2022-2023学年浙江省杭州市高三年级下学期教学质量检测数学试卷（杭州二模）（含答案解析）

2022-2023学年浙江省杭州市高三年级下学期教学质量检测数学试卷（杭州二模）

1.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设复数z满足是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在数列中，“数列是等比数列”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  设平面向量，，且，则(    )

A. 1 B. 14 C.  D.

5.  某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是(    )
 

A. 相关系数r变小 B. 决定系数变小
C. 残差平方和变大 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强

6.  已知，，且，则ab的最小值为(    )

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

7.  如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知满足，且在上单调，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若直线与圆相交于A，B两点，则的长度可能等于(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10.  已知函数是奇函数，且，是的导函数，则(    )

A.  B. 的周期是4 C. 是偶函数 D.

11.  一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件第一次取出的是红球;事件第一次取出的是白球;事件取出的两球同色;事件取出的两球中至少有一个红球，则(    )

A. 事件，为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件
C.  D.

12.  如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则(    )

A. 球与圆柱的体积之比为
B. 四面体CDEF的体积的取值范围为
C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为
D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为

13.  在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为__________.

14.  已知，，则__________.

15.  费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点P为双曲线为焦点上一点，点P处的切线平分已知双曲线，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则__________.

16.  已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则______.

17.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

求角B的大小;

若，且AC边上的高为，求的周长.

18.  设公差不为0的等差数列的前n项和为，，

求数列的通项公式;

若数列满足，，求数列的前n项和.

19.  在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，

求证：

若，，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.

20.  已知椭圆的离心率为，左，右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，的两点，面积的最大值为

求椭圆C的方程;

设直线AP，QB的斜率分别为，，且

求证：直线PQ经过定点.

设和的面积分别为，，求的最大值.

21.  马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，，，，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示.

当赌徒手中有n元时，最终输光的概率为，请回答下列问题：

请直接写出与的数值.

证明是一个等差数列，并写出公差

当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义.

22.  已知函数

讨论函数零点个数;

若恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查集合运算，属基础题.

【解答】

解：集合，，则

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．

【解答】

解： 
，
 

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题是对充分不必要条件和数列的综合考查，属于基础题.

【解答】

解：若是等比数列，则，，成等比数列，
所以成立，
若，则不一定是等比数列，
例如，，则，，都为0，满足，但不是等比数列.
所以“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件.
故选A

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题.
根据题意，利用向量数量积计算可得 ，再由数量积运算法则计算即可.

【解答】

解：由题意得，，，则 ，
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查利用散点图判断两个变量的关系，属于基础题.
根据去掉D点后变量x与变量y的线性相关性变强进行分析，即可得解.

【解答】

解：由散点图可知，散点大致分布在一条直线附近，变量x和变量y具有线性相关关系.
D离回归直线较远，去掉后变量x和变量y的相关性变强，相关系数变大，残差的平方和变小.
各组数据对应的点到回归直线的距离的平方和变小，所求回归直线方程与实际更接近，
故选：

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题是对基本不等式和对数运算的综合考查，属于中档题.

【解答】

解：因为，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，

则，当且仅当时，等号成立.
故选：

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查空间中线面平行的判定定理，属于基础题．
根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解．

【解答】

解：对于A，作出完整的截面ABCD，D为平面ABC与正方体的另一交点，由正方体的性质可得，内，可得平面ABC，能满足；
对于B，因为，内，，可知平面ABC，能满足；
对于C，取AC的中点E，连接BE，易知，可证平面ABC，能满足;
对于D，作出完整的截面，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图像与性质，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题.
根据，，得到，，再根据在区间上单调，得到，从而得到k的范围，即可得到的最大值.

【解答】

解：由已知条件，得，，所以，
又，则，
又在区间上单调，所以，解得
由，得又，故k的值可以是0，1，
当时，取到最大值，
故选

9.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.

【解答】

解：因为恒过点，且点M在圆内，
又圆的圆心C的坐标为，半径，
当弦AB与CM垂直时，弦AB的长最小，
由，
所以AB的最小值为，
又AB的最大值为直径长6，即
故选

10.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和周期性，导数运算，属中档题.

【解答】

解：已知函数是奇函数，则，得函数周期为
，
由得，，得函数周期为
由得，，即，则是偶函数.
，则

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查互斥事件，独立事件，条件概率，属于中档题.
A：根据互斥事件的定义即可判断；B：根据独立事件的定义即可判断；C：分两类计算概率再相加即可求解；D：根据条件概率的计算公式计算即可求解判断.

【解答】

解：A：事件 ：第一次取出的是红球；事件 ：第一次取出的是白球；两者不可以同时发生，所以事件 ， 为互斥事件，A正确；
B：由于是从中无放回的随机取两次，因此取出的两球中至少有一个红球对取出的两球同色有影响，因此事件 B， C不是独立事件，B错误；
C：取出两球都是红色的概率：，
取出两球都是白色的概率：，则，C正确；
 ，，
则，D正确.
故选

12.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力，是一道难题.

【解答】

解：由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球体积为，圆柱的体积为，

所以球与圆柱的体积之比为，故A正确；

过O作于G，则由题可得，

设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，

则，，

所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，
当时，平面DEF截得球的截面面积最大值为，故C错误；

由题可知四面体CDEF的体积等于，点E到平面的距离

又，所以故B错误；

由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为，

则，

设，则，，

所以

，

所以，故D正确.

13.【答案】70 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的通项公式，属于基础题.
先由只有第5项的二项式系数最大确定n，再由通项公式求含项的系数即可.

【解答】

解：由在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，可得

的展开式的通项公式为，，，令，解得，

所以展开式中含项的系数为

故答案为

14.【答案】0 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式，同角三角函数关系的运算，属于基础题.

【解答】

解：将两边平方，并结合，得，



 

15.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的相关问题，注意角平分线的合理运用.

【解答】

解：延长、交于点N，则，，三线合一，
故

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义，属难题.

【解答】

解：，令，
当时，，函数单调递减，
可结合函数图象及其切线得，
由成立，则，所以
当时，同理可得
若对任意，都有成立，则

17.【答案】解：因为，

所以，即，

解得或，

因为，所以，则，故，

则，故

令，则，

由三角形面积公式，得，

所以，

由余弦定理可，得，

则，解得，

从而，，，

故的周长为

【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形周长面积的计算，考查基本的数学运算，属于中档题
 

18.【答案】由题意，知，解得，

所以

因为①

所以，又因为，所以

当时，②

①-②，得，即

所以，，，，

累加，得，

所以，

所以数列的前n和为

【解析】本题考查等差数列通项公式求解和累加法求和，属于中档题.
 

19.【答案】证明：设AC的中点为E，连结SE，BE，

因为，所以，

在和中，，，

所以≌，所以

所以，

所以平面SBE，

因为平面SBE，

所以

过S作平面ABC，垂足为D，连接AD，CD，

所以，

因为，所以平面SAD，

所以，同理，

所以四边形ABCD是边长为2的正方形.

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，

所以，，，

设平面SAC的法向量，则

，取，，，

所以

同理可得平面SBC的法向量

设平面SAC与平面SBC夹角为，

所以，，

所以平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为

【解析】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理，面面夹角求解，属中档题.
 

20.【答案】解：由题意，知，，所以，，，
所以椭圆C的方程为
设，
若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，则，不合题意;
所以直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，
则，得，
由，得
因为，
所以
因为，
所以

，
解得，所以直线过定点
，，
所以
，当时等号成立.
所以的最大值为 

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的应用，直线过定点问题等知识，属于综合性试题.
 

21.【答案】解：当时，赌徒已经输光了，因此当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率
记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元下一场赢的事件

即，
所以，
所以是一个等差数列.
设，则，，，
累加得，故，得
由得，即
当，，
当，，
当，，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光. 

【解析】本题是对数列和概率的综合考查，属于中档题.
 

22.【答案】解：由，得

设，则，

所以函数在，上单调递增;在上单调递减，

所以

据此可画出大致图象，所以

当或时，无零点;

当或时，有一个零点;

当时，有两个零点

①当时，，符合题意;

②当时，因，则，

则，即，

设，则，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，

所以，当时，，

即成立，即合题意;

③当时，由可知，，在上单调递增.

又，，

所以，使

当时，，即，

设，

则，所以在上单调递减，

所以时，

当时，，即，

设，

因为，

令，，则，

又令，，

则，得在上单调递增.

有，

得在上单调递增，有

则，得在上单调递增.

则时，

又时，，

得当时，时，，

由上可知，

在上单调递增，则此时

综上可知，a的范围是

【解析】本题考查导数研究函数零点问题，恒成立问题，属难题.