2023届内蒙古赤峰市四校高三下学期5月模拟考试理科数学试题含答案

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赤峰市四校2023届高三下学期5月模拟考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为（    ）

A．25 B．50 C．75 D．100

4．已知x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A．1 B． C．-2 D．

5．如图1，放置在桌面上的直三棱柱容器中，灌进一些水，水深为2，水面与容器底面平行．现将容器底面的一边AB固定于桌面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（    ）

A．4 B． C．3 D．6

6．已知双曲线的渐近线与抛物线交于O、A（O是坐标原点）两点，F是抛物线的焦点，已知，则（    ）

A．2 B．3 C．7 D．6

7．如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（    ）

A． B．2 C．3 D．6

8．定义运算如果，，，满足等式，函数在单调递增，则取最大值时，函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，且．若四棱锥的五个顶点在同一球面上，已知棱PA最大值为，则四棱锥的外接球体积为（    ）

A． B． C． D．

11．下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；②双曲线与椭圆的焦点相同．③M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．④直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．错误的个数是（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

12．已知函数的一条对称轴是，若存在使直线与函数的图像相切，则当取最小正数时，实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，则二项式的展开式中，常数项是______．

14．函数的极大值点为______．

15．“康威圆定理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一，定理的内容是：如图，的三条边长分别为a，b，c（即，，）．延长线段SR至点A，使得，以此类推得到如图所示的点B，C，D，E，F，那么这六点共圆，此圆称为康威圆．若，，，往此康威圆内投掷一点，该点落在内的概率为______．

16．已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设函数，且，求数列的前n项和．

18．（12分）

如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，四边形ABCD是圆O的内接四边形，BD为底面圆的直径，M在母线PB上，且，，．

（1）求证：平面平面ABCD；

（2）设点E为线段PO上动点，求直线CE与平面ADM所成角的正弦值的最大值．

19．（12分）

中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为，据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．

（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；

（2）设总决赛中获得门票总收入为X，求X的数学期望．

20．（12分）

已知，为双曲线E：（，）的左、右焦点，E的离心率为，M为E上一点，且．

（1）求E的方程；

（2）设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的A，B两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作，垂足为C，是否存在点D，使得为定值?若存在，求出点D的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由．

21．（12分）

已知函数在处的切线方程为．

（1）若a；

（2）证明有两个零点．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为：，已知直线l与曲线C相交于M，N两点．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）记线段MN的中点为P，若恒成立，求实数的取值范围

23．［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数．

（1）若，对恒成立，求的最小值

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

赤峰市四校2023届高三下学期5月模拟考试

数学（理科）试卷参考答案解析及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

8．解，

因为，所以，

而，所以，即，

当时，，

∵在上单调递增，∴，∴

当时，的最小正周期

故选：A．

9．解：

∴，故选D（本题求导求解也可）

10．解：如图，由及，得平面PAD，即P点在与BA垂直的圆面内运动，

由题意知，当P、、A三点共线时，PA达到最长，此时，PA是圆的直径，则，

又，所以平面ABCD，

此时可将四棱锥补形为长方体，则P与重合，且面对角线，所以长方体的体对角线，∴

  故选：B

12．

∵是的一条对称轴，∴，，

∴，∵，∴的最小正整数值为2．

∴∴

若使与相切，

则，且，解得或

故选D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 14．―2 15． 16．

15．解析：由已知中，，，可求得，由余弦定理得，∴，则为直角三角形，其面积为6，设的内切圆半径为r，圆心为O，则，∴，由已知，所以O也为此康威圆的圆心，设康威圆半径为R，则，∴此康威圆面积为

故往此康威圆内投掷一点，该点落在内的概率为

16．解：由得，即：

令，则．

∵为R上的单调递增函数，∴，∴恒成立．

令，则，

∴在上单调递增，在上单调递减．

∴，∴，∴

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本题满分12分）

解：（1）

当时，，

以上各式分别相加得，解得

经检验符合，所以，

（2）

两式相减得：

．

∴

18．（本题满分12分）

解：（1）证明：如图，设AC交BD于点N，连接MN，OC，OA，

由已知可得，所以四边形ABCO为菱形，所以

∵，，，∴，∴，∴，因为N为OB的中点，∴，．由余弦定理可求得，

∴，即．

又AC，平面AMC，，∴平面AMC．

又平面ABCD，∴平面平面ABCD．

（2）由已知，所以四边形ABCO为菱形，所以

易知，又，BD，平面PBD∴平面PBD，

又平面PBD，∴．由（1）知．所以平面ABCD，∴

且．以点N为坐标原点，NA，ND，NM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，，，

设则

∴，，

设平面AMD的法向量为，

则，即，令，则．

设直线CE与平面AMD所成的角为，则

当时，，当时，

∴时，取到最大值4．

此时，取到最大值1

（2）另解：由，知，

当时，，此时平面AMD

设直线CE与平面AMD所成的角为，因为，当时，

取到最大值1．

19．（1）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列．

设此数列为，则易知，，所以．

解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场

则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为．

所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为．

（2）随机变量X可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900，

，，

，，

所以X的分布列为

所以

20．解：（1）由题意，

在双曲线E：（，）中，E的离心率为得

根据双曲线的定义可知，，

∴，则，∴，

∴E：．

（2）由题意及（1）得，

在E：中，，

∴点M在双曲线E的左支上，

当点M在坐标轴上，则点M的坐标为，

设，，

当AB的斜率存在时，设AB的方程为，

联立，整理得，

，则，

，，

∵M在以AB为直径的圆上，∴

则，

∴，

整理得，

解得或，

验证均满足．

当时，直线AB的方程为，则直线AB过点M，不合题意，舍去；

当时，直线AB的方程为，则直线AB过定点，符合题意．

当直线AB的斜率不存在时，由，

可设直线AM的方程为，

联立，解得，，

所以直线AB的方程为：，

则直线AB过定点．

∵

∴是以MQ为斜边的直角三角形，

∴点C在以MQ为直径的圆上，则当D为该圆的圆心时，

为该圆的半径，即，

故存在点，使得为定值．

21．解：（1），

因为在处的切线方程为

∴，∴

（2）由（1）知，

要证有两个零点，即证方程有两个不等实根，即证函数

与有两个交点

令，，∴单调递增，又，

∴当时，∴，函数与无交点．

当时，，

当时，

令

当时，．

当时，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

又∵，，∴，

即当时，，当时，

综上，当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减．

又时，且当时，

∵，

∴函数与有两个交点

即函数有两个零点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．解（1）∵曲线C的参数方程为（为参数），

∴曲线C的直角坐标方程为

化为一般式得：

设

∴

∴曲线C的极坐标方程为：

（2）联立和，得，

设、，则，

由，得，

当时，取最大值，故实数的取值范围为

［选修4-5：不等式选讲］

23．解：（1）由题可得，

函数的图像如下

如图所示，，则，即，

∵，，

可得，于是，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为

（2）令，则是恒过点，斜率为a的直线，

由恒成立，则表示函数图像恒在函数图像上方，

当过点时，，

结合图像分析可得，，

故