适用于2023年高考理数模拟试卷（全国乙卷）含答案

 高考理数模拟试卷（全国乙卷）

一、单选题

1．已知集合，，则=（　　）

A． B．

C． D．{1}

2．已知复数的实部为1，且，则（　　）

A． B．2 C． D．4

3．已知向量，且，则（　　）

A． B．1 C． D．2

4．新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自4月20日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（　　）

A．4月30日~5月2日 B．5月3日~5月5日

C．5月6日~5月8日 D．5月9日~5月11日

5．已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（　　）

A．7 B．5 C．3 D．1

6．《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，则总个数（　　）

A．18 B．25 C．33 D．42

7．已知正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的动点.若直线与平面所成角为，则下列说法不正确的是（　　）

A．任意点E，F，二面角的大小为

B．任意点E，F，点C到面的距离为

C．存在点E，F，使得直线与所成角为

D．存在点E，F，使得线段长度为

8．在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．已知三棱台的六个顶点都在球O的球面上，，和分别是边长为和的正三角形，则球O的体积为（　　）

A． B． C．36π D．

10．设，随机变量的分布列分别如下，则(　　)

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

11．双曲线C：的左，右焦点分别为，，A是C上一点，满足，且，则C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

12．定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．自从申办冬奥成功之后，中国大力推广冰雪运动.统计数据显示，现中国从北到南总共有654块标准冰场和803块滑雪场，全国冰雪运动参与人数已达3.46亿人.一对酷爱冰雪运动的年轻夫妇，让刚好十个月大的孩子把“0､2､2､2､北､京”六张卡片排成一行，若依次排成“2022北京”或“北京2022”，就说“很好”，那么“很好”的概率是　     　.

14．直线l：被圆C：截得的弦长为，则m的值为　     　.

15．若函数在的值域为，则ω的取值范围是　         　

16．已知，恒成立，则的取值范围为　           　.

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若，，求△ABC的面积.

18．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱的中点，F是棱上的点，且A，D，E，F四点共面．

（1）求证：F为的中点；

（2）若为等边三角形，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

19．新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9天统计了第天的口罩的销售量（百件），得到的数据如下：，．

参考公式：相关系数；对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为

（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，求该回归直线的方程；

（2）统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，不够精确，于是尝试使用非线性模型（下面简称模型2）得到与之间的关系，且模型2的相关系数，试通过计算说明模型1，2中，哪一个模型的拟合效果更好．

20．已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.

21．已知函数．

（1）若时，过点作曲线的切线l，求l的方程；

（2）若函数在处取极小值，求a的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程与的直角坐标方程；

（2）已知：与曲线交于，两点，与交于O，N两点，求的取值范围.

23．设a，b，c均为正数，且．

（1）求的最小值；

（2）证明：．

1．C

2．C

3．B

4．A

5．B

6．B

7．C

8．B

9．B

10．A

11．B

12．B

13．

14．1或9

15．

16．

17．（1）解：因为，

所以，

所以，

因为，

所以.

因为，

所以.

（2）解：因为，，，

所以由余弦定理，

可得，即，

解得或（舍去），

故△ABC的面积为.

18．（1）证明：四棱锥中，平面平面，

∴平面．

由题意可知E，F在平面内，且A，D，E，F四点共面．

∴，∴．

∵E是棱的中点，∴F为中点．

（2）解：如图：以为x轴，连接中点O与中点G，为y轴，并过O作垂直于平面的z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

，设，则．

∴，

．

因为为等边三角形，所以，

所以为二面角的平面角，又二面角的大小为，

所以，

因为，，，平面，

所以平面，过作垂直于y轴于点H，因为平面，

所以，又，平面，

所以垂直于平面．且，，，，，∴，

∵E，F分别为中点，∴，

设平面的法向量为，则，

所以，取可得，

设与平面所成角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

19．（1）解：

由题意得，，

，

故所求回归直线的方程为；

（2）解：模型1的相关系数

故模型2的拟合性更好．

20．（1）解：由题意得，，解得或（舍去），

则椭圆的方程为

将代入：得，，解得，

则椭圆的方程为.

（2）解：设，，：，

联立，得，

由得，∴，∴.

由斜率公式可知，∴：，∴.

联立，得，即.

∵，∴，

∴，∴，此时满足，

则直线为：，则直线过定点.

21．（1）解：时，．

设切点，则，

故切线l的方程为，

由于切线l过点，则，

即，解得，故切线方程为．

（2）解：，，

令，则，

①当时，可知，在上单调递增，又，

则时，即，单调递减，时，即，单调递增

故在时取得极小值，故满足条件．

②当时，则在上为增函数，又，

若，，当 时，即单调递减，当 时，即单调递增，而，于是，即函数在上单调递增，不合题意；

若，，而，则存在使得，且时，则即单调递减，又，故时，单调递增，时，单调递减，此时为的极大值点，不合题意．

若，则，限定，故，于是当且时，，那么存在，使得.

所以时，，在上单调递增，而，于是，时，即，单调递减，时，即，单调递增，此时为的极小值点，符合题意．

综上所述：函数在处取极小值时a的取值范围是．

22．（1）解：曲线的参数方程为（为参数），可得，即，

将，代入，得，

即曲线的极坐标方程为.

由得，，

将，代入，得，

即曲线的直角坐标方程为.

（2）解：由题意得，射线：的极坐标方程为，

联立得，

联立得，

∴.

23．（1）解：，，都是正数，且，，

当且仅当即时等号，

即的最小值为；

（2）证明：由柯西不等式得

即，

故不等式成立，

当且仅当时等号成立；