2023年高考数学（理）第一次模拟试卷（全国乙卷）（Word版附解析）

2023年高考数学第一次模拟试卷（全国乙卷理科）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，.若.则实数（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】B

【详解】因为集合，，且，所以.

故选：B

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【详解】因为，所以.

所以.

故选:B.

3．已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【详解】向量在向量方向上的投影为，

，，

则向量在向量方向上的投影为，

故选：D.

4．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ）

A．55 B．58 C．60 D．62

【答案】A

【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，

∴，

又∵;

;

;

;

;

,

故选：A.

5．椭圆的左､右顶点分别为，点在上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】设，则，，，

于是，故.

∵ ∴.

故选：B.

6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，，

当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，，

当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，，

当时，不满足进行循环的条件，

故输出结果为：，

故选：C．

7．河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（    ）

A．24 B．12 C． D．

【答案】D

【详解】由题意可知，记正四棱台为，其底面为正方形，

侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，

设是底面上与的交点，是底面上与的交点

则是正四棱锥的高，为正四棱台的高，

设，，则上、下底面的面积分别为、，

由题意，所以，

在中，，所以为PA的中点，

在中，，所以，所以，

又，解得，，

所以，

所以侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，

所以侧面积为.

故选：D

8．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：，

因为，所以

因为函数在区间上单调递增，

所以函数在上单调递增，且，即.

因为，

所以，函数在上单调递增等价于或，

所以，解不等式得或，

所以，的取值范围是.

故选：D

9．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】如图，设的中心为，连接，的延长线交球面于点D，连SD，

显然CD是外接圆的直径，则，而平面ABC，则平面ABC，

因正边长为3，则，，又，

而，解得，

在中，球O的直径，球O的半径，

所以三棱锥的外接球的体积为.

故选：D

10．已知数列的前n项和为，且，记事件为“从数列的前项中任取两项，两项均为负数”，为事件发生的概率，现有如下说法：

①；②；③．

则正确说法的个数为（    ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】依题意，当时，，解得；

当时，，，

两式相减可得，化简得，

故，，故，

则，故①正确；

，

，

可知，要证，即证，

即证，这显然成立，故②正确；

，

故，则，

要证，

即证，即证，这显然错误，故③错误．

故选：C．

11．如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】取中点，连接，

，

，

，则，恒成立，

，又，，

设，由得：，

根据双曲线定义可知：，，

，即，，

，，又，，

，则离心率.

故选：D.

12．已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②的图象关于直线对称；③；④中一定成立的是（    ）

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④

【答案】D

【详解】对②：由，可得，则（与为常数），

令，则，所以，则，

故的图象关于直线对称，②正确；

对①：∵为偶函数，则，

∴，则为奇函数，

故，即，则是以4为周期的周期函数，

由，令，则，可得，故，①正确；

由，令，则，即，

令，则，即，

故，则，

对③：由，即，则，

由于无法得出的值，③错误；

对④：，④正确.

故选：D.

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知随机事件A、互相独立，且，，则_______．

【答案】0.42##

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：0.42

14．若直线截取圆所得弦长为2，则______.

【答案】0或4

【详解】圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，

由弦长公式可得，解得0或4，

故答案为：0或4

15．定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是__________．

【答案】

【详解】，

当时，，

因为函数有零点，所以，解得，

当时，，

因为值域，所以，解得，

综上，.

故答案为：.

16．关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是______．

【答案】

【详解】，即，

设，恒成立，故单调递增.

原不等式转化为，即，即在上恒成立.

设，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故，即，解得.

故答案为：.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．其中第17—21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答．）

（一）必做题（共60分，每题12分．）

17．a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．

(1)求C；

(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）根据正弦定理，由，

因为，所以，

于是由

，

因为，所以；

（2）因为c是a，b的等比中项，所以，

因为的周长为6，所以，

由余弦定理可知：

，或舍去，

所以外接圆的半径为.

18．如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.

(1)设平面平面，证明：⊥平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）平面平面，

平面.

平面，平面平面，

.

由图①，得，

.

平面，

平面；

（2）由题意，得.

又，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，

.

设平面的一个法向量为.

则，

令，得，故.

设与平面所成角为.

直线与平面所成角的正弦值为.

19．为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：

经计算得：．

(1)利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；

(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，

（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；

（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．

附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）前者斜率小于后者，证明见解析；（ⅱ）

【详解】（1）解：,

，

故回归方程为；

（2）解：（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为，

x关于y的线性回归方程为

，

则，为与的相关系数，

又，故，即，

下证：，

若，则，即恒成立，

代入表格中的一组数据得：，矛盾，

故，即前者斜率小于后者；

（ⅱ）注意到，两直线都过，且，故公共点仅有．

20．已知椭圆的离心率为，点在短轴上，且．

(1)求的方程；

(2)若直线与交于两点，求（点为坐标原点）面积的最大值．

【答案】(1)；

(2) .

【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，

所以，即，

因为点在短轴上，且，

所以，，解得，

因为，所以，，

所以，的方程为；

（2）解：设

联立方程得，

所以，即，

所以，

所以，

，

因为原点到直线的距离为，

所以，，当且仅当，即时等号成立，

所以，（点为坐标原点）面积的最大值为.

21．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，或；

【详解】（1）由题设且，

当时，，可得；

当时，，则；

由，故，

所以是首项、公差均为1的等差数列，故.

（2）由（1）知：，要使，即恒成立，

令且，则，

若，即，则，

在上，递增，上，递减，

所以在有最大值，又，

对于，当时，，当时，，

综上，，故存在或使恒成立.

（二）选考题（共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．

【答案】(1)C：，直线l：

(2)

【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数，），

所以，所以即曲线C的普通方程为．

直线l的极坐标方程为，则，

转换为直角坐标方程为．

（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，

由代入，得，则，，即t1、t2为负，

故．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知正实数，，满足，

(1)证明：；

(2)求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：因为，，为正实数且满足，

所以

，

当且仅当，即，，时取等号，

所以.

（2）解：由柯西不等式可知，

当且仅当，，时等号成立，

所以的最小值为.