2023孝感重点高中教科研协作体高二下学期4月期中联考数学试题含答案

2023年湖北省孝感市高二期中考试

高二数学试卷

命题学校：汉川一中 命题教师：姚雅倩    审题学校：孝感一中

考试时间：2023年4月11日下午15：00-17：00    试卷满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上.

2.回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.椭圆的长轴长为（    ）

A.1    B.    C.2    D.

2.3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（    ）

A.    B.    C.12    D.16

3.已知抛物线的焦点为，若点在抛物线上，则（    ）

A.3    B.4    C.5    D.6

4.已知为等差数列，，则（    ）

A.23    B.22    C.21    D.20

5.已知函数，则在处的导数是（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（    ）

A.3    B.4    C.5    D.6

7.过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知函数，下列命题中为真命题的是（    ）

A.的单调递减区间是

B.的极小值点是2

C.有且只有一个零点

D.过点只能作一条直线与的图象相切

11.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的周长为，则下列命题正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.数列的前项和为

12.已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，关于点的轨迹，下列命题正确的是（    ）

A.若是圆内的一个定点（非点）时，点的轨迹是椭圆

B.若是圆外的一个定点时，点的轨迹是双曲线的一支

C.若与点重合时，点的轨迹是圆

D.若是圆上的一个定点时，点的轨迹不存在

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.乘积展开后共有项__________.

14.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值是__________.

15.已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为__________.

16.数列满足，前16项和为352，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知等差数列的前项和为，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前2023项和.

18.（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处切线方程为.

（1）求实数的值；

（2）求的单调区间，并求的极大值.

19.（本小题满分12分）如图所示，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为

（1）求的值；

（2）若线段的垂直平分线与抛物线交于两点，求的面积.

20.（本小题满分12分）已知正项数列和，数列的前项和为，若，

（1）求数列与的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，若，求的最小值.

21.（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的左､右顶点分别为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别相交于两点，求线段的长度的最小值.

22.（本小题满分12分）已知函数，其中.

（1）求的单调区间；

（2）当时，设为的两个极值，证明：.

2023年湖北省孝感市高二期中考试

高二数学试卷答案

一､单项选择题

1.D    2.B    3.C    4.C    5.A    6.B    7.A    8.A

二､多项选择题

9.BD    10.ABD    11.ACD    12.AC

三､填空题

13.12    14.    15.    16.5

1.【答案】D  化椭圆的标准方程可得，得，所以长轴长为.

2.【答案】B  每个班有4种不同选择，共有种不同选法

3.【答案】C  将点代入抛物线方程，得到，所以

4.【答案】C  可得，则，所以.

5.【答案】A  对函数求导可得，所以，

可得

6.【答案】B  联立可得，则公比，

所以，所以.

7.【答案】A  由点差法知，直线的斜率，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.

8.【答案】A  由，得，令

可得，即在上递增，上递减，令表示斜率为，纵截距为-2的直线，画图象可得，

由图象得，可得

9.【答案】BD  直线与坐标轴的交点为，

，故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.

10.【答案】ABD  ，可得的单调递减区间为，

A项正确；又单调递增区间为，所以2是的极小值点，

B项正确；又，则有三个零点，项错误；原点不在曲线上，设切点为，则，得，所以切点只有一个，D项正确.

11.【答案】ACD  分析知及，得项正确，B项错误；

由及，得项正确；数列的前项和为D项正确

12.【答案】AC  若是圆内的一个定点（非点）时，，

的轨迹是以为焦点的椭圆，所以A项正确；若是圆外的一个定点时，的轨迹是以为焦点的双曲线，所以项错误；

若与点重合时，的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以项正确；

若是圆上的一个定点时，点的轨迹为点构成的集合，所以项错误.

13.【答案】12  由分步计数原理，展开后共有项

14.【答案】  可求得

15.【答案】  由题知，过作轴于，则，

16.【答案】5  由题知，

，又，

四､解答题

17.解：（1）由，得，解得

所以.

（2），

从而有：

故数列的前2023项和为.

18解：（1），

曲线在点处的切线方程为，

，解得.

（2）由（1）可知：，

.

由解得，或，此时函数在单调递增；

由解得，此时函数在单调递减.

故当时，函数取得极大值，极大值为.

19.解：（1）由于，

直线与联立，得：，

设，由知，

，即

（2）设中点为，由（1）知，

，即，与联立得：，

设，

20.解：（1）由知，，

两式相减：，

，整理得：，

由且得，，

由，得

②由①知，①

②

①-②得：

，又

所以的最小值为8

21.解（1）由已知得，

则椭圆的两焦点坐标分别为，

又

解得，又.

所以椭圆的方程为

（2）法一：设

则直线方程为，与联立，得：

，与联立，得：

则，又

所以，

当且仅当，即，得，即时，取等号

所以，线段的长度的最小值

法二：设，则直线的斜率为，则直线的斜率为，

结合得：

所以可设直线方程为，与联立，得

设直线方程为，与联立，得

所以，

当且仅当，即，此时时，取等号

所以，线段的长度的最小值

22.解：（1）依题可知：定义域为

①当时，由，得，或，所以的单调递增区间为，

由，得的单调递减区间为.

②当时，的单调递增区间为的无单调递减区间.

③当时，由，得，或，所以的单调递增区间为

由，得的单调递减区间为.

（2）法一：当时，的两个极值分别为：，

令，则

令，则，

所以在上单调递减，且，

故存在，使得，即，

当单调递增；当单调递减，

所以

.又

所以

（2）法二：（前略）

令，则

当时，在上单调递增；当时，

在上单调递减，