江西省新余市2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022—2023学年江西省新余市八年级下学期期中考试数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分．）

1．下列运算或变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列图形：①线段；②等腰三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正五边形．是轴对称图形的有（    ）个

A．3 B．4 C．5 D．6

3．如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点为（    ）

A．2 B． C． D．

4．如图，的周长为，，和相交于点，交于点，则的周长是（    ）

A． B． C． D．

5．对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ）

A． B． C． D．

6．若实数，，满足条件，则，，中（    ）

A．必有两个数相等  B．必有两个数互为相反数

C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不等

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分．）

7．当______时，二次根式取到最小值．

8．已知点，是关于轴对称的点，______．

9．若，化简：______．

10．如图，，，若，则四边形的面积为______．

11．如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，，则图中阴影的面积为______．

12．如图，在中，，，，是线段的中点，为直线上的一动点，连结．过点作，交直线于点，连结．若，则的长为______．

三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分．）

13．（1）计算：；

（2）已知，求代数式的值．

14．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时发现，如图，长2.5米的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子的底端到墙角的距离为1.5米，当梯子的底端向右移动0.5米到处时，请你帮乐乐算一算，梯子顶端下滑了多少米？

15．如图，中，是的中点，，，．

（1）求证：；

（2）求的面积．

16．（1）如图1，矩形的顶点在射线上，顶点、在射线上，且，只用无刻度的直尺作的角平分线；

（2）如图2，为菱形中边的中点，只用无刻度的直尺在对角线上求作点，使．

17．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．

（1）若，时，求阴影部分的面积；

（2）若，求图中阴影部分的面积．

四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分．）

18．春运期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增4人，每分钟每个窗口出售票数3张．（规定每人只限购一张）

（1）若开放两个售票窗口，问开始售票后多少分钟售票厅内有320人？

（2）若在开始售票20分钟后，来购票的旅客不用排队等待，至少需要开放几个窗口？

19．某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生调查了他们的平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档档：；档：；档：；档：．根据调查情况，并绘制成两幅统计图（不完整）．根据以上信息解答问题：

（1）本次调查的档次的学生人数有人，并将条形图补充完整；

（2）求档所在扇形统计图中圆心角的度数；

（3）已知全校共1200名学生，请你估计全校档和档共有多少人？

20．已知有理数、满足等式．

（1）求的平方根；

（2）计算：．

五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分．）

21．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：

例：求的算术平方根．

解：，∴的算术平方根是．

你看明白了吗？请根据上面的方法化简：

（1）；

（2）；

（3）试利用下图求中和的比值（结果保留根式形式）．

22．（1）如图1，若点，在直线的同侧，在直线上找一点，使的值最小．作法如下：作点关于直线1的对称点，连接与直线的交点就是所求的点．如图2，在等边三角形中，点是边的中点，是高，且，在上找一点，使的值最小．

作法如下：作点关于直线的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，求的最小值．

（2）实践运用：如图3，在四边形中，点与点关于直线对称，对角线与相交于点，，点是对角线上的一个动点，，点是的中点，求的最小值；

（3）拓展延伸：如图4，在四边形的对角线上找一点，使．（保留作图痕迹，不必写出作法）

六、解答题（本题共12分．）

23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，．

（1）求点到直线的距离；

（2）如图2，的角平分线交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，求的大小；

（3）如图3，，分别是边和对角线上的动点，且，求的最小值．

2022—2023学年江西省新余市八年级下学期期中考试

数学试卷参考答案

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分．）

1．【解答】解：∵，∴，

∴原式，故选：D．

2．【解析】解：轴对称图形有①线段；②等腰三角形；④矩形；⑤菱形；⑥正五边形．故选：C．

3．【解析】解：由题意得，

故，，

又∵点表示的数为2，∴点表示的数为．

故选：C．

4．【解答】解：∵四边形是平行四边形，

∴，，，

又∵，∴是线段的中垂线，

∴，∴，

∵的周长为，∴，

∴的周长，故选：B．

5．【解析】解：根据题中新定义列方程得：，

移项合并化简得：，解得：，故选：D．

6．【解答】解：，

去分母并整理得：，

即：，

∴，

，

即：，，，

必有两个数互为相反数，故选：B．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分．）

7．【解答】解：∵，

∴当，即时，有最小值0．

故答案为：2．

8．【解答】解：∵点，关于轴对称，

∴，，∴，

∴．故答案为：3．

9．【解答】解：原式，

∵，∴．

故答案为．

10．【解答】解：延长到，使，连接，，

∵，，

∵，，

∴，

∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，∴

∴，∴．

故答案为：25．

11．【解析】解：∵，，，

∴，

∴，

∵四边形是正方形，∴，，

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴，

即，

∴图中阴影部分面积之和，

故答案为：6．

12．【解答】解：当点在上时，

∵，，∴点是的中点，

∵是线段的中点，∴，

∴，

∵，∴四边形是矩形，

∴，∴；

当点在延长线上时，作，交延长线于，

则，

∴，

∵，∴垂直平分，

∴，

设，由勾股定理得，，

∴，∴，

故答案为：4或．

三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分．）

13．（1）【解答】解：原式．

（2）【解答】解：原式，

∵，∴，

原式．

14．【解答】解：∵，在中，

由勾股定理得，，

∴米，∵米，

在中，，

∴米，∴（米）

答：梯子顶端下滑0.5米．

15．【解答】解：（1）如图，过点作交延长线于点，

∵四边形是平行四边形，∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∵是的中点，∴，∴，

∵，，

∴，∴，

∵，∴．

（2）设交于．

∵，∴，

又∵，∴，得，

∵是的中点，∴．

16．【解答】解：（1）如图，角平分线即为所求；

（2）如图，点即为所求．

17．【解答】解：（1）在中，，，，

由勾股定理得：，

∴阴影部分的面积，

（2）∵，∴，

∵图中阴影部分的面积

，

故答案为：6．

18．【解答】解：（1）设开始售票后分钟售票厅内有320人，

由题意得，解得，

答：开始售票后40分钟售票厅内有320人．

（3）设同时开放个窗口，

由题意得，解得，

答：至少需同时开放8个售票窗口．

19．【解答】解：（1）本次调查的档次的学生人数有：（人），

档次的人数有：（人），

档次的人数有：（人），

补全条形统计图如下：

故答案为：40；

（2）档所在扇形统计图中圆心角的度数为：，

故答案为：108；

（3）根据题意得：（人）

答：估计全校档和档共有720人．

20．【解答】解：（1）∵，

∴，∴，∴，

∴的平方根是．

（2）带入，

．

21．【解答】解：（1），

（2）

．

（3）在中，，，

设，则，；

∵，，

∴，；

在中，∵，，，

∴

∴

22．【解析】解（1）如图中，

∵是等边三角形，是的中线，∴

∵，∴，，

∵，关于对称，

设交于点，连接，此时的值最小，最小值为的长．

故答案为：2；

（2）如图中，连接，．

∵，

∴四边形是菱形，是等边三角形，

∴，

∵，∴，∴，

∵，关于对称，∴，

∴，

∴的最小值为4；

（3）作点关于的对称点，连接并延长交于点，

此时．

23．【解答】（1）解：如图，

∵，∴，

∴，，

∴，

∵，∴，

∴，

∵四边形是平行四边形，∴．

（2）证明：如图中，延长交的延长线于．

∵，∴，

∵，，∴，

∵，，∴，

∴，，

∵四边形是平行四边形，∴，，

∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴．

（3）如图中，取的中点，连接，，过点作于，

过点作于，交于．

∵，∴四边形是奆形，

∴，（等腰直角）

∵，，∴，

∴，，

∴，，

∴，

∵，，，

∴，∴，

∴的最小值为．