，．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（1），；（2）；（3）存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）把分别代入直线和反比例函数进行求解即可；
（2）连接OA、OB，由解得：，，进而可得，然后由一次函数可得，最后根据割补法可求解△AOB的面积；
（3）当以、、为顶点的三角形与相似时，始终有，由（2）可得OC=2，OD=4，设点，则，，则可分①当时，②当时，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．
【解析】解：（1）把代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）连接OA、OB，如图所示：

由解得：，，
∴，，
在上，当时，
，解得：
∴
∴
∴，
，
∴；
（3）由题意可得如图所示：

当以、、为顶点的三角形与相似时，始终有，由（2）可得OC=2，OD=4，设点，则，，
①当时，
∴，即，
解得：，
∴点或；
②当时，
∴，即，
解得：，
∴点或；
综上所述：当以、、为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或或或．
【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何综合及相似三角形的性质是解题的关键．
16．（1）；（2）或；（3）见解析
【分析】（1）由反比例函数图象过点A，可求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后将A点坐标代入y＝﹣x+b，可求一次函数的表达式；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）根据题意画出图形即可．
【解析】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）图象经过A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式是y＝，
∵反比例函数y＝的图象过点B（m，1），
∴m＝3，
∴B（3，1）．
∵一次函数y＝ax+b图象相交于A（1，3），B（3，1）．
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的表达式是y＝﹣x+4；
（2）由图象知，当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）如图所示△OA′B′和△OA″B″即为所求．

【点评】本题考查了反比例函数综合题，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
17．（1）见解析；（2）双曲线解析式为：，在，理由见解析；（3）存在，点
【分析】（1）由轴，可得，由绕点B逆时针旋转△CDB可得，由，可得=∠OBD即可；
（2）由是等边三角形，利用特殊角三角函数可求，由双曲线经过点B，可求双曲线的解析式为；由，，可求，由，可得，可求即可；
（3）由的周长，且BD是定值，当取最小值时，有最小值，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，由，可得，，由是等边三角形，可求点D（2，0），设直线解析式为，代入B′，C坐标得，可求，由当时，即可．
【解析】解：（1）∵轴，
∴，
∵绕点B逆时针旋转△CDB
∴，
∴，
∵，
∴=∠OBD，
∴是等边三角形．
（2）由（1）得：是等边三角形，
∴，
yB=OB•sin60°=2×，xB=OB•cos60°=2×
∴，
∵双曲线经过点B，
∴，
∴双曲线的解析式为；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点C在双曲线上；
（3）∵的周长，且BD是定值，
∴当取最小值时，有最小值，
如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，

∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴点D（2，0），
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点．
【点评】本题考查平行线性质，三角形旋转性质，等边三角形判定与性质，特殊角的三角函数，反比例函数解析式，30°角直角三角形的性质，轴对称性质，一次函数解析式与性质等涉及的知识较多，解题较繁琐，认真审题与观察图形，利用数形结合思想是解题关键．
18．（1），；（2）存在，点的坐标为或；（3）①；②16．
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组并检验可得答案；
（2）分两种情况讨论，①若，过点作于，设与轴的交点为， 先求解点，，，．再证明，可得，，求解直线的解析式为，联立，再解方程组可得的坐标，②若，同①理可得的坐标；
（3）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可得，证明，可得．证明四边形是平行四边形，设，，，，可得，再利用，都在反比例函数的图象上，列方程，解方程可得答案；②先求解直线的解析式为．再求解，，由，可得平行四边形的面积．
【解析】解：（1）当时，反比例函数解析式为，
联立，



当时，
当时，
得或，
经检验：或都是原方程组的解，
所以，．
（2）①若，
过点作于，设与轴的交点为，如图，

令，解得，
∴点，．
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，，
∴，

∴，
∴，即，
∴，

∴，
可设直线的解析式为，
则有，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
经检验：或都是原方程组的解，
∴结合图像可得点的坐标为．
②若，
同①理可得：点的坐标为．
综上所述：符合条件的点的坐标为或．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则有，

∴，
∴．
∵，
∴．
由反比例函数的对称性可得：
四边形是平行四边形，
①设，，
∴，，
∴，即．
∵，都在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
∵，
解得：．
∴，，．
∴反比例函数解析式为．
②设直线的解析式为，
则有，
解得，
∴直线的解析式为．
令，解得，
∴，，
∴
．
四边形为平行四边形．
∴．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．