2022-2023学年浙江省“杭湖衢”2023届高三第二学期三校第三次联考数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年浙江省“杭湖衢”2023届高三第二学期三校第三次联考数学试卷

1.  已知集合，，则的元素个数为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为(    )

A.  B. 60 C. 120 D. 240

4.  截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，直线与曲线相切，则的最小值是(    )

A. 16 B. 12 C. 8 D. 4

7.  已知，分别是双曲线的左，右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线r的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，若成立，则实数a的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  下列命题中正确的是(    )

A. 若样本数据，，，的样本方差为3，则数据，，，的方差为7
B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关
C. 对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立
D. 若X∽，则取最大值时

10.  已知函数的部分图象如图所示，，则(    )
 

A. 函数在上单调递减
B. 函数在上的值域为
C.
D. 曲线在处的切线斜率为

11.  如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段上的动点，则(    )
 

A. 两条异面直线和所成的角为
B. 存在点P，使得平面BEP
C. 对任意点P，平面平面BEP
D. 点到直线的距离为4

12.  已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则(    )

A. 若直线l与圆M相切，则
B. 当时，四边形PAMB的面积为
C. 直线AB经过一定点
D. 已知点，则为定值

13.  已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________.

14.  现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球;乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________.

15.  函数若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为__________.

16.  已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，则__________.

17.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

求

设，若点M是边AC上一点，，且，求的面积.

18.  设数列的前n项和为已知，，

求证：数列是等差数列;

设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和

19.  某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
 

根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值;

若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数;

复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值.

附：若随机变量X服从正态分布，则：，

，

20.  如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，

当时，求三棱柱的体积;

设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

21.  已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于M，N两点，连接AM，AN分别交直线于P，Q两点，过点F且垂直于MN的直线交直线于点

求证：点R为线段PQ的中点;

记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得若存在，请求出实数的值;若不存在，请说明理由.

22.  已知函数

当时，求函数的单调区间;

若有3个零点，，，其中

求实数a的取值范围;

求证：

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，集合的元素个数，具体函数的定义域，一元二次不等式的解集，属于基础题.

【解答】

解：因为，
所以，
所以的元素个数为

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算与模长的求法，属于基础题.
解答时先求得，即可求得模.

【解答】

解：由，
得，
所以
故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查二项式展开式中特定项的求法以及百分位数，属于基础题.

【解答】

解：因为，所以
所以展开式的通项为，
令得，
所以展开式的常数项为
故选

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查棱锥的体积，属于基础题.

【解答】

解：截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积，
所以

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式与诱导公式，属于基础题.

【解答】

解：
故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式的应用，属于基础题.

根据相切关系利用导数求参数，综合运用基本不等式即可得解.

【解答】

解：对求导得，
由得，
则，即
所以，
当且仅当时取等号.
故选

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的定义、离心率，向量的数乘运算，余弦定理的应用，属于中档题.
由双曲线的定义以及角平分线定理和余弦定理，推理可得答案.

【解答】

解：因为，所以，设，则，
设，则，因为平分，
由角分线定理可知，
，所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，所以，
即是等边三角形，
所以在中，由余弦定理知
，即，
化简得，把①代入上式得，所以离心率为

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的运用，考查对数函数的运算转换，涉及对称性与恒成立问题，属于中档题.

【解答】

解：因为为偶函数，且在单调递增，
所以，
所以关于直线对称，且在单调递增.
所以，两边平方，化简得，
解得
故选

9.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查了方差、回归方程、二项分布以及独立事件，属于中档题.
根据方差的性质判断A；根据回归直线方程判断B；根据条件概率计算判断C；根据二项分布判断

【解答】

解：对于A，数据，，，的方差为，所以A错误;
对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确;
对于C，由，得，故事件A与事件B独立，所以C正确;
对于D，由解得或，所以D错误.
故选

10.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的图象与性质，曲线上一点切线的斜率，属于中档题.

【解答】

解：由，即，而，所以，
由，得五点法，
所以，则
对于A，当时，，此时函数单调递减，所以A正确;
对于B，当时，，所以，
所以函数在上的值域为，所以B错误;
对于C，令，得，由三角函数图象的对称性得，
所以，所以C正确;
对于D，，则，所以D错误.

11.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查立体几何，涉及线面平行与面面垂直的判定，异面直线所成角和点到直线的距离求法，属于中档题.

【解答】

解：对于A，两条异面直线和所成的角即为，所以A错误;
对于B，当点P与点重合时，，且不在平面BEP内，则平面BEP，所以B正确;
对于C，因为，，所以平面，所以对任意点P，平面平面BEP，所以C正确;
对于D，因为，
所以，所以点到直线的距离，所以D正确.
故选

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系以及轨迹问题，难度较高.

【解答】

解：对于A，若直线l与圆M相切，则，解得，所以A正确;
对于B，当时，，则，所以B错误;
对于C，，则直线，所以直线AB经过定点，所以C正确;
对于D，因为，所以点C的轨迹是以MN为直径的圆，即，圆心，所以为定值，所以D正确.
故选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查投影向量及向量积的坐标运算，属于基础题.

【解答】

解：在方向上的投影为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查全概率公式，属于基础题

【解答】

解：记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，依题意，
，两两互斥，其和为，并且，，，所以
，，，应用全概率公式，有

故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数以及利用导数求最值，属于中档题.

【解答】

解：由题意知，当时，
当时，
当时，
当时，，结合图象知
当时，，当时，显然成立;
当时，，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以
综上，实数a的取值范围为

16.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程，抛物线中的弦长问题，斜率公式，属于综合题.
先根据M在抛物线上，求得抛物线方程，再设出直线方程，利用MA与MB的倾斜角互补，即可完成求解.

【解答】

解：由点在抛物线上得：，即
所以抛物线C的方程为：由题意知直线的斜率一定存在，
设直线AB的方程为，，
由直线MA与MB的倾斜角互补得，即
，所以
联立，得，所以，
所以，即，所以

 

17.【答案】解：由及正弦定理得，
即，
所以
因为，所以，所以，
又，所以
因为，所以，
又，所以
在中，由余弦定理得，即①
又，所以，两边平方得
，
即，所以②
②-①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以为直角的三角形，
所以的面积为 

【解析】本题考查正余弦定理以及解三角形，属于中档题.
 

18.【答案】解：①，
当时，②，
①-②得：
即
所以，且，所以是以1为公差的等差数列.
由得，
当时，当时，又满足上式，
所以
所以，记数列的前n项和为
方法一：两次错位相减
，①
，②
①-②得，③
则，④
③-④得

所以
方法二：裂项
因为，
所以

 

【解析】本题考查等差数列的判定与数列求和，题目较难.
利用递推关系结合等差数列的定义即可证得结论.
利用错位相减法或者裂项相消法即可求解.
 

19.【答案】解：样本平均数的估计值为

因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人
的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
故Y的分布列为：

所以数学期望为 

【解析】本题考查频率分布直方图，正态分布的实际应用，离散型随机变量的分布列及均值，属于中档题.
 

20.【答案】解：如图，取BC的中点为O，
由于和为正三角形，
则，，且，，
所以，所以
又，BC、平面ABC，所以平面ABC，
所以三棱柱的体积


如上图，在中，，，
由余弦定理可得，所以
由知，，又，所以平面
因为平面ABC，所以平面平面
所以在平面内作，因为平面平面，则平面
以OA，OC，Oz所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，
设是平面的一个法向量，
，，
则即
取得
设，则
，
设直线与平面所成角为，
则，
，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 

【解析】本题考查棱柱体积的求法以及利用空间直角坐标系求线面所成角的正弦值，题目较难.
取BC的中点为O，证明平面ABC，即可求解体积.
利用空间向量法，求出平面的法向量，即可求解.
 

21.【答案】解：，，设，，，
联立得，则，
，
直线，令得，
所以同理，
所以

直线，令得，所以，
则，点R为线段PQ的中点.
由知，，
又，所以
而



所以
故存在使得 

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，考查计算能力，难度较高.
 

22.【答案】解：当时，，，
则在恒成立，所以在单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
，
，，则除1外还有两个零点.
，令，
当时，在恒成立，则，所以在单调递
减，不满足，舍去;
当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得
当时，设的两个零点为m，，则，，
所以当时，，，则单调递增;
当时，，，则单调递减;当时，
，，则单调递增;又，所以，，
而，且，
，且，所以存在，，
使得，
即有3个零点，，
综上，实数a的取值范围为
因为，
所以若，则，所以
当时，先证明不等式恒成立，设，
则，所以函数在上单
调递增，于是，即当时，不等式恒成立.
由，可得，因为，
所以，即，两边同除以，
得，
所以 

【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，证明不等式，求函数的单调区间，属于综合题.