中考数学一轮复习考点巩固练习专题28 相似图形（教师版）

专题28  相似图形

考点1：比例的有关概念和性质

1．（2020湘潭）若，则　   　．

【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．

【解析】由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，

则．

故答案为：．

考点2：相似图形的判定与性质

2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为尺，所列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．

【解析】

解：如图，设AD交BE于K．

∵DK∥BC，
∴△EKD∽△EBC，
∴，
∴，
故选：A．

3．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连结CE，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出，在结合题意可得，即证明，从而得出，即易证，得出．再由等腰三角形的性质可知，，即证明，从而可间接推出．最后由，即可求出的值，即的值．

【详解】

∵在中，点D是边BC的中点，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴在和中，，

∴，

∴，

∵为等腰三角形，

∴，，

∴，

∴，即．

∵，

∴，

∴．

故选D．

4．（2021·四川资阳市·中考真题）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

添加辅助线，过F点作∥，通过证明两组三角形相似，得到和的两个关系式，从而求解．

【详解】

如图所示，过F点作∥，交于点I，

证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成

，，，，

又

，即

解得或（舍去）

，

FI∥HM

，

，

，

解得：

经检验：符合题意，

故选：D．

5．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（   ）

A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2

【答案】B

【分析】

由三角形的中位线定理可得DE=BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，即可求解．

【详解】

解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE=BC，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵S△ADE=3，

∴S△ABC=12，

∴四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)，

故选：B．

6．（2021·河北中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．

【详解】

解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），

第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），

因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，

所以图1和图2中的两个三角形相似，

∴，

∴（cm），

故选：C．

7．（2021·广西百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．

【答案】

【分析】

先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可.

【解析】

解：∵AB=AC，∠B=72°

∴∠ACB=∠B=72°

∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°

∵CD是∠CAB的角平分线

∴∠ACD=∠BCD=

∴∠A=∠ACD

∴AD=CD

在△ABC与△CBD中

∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B

∴△ABC∽△CBD

∴

在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°

∴∠CDB=72°

∴∠CDB=∠B=72°

∴AD=CD=BC

∴

即

∴D点为AB的黄金分割点

在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°

∴CD>BD（大角对大边）

∴AD>BD

∵D是AB的黄金分割点，AD>BD

∴

∴

故答案为：.

8．（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．

【答案】

【分析】

根据题意，延长交于H连，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长．

【详解】

解：延长交于H连，

∵由沿折叠得到，

∴，，

∵E为中点，正方形边长为1，

∴，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴．

考点3：位似图形

9．（2021·山东东营市·中考真题）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解.

【详解】

设点的横坐标为，

则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为，

放大到原来的倍得到，

，

解得：.

故选：A.

10．（2021·重庆中考真题）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（    ）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9

【答案】A

【分析】

利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．

【详解】

解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．

∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，

∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．

故选：A．

11．(2019深圳南山一模)如图,已知△OAB与△OA'B'是相似比为1∶2的位似图形,点O为位似中心,若△
OAB内一点P(x,y)与△OA'B'内一点P'是一对对应点,则点P'的坐标为(　　)

A.(-x,-y)　         B.(-2x,-2y)

C.(-2x,2y)　        D.(2x,-2y)

【解析】∵P(x,y),相似比为1∶2,点O为位似中心,∴P'的坐标是(-2x,-2y).

故选B.