中考数学三轮冲刺专练09（方程与不等式应用大题）（教师版）

这是一份中考数学三轮冲刺专练09（方程与不等式应用大题）（教师版），共34页。试卷主要包含了以及“龙卷风”远程火箭炮等内容，欢迎下载使用。

专练09（方程与不等式应用大题）
1．（2022·河南·西峡县基础教育教学研究室一模）某商场购进一批A型和B型音箱进行销售，其进价与标价如下表：

A型
B型
进价/元
45
25
标价/元
60
30

(1)该商场购进这两种音箱共300个，A型音箱按标价销售，B型音箱按标价打九折销售，当销售完这批音箱后可获利3200元． 求该商场购进这两种音箱各多少个？
(2)两种音箱销售完后，若该商场计划再购进这两种音箱120个，在不打折的情况下，如何进货，销售完这批音箱后获利最多？且不超过进货价的30%，并求出销售完这批音箱后所获的总利润．
【答案】(1)购进A型音箱200个，购进B型音箱100个，
(2)当购进A型音箱75个，B型音箱35个，销售完这批音箱后获利最多，最多为1350元
【解析】
(1)
解：设购进A型音箱x个，购进B型音箱y个，
由题意得：，
解得，
∴购进A型音箱200个，购进B型音箱100个，
答：购进A型音箱200个，购进B型音箱100个，
(2)
解：设购进A型音箱m个，则购进B型音箱个，获利为W，
由题意得，
∵所获利润不能超过进货价的30%，
∴，
∴，
∵，
∴W随m增大而增大，
∴当m=75时，W最大，最大为1350，
120-75=35，
∴当购进A型音箱75个，B型音箱35个，销售完这批音箱后获利最多，最多为1350元
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键在于能够正确理解题意，列出方程和式子求解．
2．（2022·河南平顶山·二模）新年伊始，某酒店为了给游客提供更舒适的环境，决定更换酒店的部分空调和电视机．已知购买2台空调和3台电视机共需12300元；购买3台空调和1台电视机共需11100元．
(1)求空调和电视机的单价；
(2)若该酒店准备购买空调和电视机共50台，且空调数量不多于电视机的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)空调和电视机的单价分别为3000元、2100元；
(2)最省钱的购买方案是购买空调33台，电视机17台．
【解析】
(1)
解：设空调和电视机的单价分别为a元、b元，
依题意得：，解得，
答：空调和电视机的单价分别为3000元、2100元；
(2)
解：设购买空调x台，则购买电视机（50-x）台，费用为w元，
w=3000x+2100（50-x）=-900x+105000，
∵x≤2（50-x），
∴x≤，
∵-900<0，w随x的增大而减少，
∴当取最大值时，w取得最小值，
∴当x=33时，w取得最小值，此时w=75300，50-x=17，
即最省钱的购买方案是购买空调33台，电视机17台．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
3．（2022·河南新乡·一模）微量元素是人体内重要的物质，经研究发现，孩子缺锌会导致厌食，影响其身体的生长发育．某公司决定利用甲、乙两种含锌食材为孩子们加工一种精美小食品，该食品的营养成分与配料表如下：
营养成分
每千克含锌14毫克
配料表
原料
每千克含锌量
甲食材
20毫克
乙食材
5毫克

已知甲食材的进价为10元/千克，乙食材的进价为5元/千克，该公司每天用4000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完（不计损耗）．
(1)该公司每天购进甲、乙两种食材各多少千克?
(2)公司决定对该小食品釆用、两种包装，包装：每包重1千克，单价15元；包装：每包重0.25千克，单价4元．已知公司每天其他费用为1000元，且生产的食品当天全部卖出．若包装的数量不低于包装的数量，则包装为多少包时，每天所获总利润最大?最大利润为多少元?
【答案】(1)每天购进甲种食材300千克，乙种食材200千克
(2)A包装为400包时，每天所获总利润最大，最大利润是2600元
【解析】
(1)
解：设每天购进甲种食材x千克，乙种食材y千克，
根据题意，得
解得：
∴公司每天购进甲种食材300千克，乙种食材200千克；
(2)
设A包装为m包，则B包装为包，
∵A包装的数量不低于B包装的数量，
∴．
∴．
设总利润为W元，
则，
∵，
∴W随着m的增大而减小．
∴当时，W的最大值为（元）．
∴A包装为400包时，每天所获总利润最大，最大利润时2600元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
4．（2022·河南开封·一模）万岁山大宋武侠城是以宋文化、城墙文化和七朝文化为紧观核心，以大宋武侠文化为旅游特色，以森林自然为格调，兼具休闲娱乐功能的多主题、多景观的大型游览景区．该景区有A，B两种风格的古代服装深受广大游客喜爱，经了解发现，某商店购进A种服装1件和B种服装2件共需110元；购进A种服装2件和B种服装3件共需190元．
(1)分别求出A种服装和B种服装的单价；
(2)若该商店决定要购进这两种服装共100件，其中A种服装的数量不低于B种服装数量的，在购进时，商家为了促销每件A种服装优惠5元，请问如何购进A，B两种服装，使得所需费用最低，并求出最低费用．
【答案】(1)A种服装的单价为50元，B种服装的单价为30元；
(2)当购进A种服装25件，B种服装75件时，所需费用最低，最低费用3375元．
【解析】
(1)
设设A种服装的单价为a元，B种服装的单价为b元，
由题意可得，，
解得，
答：A种服装的单价为50元，B种服装的单价为30元；
(2)
设购进A种服装x件，则购进B种服装（100-x）件，所需费用为w元，
由题意可得，，
∵k=15>0，
∴w随x的增大而增大，
∵A种服装的数量不低于B种服装数量的
∴
解得
∴当x=25时，w取得最小值，此时，100-x=75，
即当购进A种服装25件，B种服装75件时，所需费用最低，最低费用3375元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
5．（2022·江苏苏州·模拟预测）为支援上海抗击新冠肺炎，甲地捐赠多批救援物资并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到上海．其中，从甲地到上海，A型货车1辆、B型货车1辆，一共需补贴油费1000元；A型货车10辆、B型货车6辆，一共需补贴油费8400元．
(1)从甲地到上海，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
(2)如果需派出20辆车，并且预算油费补贴不超过9600元，那么该快递公司至多能派出几辆A型货车？
【答案】(1)每辆A型货车补贴油费600元，每辆B型货车补贴油费400元．
(2)该快递公司至多能派出8辆A型货车．
【解析】
(1)
解：设从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，
依题意，得： ，
解得：．
答：从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费600元，每辆B型货车补贴油费400元．
(2)
解：设该快递公司能派出m辆A型货车，B种型号的货车（20﹣m）辆，由题意得，
600m+400（20﹣m）≤9600，
解得m≤8，
又∵m为整数，
∴m的最大值为8．
答：该快递公司至多能派出8辆A型货车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
6．（2022·河南省直辖县级单位·一模）2022年2月24日俄乌战争爆发，在远程火力支援方面，俄军出动了“伊斯坎德尔-M”战术弹道导弹（射程300公里）和“伊斯坎德尔-K”巡航导弹（射程500公里）以及“龙卷风”远程火箭炮．中学生对各种军用装备倍感兴趣，某商店购进型导弹模型和型火箭炮模型，若购进种模型10件，种模型5件，需要1000元；若购进种模型4件，种模型3件，需要550元．
(1)求购进，两种模型每件分别需多少元？
(2)若销售每件种模型可获利润20元．每件种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进种模型的数量不超过种模型数量的8倍，设总盈利为元，购买种模型件，请求出关于的函数关系式，并求出当为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
【答案】(1)A种模型每件25元，B种模型每件150元
(2)b=29时，销售利润最大为5390元
【解析】
(1)
解：设购进，两种模型每件分别需x元，y元
由题意知：
解得：
所以购进，两种模型每件分别需25元，150元
(2)
由题意，商店购进A种模型的数量为：件
则得不等式：
解得：
由题意，
∵-90<0，
∴随着自变量d的增大，函数值W随之减小
∵b只能取整数
∴当b=29时，W取得最大值，且最大值为（元）
【点睛】
本题是函数与方程的综合，考查了二元一次方程组、一次函数的实际应用，解一元一次不等式，一次函数的性质，根据题意找到等量关系并列出方程组与函数关系式是解题的关键．
7．（2022·河南南阳·一模）某商场销售A，B两种型号的电风扇，进价及售价如表：
品牌
A
B
进价（元/台）
120
180
售价（元/台）
150
240

(1)该商场4月份用21000元购进A，B两种型号的电风扇，全部售完后获利6000元，求商场4月份购进A，B两种型号电风扇的数量；
(2)商场5月份计划用不超过42000元购进A，B两种型号电风扇共300台，销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇在原来售价的基础上打9折销售，那么商场如何进货才能使利润W最大？最大利润是多少？
【答案】(1)商场4月份购进A种型号的电风扇100台，B种型号的电风扇50台．
(2)A种型号的电风扇购进200台，B种型号的电风扇购进100台时，利润最大，最大利润是9600元
【解析】
(1)
解：设4月份购进A种型号的电风扇x台，B种型号的电风扇y台，
依题意得：，
解得：．
答：商场4月份购进A种型号的电风扇100台，B种型号的电风扇50台．
(2)
设5月份购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇(300﹣m)台，利润为w元．
由题意得，120m+180(300﹣m)≤42000，
解不等式得：m≥200，
∴200≤m≤300，
w＝(150﹣120)m+(0.9×240﹣180)(300﹣m)＝﹣6m+10800，
∵﹣6＜0，w随m的增大而减小，
∴当m＝200时，w有最大值，最大为9600，此时，300﹣m＝100．
答：A种型号的电风扇购进200台，B种型号的电风扇购进100台时，利润最大，最大利润为9600元．
【点睛】
本题考查二元一次方程的运用和利用一次函数求解最值问题，解题关键是抽象出题干中的等量关系式．
8．（2022·福建·模拟预测）某超市计划购进一批玩具，有甲、乙两种玩具可供选择，已知1件甲种玩具与1件乙种玩具的进价之和为57元，2件甲种玩具与3件乙种玩具的进价之和为141元．
(1)甲、乙两种玩具每件的进价分别是多少元？
(2)现在购进甲种玩具有优惠，优惠方案是：若购进甲种玩具超过20件，则超出部分可以享受7折优惠．设购进a（a＞20）件甲种玩具需要花费w元，请求出w与a的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，超市决定共购进50件玩具，且甲种玩具的数量超过20件，请你帮助超市设计省钱的进货方案，并求出所需费用．
【答案】(1)30元，27元
(2)
(3)当购进甲种玩具50件时，所需费用最少，需1230元．
【解析】
(1)
解：设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元．
(2)
解：当a＞20时，w＝20×30+（a﹣20）×30×0.7＝21a+180．
(3)
解：设购进甲种玩具a件（a＞20），则乙种玩具（50﹣a）件，设总费用为p元，根据题意，得
p＝21a+180+27（50﹣a）＝﹣6a+1530．
∵k＝﹣6＜0，
∴p随a的增大而减小．
∵20＜a≤50，
∴当a＝50时，p有最小值，此时，p＝1230元．
故当购进甲种玩具50件时，所需费用最少，需1230元．
【点睛】
此题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是理解题意，正确列式解决问题．
9．（2022·山东青岛·一模）为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下列问题：
(1)该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是多少？
(2)该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有12万人，试求a的值．
【答案】(1)A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)a的值为20．
【解析】
(1)
解：解：设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元.
依题意得
解得，，
∴A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)
解：由题意得：，
解得 ，
经检验：是所列方程的解，
∴a的值为20
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是找出等量关系，根据等量关系列方程（组）．
10．（2022·上海徐汇·二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
……
日销售量y（千克）
380
400
420
440
……

(1)根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
(2)试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很快销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
【答案】(1)一次函数模型，关系式为；
(2)公司对第一批次每天的销售定量是千克.
【解析】
(1)
解：根据表中数据，随着天数的增加，日销售量的增加量是固定不变的，都是千克，
选择一次函数模型来确定y与x的函数关系式，设，选择和，代入解析式，联立方程组得：，解得，
y与x的函数关系式为；
(2)
解：设公司对第一批次每天的销售定量是千克，则
，
去分母得，
即，
，
解得（舍），，
经检验：是原分式方程的解，
答：公司对第一批次每天的销售定量是千克．
【点睛】
本题考查一次函数和分式方程的实际应用，读懂题意，找到数据之间的关系，列出函数表达式或方程是解决问题的关键．
11．（2022·江苏泰州·一模）新冠病毒的核酸检测方式主要分单采和混采两种．
单采：将一个受试者的采集拭子放到一个试管中作为样本检测．
混采：将10个受试者的采集拭子放到一个试管中作为样本检测，检测结果为阴性时，参加混检的10个受试者都是安全的；检测结果为阳性时，会立即对该混采试管的10个受试者重新进行单采复检，进而确定谁是阳性．
单采与混采的人均检测费用比为7∶2，分别用1120元进行混采和单采，混采可比单采多检测100人．
(1)求单采与混采的人均检测费用分别为多少元？
(2)某小区对300名居民用混采的方式进行核酸检测，发现有阳性病例，立即组织单采复检，初检和复检总费用不足2960元，求参加复检的人数．
【答案】(1)28元、8元；
(2)人数不足97人
【解析】
(1)
解：设单采的人均费用为7x元，由题意得
，
解得x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
∴7x=28，2x=8，
答：单采与混采的人均检测费用分别为28元、8元；
(2)
设参加复检的人数为y，
28y+，
解得y，
∴参加复检的人数不足97人．
【点睛】
此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
12．（2022·福建三明·二模）经销商用32000元购进一批某种品牌运动鞋，售完后，又用52800元再购进一批该种品牌的运动鞋，第二次购进的数量是第一次购进数量的1.5倍，但每双运动鞋进价比第一次上涨了20元．
(1)经销商第二次购进这批运动鞋多少双?
(2)经销商将第二次购进的运动鞋平均分给甲、乙两家分店销售，每双标价300元．甲店按标价卖出m双以后，剩余的按标价打八折全部售出；乙店同样按标价卖出m双，然后将n双按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①写出n关于m的函数关系式；
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
【答案】(1)经销商第二次购进这批运动鞋240双；
(2)①；②乙店利润的最大值为4800元
【解析】
(1)
解：设经销商第一次购进这批运动鞋x双，则

解得：；
经检验，是该方程的解．
．
答：经销商第二次购进这批运动鞋240双．
(2)
①依题意，得

．
整理得．
②依题意，得
，即．
∴．
设乙店售完全部运动鞋的利润为y元，则



．
∵
∴y随m增大而增大
∵时，y取最大值．
∴乙店利润的最大值为4800元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出数量，以价格作为等量关系列方程求解，然后根据利润=售价进价，求出利润即可．
13．（2022·重庆渝中·二模）某水果专卖店2月份推出“红颜草莓”和“隋珠草莓”两个品种的新鲜草莓．已知每千克“隋珠草莓”比每千克“红颜草莓”多20元，且用160元购买到的红颜草莓与用200元购买到的隋珠草莓的重量相同．
(1)求每千克红颜草莓和隋珠草莓的价格分别是多少元？
(2)3月份第一周“红颜草莓”和“隋珠草莓”按原售价分别卖出40千克和20千克．第二周该水果店对这两种草莓进行降价促销，红颜草莓每千克降价10元，销量比第一周增加了50%；隋珠草莓每千克降价元，销量比第一周增加了千克，结果第二周这两种草莓的销售总额比第一周增加了3800元．降价促销活动中，隋珠草莓的价格仍然高于红颜草莓的价格，求隋珠草莓降价后每千克多少元？
【答案】(1)每千克红颜草莓和隋珠草莓的价格分别是80元和100元；
(2)80元
【解析】
(1)
解：设每千克红颜草莓的价格是x元，则隋珠草莓的价格是（x+20）元，根据题意得

解得x=80，
经检验x=80是原方程的解，
x+20=100（元）
答：每千克红颜草莓的价格是80元，每千克隋珠草莓的价格是100元．
(2)
根据题意得70×（1+50%）×40+（100-a）（20+2a）=40×80+20×100+3800
解得a1=20，a2=70，
又∵100-a＞70，
a＜30，
故a取20，
100-a=80（元）
答：隋珠草莓降价后每千克80元．
【点睛】
本题考查列方程解决实际问题，解决问题的关键是根据题意得到满足题意的等量关系．
14．（2022·浙江宁波·二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，
(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
【答案】(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
(2)甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大
【解析】
(1)
解：设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本1.4x元
由题意得：
解得：x＝20
经检验，x＝20是原方程的解
∴甲种图书进价为每本元
答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
(2)
解：设甲种图书进货a本，总利润ｗ元，则

∵
解得
∵w随a的增大而增大
∴当a最大时w最大
∴当本时，w最大
此时，乙种图书进货本数为（本）
答：甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出式子求解是关键．
15．（2022·江苏扬州·一模）冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．小聪在某网店分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．给出如下两个信息：
①A款冰墩墩玩偶的进货价比B款冰墩墩玩偶的进货价多；
②A、B两款冰墩墩玩偶的进货价之比为4∶3；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求A、B两款冰墩墩玩偶的进货价？你选择的条件是______（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
【答案】A款冰墩墩玩偶的进货价为20元，B款冰墩墩玩偶的进货价为15元；①或②；过程见解析
【解析】
【详解】
解：选择①，
设B款冰墩墩玩偶的进货价为x元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A款冰墩墩玩偶的进货价为20元，B款冰墩墩玩偶的进货价为15元；
选择②，
设A款冰墩墩玩偶的进货价为4x元，则B款冰墩墩玩偶的进货价为3x元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A款冰墩墩玩偶的进货价为20元，B款冰墩墩玩偶的进货价为15元；
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
16．（2022·广东深圳·二模）某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的平板，每台甲型平板比每台乙型平板进价多600元，用6万元购进甲型平板与用4.5万元购进乙型平板的数量相等．
(1)求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
(2)该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共80台进行试销，其中甲型平板为m台，购买资金不超过17.76万元．并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，试销时甲型平板每台售价2800元，乙型平板每台售价2400元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案中，销售完后获得的利润W的最大值．
【答案】(1)2400元；1800元
(2)3种；37200元
【解析】
(1)
解：设每台乙型平板的进价为x元，则每台甲型平板的进价为（x+600）元，
依题意，得：，
解得：x=1800，                                                                             
经检验，x=1800是原方程的解，且符合题意，
∴x+600=2400．
答：每台甲型平板的进价为2400元，每台乙型平板的进价为1800元．
(2)
解：设最大利润是W元，
∵购进m台甲型平板，
∴购进（80﹣m）台乙型平板，
依题意，得：W=（2800﹣2400）m+（2400﹣1800）（80﹣m）=﹣200m+48000．
∵购买资金不超过17.76万元．甲型平板不少于乙型平板的2倍，
∴，
解得：，                                                                 
∵m是整数，
∴m=54，55，56，
∴有3种种进货方案：
①购进54台甲型平板，26台乙型平板；
②购进55台甲型平板，25台乙型平板；
③购进56台甲型平板，24台乙型平板；                                      
由W=﹣200m+48000，
∵k=﹣200＜0，
∴W随m值的增大而减小，
∴方案①，即购进54台甲型平板，26台乙型平板时利润W取得最大，
最大值为：﹣200×54+48000=37200（元）．
答：购进54台甲型平板，26台乙型平板时利润W取得最大，最大利润为37200元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式，利用一次函数的性质求解．
17．（2022·广西·南宁市三美学校三模）神舟十三号飞船即将荣耀归来，为激发同学们对航天事业的兴趣，学校组织进行了一场以“飞天”为主题的文艺晚会，学校打算购买一些“飞天”装饰挂件与专属航天印章送给学生留作纪念．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；用200元购买挂件的盒数与用150元购买印章的盒数相同．
(1)求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元？
(2)如果给每位学生分发2个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，请用含α的代数式表示b；
(3)累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数关系式．该校有750名学生，需要购买挂件与印章各多少盒？共需要多少费用？
【答案】(1)每盒挂件为40元，每盒印章为30元；
(2)b＝a
(3)，需要购买50盒挂件与75盒印章，共需要2890元
【解析】
(1)
解：设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为(x－10)元．
根据题意，得，
解得x＝40．
经检验x＝40是分式方程的解，
∴x－10＝40－10＝30(元)．
答：每盒挂件为40元，每盒印章为30元；
(2)
解：∵a盒挂件与b盒印章恰好分发配套，
∴30a÷2＝20b÷2       
∴b＝a；
(3)
解：当w≤850，即a≤10时，；
当w＞850，即a>10时，w＝850＋0.6(85a－850)＝51a＋340．   
∴．
∵挂件需要750×2＝1500个，印章需要750×2＝1500个．
∴需要购买挂件1500÷30＝50盒，印章1500÷20＝75盒．
∴总费用w＝51×50＋340＝2890元．
答：需要购买50盒，挂件与75盒印章，共需要2890元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，分段函数及一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
18．（2022·辽宁锦州·一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x（元/箱）
…
35
38
…
销售量y（箱）
…
130
124
…

(1)若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，求当天这种蔬菜的销售量；
(2)若某天该批发商销售这种蔬菜获利1320元，则当天这种蔬菜的售价为多少元？
(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】(1)116
(2)当获利为1320元时，当天这种蔬菜的售价为90元
(3)这种蔬菜的售价为65元，可获得最大日利润为2450元
【解析】
(1)
设y与x之间的函数关系为，将，和，代入表达式，
得，解得．
∴
∴当时，
答：当售价为42元/箱，当天这种蔬菜的销售量为116箱
(2)
依题意可得
整理方程，得
解得，
∴这种蔬菜售价不低于，所以34不满足题设要求
答：所以当获利为1320元时，当天这种蔬菜的售价为90元．
(3)
设日获得利润为w元，

∵
∴抛物线开口向下．
∵这种蔬菜售价不低于，即
∴当时，（元）
答：这种蔬菜的售价为65元，可获得最大日利润为2450元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件，每周销量不少于240件．
(1)每件售价最高为多少元？
(2)实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降价1元，每周销量比最低销量240件多卖出20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？
【答案】(1)66元．
(2)13元．
【解析】
(1)
设每件涨价x元，则


解得
x取最大值，
∴x=6，
∴每件售价最高为：元．
(2)
设每件应降价y元，则




解得
∵要减少库存，
（舍去），

∴每件应降价13元．
【点睛】
本题主要考查列一元一次不等式和列一元一次方程，熟练找到不等关系和等量关系是解此题的关键．
20．（2022·湖北宜昌·一模）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
(2)今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
(3)节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】(1)漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨；
(2)m=20；
(3)节省水费大于两项投入之和
【解析】
(1)
解：设漫灌方式每亩用水x吨，则
100x+100×30%x+100×20%x=15000，
解得x=100，                                        
∴漫灌用水：100×100=10000吨，
喷灌用水：30%×10000=3000吨，
滴灌用水：20%×10000=2000吨，
∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨；
(2)
解：由题意可得，
100×(1−2m%)×100×(1−m%)+100×(1+m%)×30×(1−m%)+100×(1+m%)×20×(1−m%)=15000×(1−95m%) ，
解得m=0（舍)，或m=20，
∴m=20；
(3)
解：节省水费：15000×95m%×2.5=13500元，
维修投入：300×30=9000元，
新增设备：100×2m%×100=4000元，
13500>9000+4000，
∴节省水费大于两项投入之和．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程、一元一次不等和一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
21．（2022·广西·上思县教育科学研究所一模）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic reproduction number．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德尔塔＋变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．
(1)求德尔塔＋变异病毒的R0值；
(2)国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%．若有1人感染德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
【答案】(1)德尔塔＋变异病毒的R0值为8
(2)全民接种率至少应该达到75%
【解析】
(1)
解：设R0值为x，根据题意得：
，解，得：（舍去），，
答：德尔塔＋变异病毒的R0值为8；
(2)
解：设全民接种率至少应该达到，根据题意得：
，
令，则，
，解得，
即，
，
答：全民接种率至少应该达到．
【点睛】
本题考查一元二次方程及不等式的应用，解题的关键是读懂题意，理解的意义，根据已知列方程（不等式）解决问题．
22．（2022·浙江舟山·一模）“农民也可以报销医疗费了！”这是我区推行新型农村合作医疗的成果．村民只要每人每年交100元钱，就可以加入合作医疗，大病先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例的返回款，这一举措大地增强了农民抵御大病风险的能力．小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图．根据信息，解答以下问题：


(1)本次调查了多少村民？被调查的村民中，有多少参加合作医疗得到了返回款？
(2)该乡若有10000村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率．
(3)参加合作医疗遭遇重大疾病的村民得到的返回款人均5000元，从总体回报的角度看，是否建议参加新型农村合作医疗？说明理由．
【答案】(1)本次调查了300人，被调查的村民中，有6人参加合作医疗得到了返回款；
(2)估计该乡参加合作医疗的村民有8000人；年平均增长率为10%；
(3)建议参加新型农村合作医疗，理由见解析
【解析】
(1)
解：调查的村民数=240+60=300(人)，
参加合作医疗得到了返回款的人数=240×2.5%=6(人)；
答：本次调查了300人，被调查的村民中，有6人参加合作医疗得到了返回款；
(2)
解：∵参加医疗合作的百分率为×100%=80%，
∴估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%=8000(人)；
设年平均增长率为x，
根据题意得：8000（x+1）2=9680，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）
答：年平均增长率为10%；
(3)
解：本次调查了300人，被调查的村民中，有6人参加合作医疗得到了返回款，且返回款人均5000元，
共返回5000×6=30000(元)，
人均返回30000÷300=100(元)，
与每人每年交100元钱相当，但增强了农民抵御大病风险的能力．
建议参加新型农村合作医疗．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（2022·湖南·永州市零陵区实验中学二模）沃柑是零陵区最近几年引进种植的水果品种，它以色泽亮丽，口味甜美而迅速占领了零陵区的水果市场 ． 今年恰逢沃柑大丰收，一水果商以每斤元的价格购进了大量的沃柑，然后以每斤元的价格进行销售，平均每天可以销售斤． 经调查发现，如果沃柑的售价每降价元，那么平均每天的销售量会增加斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
(1)若将沃柑每斤降低元，则每天的销售量是多少斤．（用含x的代数式表示）
(2)如果该水果商销售的沃柑要每天保证盈利元，每斤沃柑应降至多少元？
【答案】(1)(150+50x）斤
(2)7元
【解析】
(1)
解：根据题意，得(150+50x）斤，
答：每天的销售量是(150+50x）斤；
(2)
解：设沃柑每斤降低元，根据题意，得
(9-x-3)(150+50x)=1000
解得：x1=1，x2=2，
又因为销售量是150+50x，销售量随着x的增大而增大，
所以为了尽快减少库存,x=2,
∴9-x=9-2=7(元)，
答：每斤沃柑应降至7元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，根据利润=(降价后的售价-进价)×数量，列出方程是解题的关键．
24．（2022·贵州遵义·二模）据统计每年汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的70%以上．注意车速，保持车距是行车安全中必须遵守的．某公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处的乙车低速行驶，则甲车刹车减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系如下表所示．
时间t（单位：s）
0
1
2
3
4
……
行驶的路程s（单位：m）
0
15
28
39
48
……








(1)根据所得数据中甲车行驶的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的变化规律，利用初中所学函数值试求出s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
(2)若乙车以4m/s的速度匀速行驶，甲车是否与乙车发生追尾？若发生追尾，请计算出时间t的值；若能避免发生追尾事故，请说明原因．
【答案】(1)
(2)2秒后，甲车会与乙车发生追尾
【解析】
(1)
解：由表格数据可知s与t之间是二次函数关系，
并且图象经过原点，
设二次函数表达式为，
∵二次函数经过，，
则，解得，
∴二次函数表达式为，
顶点式为
∴当时，行驶距离达到最大值64米，即停止前进。
则t的取值范围为：．
(2)
解：由题意可得：

∴，
解得和，
∵，
∴
答：2秒后，甲车会与乙车发生追尾．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一元二次方程的应用，根据追击关系找到等量关系列出方程是做出本题的关键．
25．（2022·浙江宁波·一模）某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
(2)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，同每件衬衫应降价多少元？
(3)该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．
(2)每件衬衫应降价10元．
(3)不能，理由见解析．
【解析】
(1)
解：若每件衬衫降价4元，则平均每天销售数量为件．
每天销售获利为元
(2)
解：设每件衬衫应降价元时，每天销售利润为1200元．
根据题意，得，
整理，得．
解得：，．
∵要求每件盈利不少于25元，
应舍去，
．
答：每件衬衫应降价10元时，衬衫每天销售利润为1200元．
(3)
解：不能．
理由：销售获利为
因此衬衫每天的销售获利不能达到1300元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2022·辽宁锦州·一模）某社区为了创建干净整洁、和谐文明的社区环境，准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价是B种垃圾桶每组单价的1.5倍，用7200元购买A种垃圾桶的组数比用6000元购买B种垃圾桶少5组．
(1)求A，B两种垃圾桶每组单价分别是多少元；
(2)该社区计划用不超过12000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组，则最多可以购买A种垃圾桶多少组？
【答案】(1)A，B两种垃圾桶每组的单价分别是360元和240元
(2)最多可以购买A种垃圾20组
【解析】
(1)
解：设B种垃圾桶每组的单价是x元，则A种垃圾桶每组的单价是元，
根据题意，得
解得
经检验是原方程的解．
∴
答：A，B两种垃圾桶每组的单价分别是360元和240元．
(2)
解：设购买A种垃圾桶a组，则购买B种垃圾桶为组，
根据题意，得
解得
答：最多可以购买A种垃圾20组．
【点睛】
本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27．（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)①进A种树苗52棵，种树苗48棵；②购进A种树苗53棵，种树苗47棵
【解析】
(1)
解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；
(2)
设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，
根据题意，得：，
解得：，
所以购买的方案有：
①进A种树苗52棵，种树苗48棵；
②购进A种树苗53棵，种树苗47棵．
【点睛】
本题考察一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程组或不等式组．
28．（2022·四川成都·二模）2022年3月，上海市新冠疫情卷土重来，疫情发生后，上海市委市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，上海市急需大量物资．在此期间，成都某快递公司计划租用甲、乙两种货车共10辆，将某农场捐赠的60吨萝卜和26吨白菜运往上海．已知甲种货车可装萝卜8吨和白菜2吨，乙种货车可装萝卜和白菜各4吨．如果设快递公司租用甲种货车x辆，请解答下列问题：
(1)该快递公司安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(2)若甲种货车每辆需付运输费1500元，乙种货车每辆需付运输费1300元，设总运费为w元．
①写出w和x的函数关系式：
②该快递公司应选择哪种方案最节约成本？最低成本是多少元？
【答案】(1)有三种方案，即①甲5辆，乙5辆；②甲6辆，乙4辆；③甲7辆，乙3辆
(2)① =200x+13000，②选择甲5辆，乙5辆，最低成本为14000元
【解析】
(1)
解：设甲车x辆，则乙车为辆，
则 ，
解得，
∴
∴有三种方案，即①甲5辆，乙5辆；②甲6辆，乙4辆；③甲7辆，乙3辆；
(2)
①，
②由①得，一次函数，随x的增大而增大，
∴当时，最小，
∴，
∴选择甲5辆，乙5辆，有最低成本，为14000元．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组和一次函数的综合运用，正确理解题意列不等式组和函数式是解题的关键．
29．（2022·湖南永州·一模）为了庆祝中国共产党建党100周年，某学校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买A，B两种纪念品奖励在比赛中表现优秀的学生．已知购买1个A种纪念品和2个B种纪念品，共需20元；购买2个A种纪念品和5个B种纪念品共需45元．
(1)求购买一个A种纪念品和一个B种纪念品的售价各需多少元；
(2)若要购买A，B两种型号的纪念品共100个，投入资金不少于780元，且不多于800元，有多少种购买方案？求出所花资金最小值．
【答案】(1)购买一个A种纪念品需要10元，购买一个B种纪念品的需要5元
(2)共有5种购买方案，所花资金的最小值为780元
【解析】
(1)
设购买一个A种纪念品需要x元，一个B种纪念品的售价需要y元，
由题意得
解得
答：购买一个A种纪念品需要10元，购买一个B种纪念品的需要5元．
(2)
设购买m个A种纪念品，则购买(100－m)个B种纪念品

解得
∵m是正整数，
∴m可以为56，57，58，59，60．共5种购买方案
设购买总费用为W元，则W=10m+5(100－m)=5m+500
∵5>0
∴W随m的增大而增大，
当m=56时，W取最小值且为5×56+500=780（元）
答：共有5种购买方案，所花资金的最小值为780元
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
30．（2022·山东青岛·一模）某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这次衬衫，结果比原计划多购进80件．
(1)该商场实际购进每件衬衫多少元？
(2)该商场打算在进阶的基础上，每件衬衫加价50%进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有20%的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？
【答案】(1)该商场实际购进每件衬衫100元
(2)应至少再购进衬衫172件，商场获得不低于20000元的利润
【解析】
(1)
解：设该商场原计划多购进每件衬衫x元，
根据题意，
解得x=125，
经检验x=125是原方程的根，并符合实际，
∴125×0.8=100元，
答该商场实际购进每件衬衫100元；
(2)
解：设再购进y件衬衫，
根据题意100×50%×（400+ y）×80%+[100（1+50%）×0.5-100]×（400+ y）×20%≥20000，
整理得40（400+y）-5(400+y)≥20000，
解得y≥，
∵y为整数，
∴应至少再购进衬衫172件，商场获得不低于20000元的利润．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，列不等式解应用题，掌握列分式方程和列不等式解应用题方法与步骤，抓住等量关系与不等关系列方程与不等式是解题关键．