2023年上海市七宝中学高考数学二模试卷含答案

这是一份2023年上海市七宝中学高考数学二模试卷含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，则“对β内的任意直线l，都有m⊥l”是“α⊥β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知数列{an}为等比数列，首项a1>0，公比q∈(-1,0)，则下列叙述不正确的是( )
A. 数列{an}的最大项为a1B. 数列{an}的最小项为a2
C. 数列{anan+1}为严格递增数列D. 数列{a2n-1+a2n}为严格递增数列
3. 某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列正确的命题是( )
A. 在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B. 在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C. 在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D. 甲企业在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[t1,t2]的污水治理能力最强
4. 已知定义在R上的函数f(x)，对于给定集合A，若∀x1，x2∈R，当x1-x2∈A时都有f(x1)-f(x2)∈A，则称f(x)是“A封闭”函数.已知给定两个命题：
P：若f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x)一定是“{k}封闭”函数(k∈N*)；
Q：若f(x)是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*)，则f(x)不一定是“{ab}封闭”函数．
则下列判断正确的为( )
A. P对，Q对B. P不对，Q对C. P对，Q不对D. P不对，Q不对
二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）
5. 已知集合A={x|-26. 在复平面内，点A(-2,1)对应的复数z，则|z+1|=______．
7. 若不等式|x-a|<2(a∈R)的解集为(-1,t)，则实数t等于______ ．
8. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，CB=3，将△ABC绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为______ ．
9. 已知随机变量X服从正态分布N(2,1)，若P(X≤a-2)=P(X≥2a+3)，则a=______．
10. 若x8=a0+a1(x-1)+⋯+a8(x-1)8，则a3= ______ ．
11. 已知函数f(x)=x3，则曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为______．
12. 若函数f(x)=sin(x+φ)+csx的最小值为-2，则常数φ的一个取值为______ ．
13. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x(单位：万千米)对应维修保养费用y(单位：万元)的四组数据，这四组数据如表：
若用最小二乘法求得回归直线方程为y​=0.58x+a​，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是______ ．
14. 已知单位向量a,b，若对任意实数x，|xa-b|≥ 32恒成立，则向量a,b的夹角的最小值为______ ．
15. 不与x轴重合的直线l经过点N(xN,0)(xN≠0)，双曲线C：x2-y2b2=1(b>0)上存在两点A，B关于l对称，AB中点M的横坐标为xM，若xN=4xM，则b的值为______ ．
16. 对于一个有穷正整数数列Q，设其各项为a1，a2，…，am，各项和为S(Q)，集合{(i,j)|ai>aj，1≤i三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题14.0分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB=bsin(A-π3).
(1)求A；
(2)D是线段BC上的点，若AD=BD=2，CD=3，求△ADC的面积．
18. (本小题14.0分)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．
(1)证明：点F为B1C1的中点；
(2)若点M为棱A1B1上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为6 525，求A1MA1B1的值．
19. (本小题14.0分)
随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A、B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如表：
假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立．
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A、B哪个旅游景点？说明理由．
20. (本小题14.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(1, 22)记椭圆的左顶点为M，右焦点为F．
(1)若椭圆C的离心率e∈(0,12]，求b的范围；
(2)已知a= 2b，过点F作直线与椭圆分别交于E，G两点(异于左右顶点)连接ME，MG，试判定EM与EG是否可能垂直，请说明理由；
(3)已知a= 2b，设直线l的方程为y=k(x-2)，它与C相交于A，B.若直线AF与C的另一个交点为D.证明：|BF|=|DF|．
21. (本小题14.0分)
已知关于的x函数y=f(x)，y=g(x)与y=h(x)在区间上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)，则称h(x)满足f★g性质
(1)若f(x)=112x，g(x)=-2 6x，h(x)=2x2+3，D=[1,2]，判断h(x)是否满足f★g性质，并说明理由；
(2)若f(x)=ex，h(x)=kx+1，且f(x)≥h(x)，求k的值并说明理由；
(3)若f(x)=ex，g(x)=lnx+1x+1，h(x)=kx+b(k,b∈R)，D=(0,+∞)，试证：b=k-1是h(x)满足f★g性质的必要条件．
答案
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】{x|-26.【答案】 2
7.【答案】3
8.【答案】6π
9.【答案】1
10.【答案】56
11.【答案】y=0
12.【答案】π2(答案不唯一)
13.【答案】3.34
14.【答案】π3
15.【答案】 3
16.【答案】1250
17.【答案】解：(1)由正弦定理可得asinB=bsinA，
则有bsinA=b(12sinA- 32csA)，化简可得12sinA=- 32csA，
可得tanA=- 3，
因为A∈(0,π)，
所以A=2π3．
(2)设∠B=θ，θ∈(0,π3)，由题意可得∠BAD=θ，∠ADC=2θ，∠DAC=2π3-θ，∠ACD=π3-θ，
在△ADC中，CDsin∠DAC=ADsin∠ACD，则3sin(2π3-θ)=2sin(π3-θ)，
所以3 32csθ+12sinθ=2 32csθ-12sinθ，可得sinθ= 35csθ，
又因为sin2θ+cs2θ=1，可得sinθ= 2114，csθ=5 714，
则sin2θ=2sinθcsθ=5 314，
所以S△ADC=12AD⋅CD⋅sin∠ADC=12×2×3×5 314=15 314．
【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=- 3，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．
(2)设∠B=θ，θ∈(0,π3)，由题意可得∠BAD=θ，∠ADC=2θ，∠DAC=2π3-θ，∠ACD=π3-θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ= 35csθ，可求sinθ，csθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD//C1D1，
又CD⊄平面A1B1C1D1，且C1D1⊂平面A1B1C1D1，
则CD/​/平面A1B1C1D1，而B1C1交平面CDE于点F，即F∈平面CDE，F∈B1C1，
又B1C1⊂平面A1B1C1D1，有F∈平面A1B1C1D1，因此平面CDE∩平面A1B1C1D1=EF，
于是CD/​/EF，
又因为E为A1D1中点，
所以F为B1C1的中点；
(2)以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：

不妨设正方体的棱长为3，设A1MA1B1=λ(0≤λ≤1)，
则M(3,3λ,3),C(0,3,0),E(32,0,3),F(32,3,3)，
从而FM=(32,3λ-3,0),CD=(0,3,0),ED=(32,0,3)，
设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CD=0n⋅ED=0，
即3y=032x+3z=0，取x=2，解得y=0z=-1，所以n=(2,0,-1)，
又因为直线MF与平面CDE所成角的正弦值为6 525，
所以|MF⋅n||MF|⋅|n|=3 (32)2+(3λ-3)2⋅ 5=6 525，解得λ=13，
所以A1MA1B1=13．
【解析】(1)由CD//C1D1可得CD/​/平面A1B1C1D1，再利用线面平行的性质定理可得CD/​/EF，从而证得F为B1C1的中点；
(2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，设A1MA1B1=λ(0≤λ≤1)，求出相应点的坐标，进而求出相应向量的坐标，再利用线面夹角的向量公式求解即可．
本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设“这4人中恰有2人给出“非常满意”的评价”为事件C，
由表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概率为50100=12，
游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为3580=716，
则P(C)=(12)2(1-716)2+C21⋅12(1-12)C21⋅716(1-716)+(1-12)2(716)2=191512；
(2)设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对B景点的满意度评分为Y，
由数表中数据得X的分布为：
Y的分布为：
则E(X)=4×0.5+3×0.3+2×0.05+1×0.15=3.15，
D(X)=0.852×0.5+(-0.15)2×0.3+(-1.15)2×0.05+(-2.15)2×0.15=1.1275，
E(Y)=4×716+3×38+2×780+1×110=3.15，
D(Y)=0.852×716+(-0.15)2×38+(-1.15)2×780+(-2.15)2×110=0.9025，
显然E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以选择Y景点．
【解析】(1)求出游客在A，B景点给出“非常满意”评价的概率，再利用互斥事件、独立重复事件的概率公式计算作答；
(2)列出游客对A，B景点评分的分布列，并求出期望和方差，再比较大小作答．
本题主要考查了互斥事件、独立重复事件的概率公式，考查了期望和方差的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵P(1, 22)在椭圆上，
∴1a2+122b2=1(a>b>0)，可得b2=b2a2+12=a2-c2a2+12=32-e2，
∵e∈(0,12],
∴b2=32-e2∈[54,32),
∴b∈[ 52, 62)；
(2)垂直，理由如下：
∵a= 2b且椭圆过P(1, 22)，
∴a= 2,b=1，因此椭圆方程为x22+y2=1，
由题意得M(- 2,0),F(1,0)，假设EM⊥EG，
设E(x,y)，
则ME=(x+ 2,y),FE=(x-1,y)，
由ME⊥FE，得 ME⋅FE=0，
即(x+ 2)(x-1)+y2=0，①
又点E在椭圆上，则x22+y2=1，②
①②联立消去y2，得x22+( 2-1)x+1- 2=0，
则 x1=- 2(为左顶点不符合题意舍)，x2=2- 2∈(- 2, 2)，
所以EM与EG垂直．
(3)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，
由(2)知椭圆方程为x22+y2=1，与直线l的方程 y=k(x-2)联立消去y，
并整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0，
可得x1+x2=8k21+2k2，
又点A 在直线y=k(x-2)上，
∴y1=k(x1-2)，
，
∴x1+x2=8k21+2k2=8(y1x1-2)21+2(y1x1-2)=4y123-2x1，
又直线 AD 的方程为y=y1x1-1(x-1)与椭圆方程为x22+y2=1联立消去y，
x12+2y12=2，整理得(3-2x1)x2-4y12x+2y12-2(x1-1)2=0，
所以x1+x3=4y123-2x1，于是可得x1+x2=x1+x3，即x2=x3，
从而B，D 两点关于 x 轴对称，因此|BF|=|DF|．
【解析】(1)先根据P(1, 22)在椭圆上，得到b，a的关系，再结合离心率的范围可以求得b的范围；
(2)假设EM⊥EG，向量数量积为0，可以求得E点坐标，可以确定EM与EG垂直；
(3)设点后联立直线和椭圆方程，再消参数得出横坐标关系，即可得出结论．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)满足，理由如下：
因为f(x)=112x，g(x)=-2 6x，h(x)=2x2+3，
所以f(x)-h(x)=112x-(2x2+3)=-2(x-118)2+2532，
所以f(x)-h(x)在[1,118]上单调递增，在[118,2]上单调递减，
当x=2时，f(x)-h(x)取到最小值0，故f(x)-h(x)≥0，
又h(x)-g(x)=2x2+3+2 6x=2(x+ 62)2≥0，
综上，h(x)满足f★g性质；
(2)k=1，理由如下：
设φ(x)=ex-(kx+1)，x∈R，则φ'(x)=ex-k，
由条件知φ(x)≥0=φ(0)，则x=0是φ(x)的极小值点，
所以φ'(0)=1-k=0，即k=1，
当k=1时，φ(x)=ex-(kx+1)，φ'(x)=ex-1，
当x>0时，φ'(x)>0；当x<0时，φ'(x)<0；
所以φ(x)≥φ(0)=0，
即ex≥x+1恒成立(当且仅当x=0时取等号)，
因此k=1；
(3)证明：设F(x)=ex-(lnx+1x+1)，x>0，
由(2)所证的ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号)知：
F(x)=ex-(lnx+1x+1)=1x[xex-(x+lnx+1)]=1x[ex+lnx-(x+lnx+1)]≥1x[x+lnx+1-(x+lnx+1)]=0，当x+lnx=0时取等号，
设G(x)=x+lnx，x∈(0,+∞)，则G'(x)=1+1x>0，
所以G(x)在(0,+∞)上单调递增，
又G(1)=1>0，G(e-1)=e-1-1<0，
所以存在x0∈(e-1,1)使得G(x0)=0，
即x0+lnx0=0，则x0=ln1x0，ex0=1x0，
又F(x0)=0，则ex0=lnx0+1x0+1，
结合条件可得ex0≥kx0+b≥lnx0+1x0+1=ex0，
所以kx0+b=ex0，
设H(x)=ex-kx-b，x∈(0,+∞)，
则H(x0)=0，H'(x)=ex-k，
又由已知H(x)≥0=H(x0)，则x0是H(x)的极小值点，
所以H'(x0)=ex0-k=0，即k=ex0，
结合ex0=1x0，kx0+b=ex0，可得1+b=k，故b=k+1，
所以b=k-1是h(x)满足f★g性质的必要条件．
【解析】(1)结合题意，利用配方法与二次函数的性质，分别证明f(x)-h(x)≥0，h(x)-g(x)≥0即可；
(2)先根据题意得到x=0是φ(x)的极小值点，从而求得k=1，再进行检验即可；
(3)构造函数F(x)=ex-(lnx+1x+1)，求得F(x)的隐零点，结合题意得到ex0=1x0，kx0+b=ex0与k=ex0，从而得证．
本题考查了函数与方程的综合运用、利用转化思想解决恒成立问题、导数的综合运用，属于难题．
行驶里程x/万千米
1
2
4
5
维修保养费用y/万元
0.50
0.90
2.30
2.70
非常满意
满意
一般
差评
A景点
50
30
5
15
B景点
35
30
7
8
X
1
2
3
4
P
320
120
310
12
Y
1
2
3
4
P
110
780
38
716