中考数学三轮冲刺专练03（选择题-压轴）（教师版）

这是一份中考数学三轮冲刺专练03（选择题-压轴）（教师版），共35页。

专练03（选择题-压轴）
1．（2022·安徽·无为三中一模）如图．的面积为．分别取两边的中点，则四边形的面积为，再分别取的中点的中点，依次取下去…．利用这一图形．计算出的值是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为，
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积=，
∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积-△A2B2C的面积=，
…，
∴第n个四边形的面积，
故

．
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
2．（2022·山东枣庄·一模）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程的一根是3，则另一根是；④若点，，均在二次函数图象上，则．其中正确的结论的个数为（       ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0）

故①正确；
抛物线的对称轴为直线
b= 2a,
抛物线开口向上，与y轴交于负半轴
a> 0， c<0

故②正确；
若关于x的一元二次方程的一根是3，抛物线的对称轴为直线
关于x的一元二次方程的另一根是
故③正确；
抛物线的对称轴为直线且开口向上
离对称轴越近， y值越小
点，，均在二次函数图象上

故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的的性质及图象与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
3．（2022·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（       ）
A．6 B．9 C． D．2
【答案】A
【解析】

解不等式①得：；解不等式②得：
由题意知不等式组的解集为：
∵恰好有三个负整数解
∴
解得：
解分式方程得：
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵
∴
∴a+1=0或4或8
即或3或7，
即

综上：或7，
则
故选：A
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于a的不等式是本题的难点与关键．
4．（2021·安徽·合肥38中二模）如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】
解：如图，当在的两侧时，设 则

矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，
四边形 四边形都是矩形，


由勾股定理得：






整理得：


如图，当在的右侧时，设

同理可得：

解得： 不合题意舍去，
如图，当都在的左侧时，设

同理可得：

解得： 不合题意舍去，
综上：满足条件的点只有个，
故选：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质与判定，勾股定理的应用，平方差公式的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2021·四川成都·三模）古希腊数学家发现“黄金三角形”很美。顶角为的等腰三角形，称为“黄金三角形”，如图所示，中，，，其中，又称为黄金比率，是著名的数学常数。作的平分线，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形。若的长为1，那么的长为（       ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵中，，
∴
∵平分
∴
∴，
设，
∴
∵的长为1
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴,
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
同理得：

……
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形、分式方程、角平分线、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、分式方程、角平分线、等腰三角形的性质，从而完成求解．
6．（2022·湖南省祁东县育贤中学一模）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d 可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+7，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（       ）

A． - 1 B． - 1 C． - 1 D．2
【答案】A
【解析】
如图，过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，

此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离，
∵⊙C的半径为1，
∴，
故选 A．
【点睛】
本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
7．（2021·贵州·仁怀市教育研究室二模）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：如图，当时，，解得，
∴A(-2，0)，B(3，0)，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，则下方对应的解析式为，

∵y=x为第一、三象限的角平分线，直线y=x+m可以看成是y=x上下平移m个单位得到，
∴当直线y=x+m刚好经过B点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的
直线y=x+m1所示，
∴，解得；
当直线y=x+m刚好经过C点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的
直线y=x+m2所示，
∴联立方程组，整理得到：，
∵直线y=x+m2和y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点C，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当新函数图像与y=x+m有4个交点时，，
综上所述：直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法及二次函数的图像和性质，考查了二次函数图像的坐标变化，本题的关键是求出沿x轴翻折后对应的解析式．
8．（2021·河南洛阳·三模）如图，已知点A是双曲线y＝﹣在第二象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第一象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值是（       ）

A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【解析】
解：∵双曲线关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA＝OB．
连接OC，如图所示．
∵是等边三角形，OA＝OB，
∴ ，∠BAC＝60°，
∴，
∴．
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，
∵
∴
∴ ．
∴，
∵，
∴，．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第二象限，
∴OE＝﹣a，AE＝b．
∴， ．
∵点A是双曲线在第二象限的分支上的一个动点，
∴ab＝﹣4．
∴．
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第一象限，
∴FC＝y，OF＝x．
∴．
∴xy＝﹣6．
∵点C在双曲线上，
∴k＝xy＝12．
故选：B．

【点睛】
本题考查了反比例函数的综合题，涉及解直角三角形、相似三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．
9．（2021·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图像经过C、D两点，连接AC，AC//x轴，延长DB、DC分别交x轴于点E、F．若DC：CF＝1：2，，则k的值为（　　）

A． B． C． D．13
【答案】B
【解析】
解：设AC与BD交于G，过C作CM⊥EF于M，过D作DN⊥EF于N交AC于H，
∴CM//DN，
∴∽，
∴，
∵DC：CF＝1：2，
∴，
∴设，，
∴，
∵AC//x轴，
∴四边形AOMC是矩形，
∵点C，D在反比例函数的图像上，
∴C（，），D（，），
∵AC//x轴，
∴∽，
∴，，
∵，，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．

【点睛】
本题考查反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2021·河南·模拟预测）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（       ）

A．（5，0） B．（6，0） C．（，0） D．（，0）
【答案】C
【解析】
∵OABC是正方形，A（4，0），
∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°．
∵BD＝1，
∴AD＝3，
则D（4，3）．
∵CE⊥OD，
∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE．
在△COE和△OAD中，

∴△COE≌△OAD（ASA），
∴OE＝AD＝3，
∴E（3，0）．
设直线CE为y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：
，
解得，
∴直线CE为．
由设直线MN为，把D（4，3）代入得：，
解得，
∴直线MN为，
在中，令y＝0得，
解得，
∴M（，0），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数关系式，根据两直线平行求出直线MN的关系式是解题的关键．
11．（2021·福建·大同中学二模）如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴相交于点M，N，∠MPN＝90°，点C(0，3)，则PC长度的最小值是（　　）

A．33 B．3﹣2 C． D．3
【答案】A
【解析】
解：以MN为直径作⊙E，连接EC并延长交⊙E于点P，此时PC的长度最小.
当x＝0时，y＝0+6＝6，
∴点N的坐标为（0，6）；
当y＝0时，x+6＝0，
解得：x＝﹣6，
∴点M的坐标为（-6，0）．
∴MN6，点E的坐标为（﹣3，3）．
又∵点C的坐标为（0，3），
∴CE＝3，
∴CP＝EP﹣CEMN﹣CE63＝33．
故选：A．

【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离=半径-该点到圆心的距离是解题的关键．
12．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．10 D．5
【答案】D
【解析】
解：如下图所示，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．

∵点P是AC边上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，
∴点Q在线段上运动．
∴当，即点Q与点M重合时，线段CQ取得最小值为CM．
∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20，
∴BC=10．
∵Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，
∴=BC=10，．
∴．
∴．
∴点C是线段中点．
∵点M是线段的中点，
∴CM是的中位线．
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质，直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键．
13．（2022·河北石家庄·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内一点，GE=GF且∠EGF=90°．①点E为AB中点时，∠AEG=75°；②点G到AB，BC的距离一定相等；③点G到AB边的距离最大为；④点G到AB边的距离可能为3．则以上说法正确的是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
解：∵四边是ABCD是矩形
∴
由题意知，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
①点E为AB中点时，


∴

故①正确；
②如图，作于，于，

∴点G到AB，BC的距离分别为，
∵，
∴
∴
∵
∴
在和中
∵
∴
∴
故②正确；
③由②可知，在中，
∴当重合时，点G到AB边的距离最大，最大值为
故③正确；
④∵点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合
∴点F不与B，C重合
∴
∴
∴
∵
∴
∴点G到AB边的距离大于4，
故④错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，特殊角的三角形函数值．解题的关键在于对知识的熟练掌握和灵活运用．
14．（2022·山东东营·模拟预测）如图，正方形的边长为，点在边上，，，点在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点，连接、、下列结论：①的面积为；②的周长为；③其中正确的是（     ）

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【答案】C
【解析】
解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=AD=4，∠B=∠BAD=90°，
∴∠HAD=90°，
∵HF∥AD，
∴∠H=90°，
∵∠HAF=90°-∠DAM，
∴∠AFH=∠HAF，
∵AF=，
∴AH=HF=1=BE，
∴EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC，
∴△EHF≌△CBE (SAS)，
∴EF=EC，∠HEF=∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠HEF+∠BEC=90°，
∴∠FEC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE=1，BC=4，
∴，
∴，
故①正确；
如图，过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，

∴∠APF=90°=∠H=∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH=HF，
∴矩形APFH是正方形，
∴AP=PF=AH=1，
同理可证四边形ABQP是矩形，
∴PQ=AB=4，BQ=AP=1，FQ=FP+PQ=5，CQ=BC-BQ=3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴，
，
∴，
∴DG=，

∴，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得：，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
故③错误．
∴其中正确是：①②．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AG是解本题的关键.
15．（2022·安徽·合肥市第四十五中学工业区分校一模）在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（       ）.

A． B． C．5 D．6
【答案】A
【解析】
解：作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，如图所示，当H、M、F、G1在同一直线上时，GM+GN最小，最小值为FH-FM，
∵在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，
∴CD=10，BC=6，∠ABC=90°，
∵DE为直径，
∴∠DME=∠DMC=90°，
∵CD的中点为F，AB=10，
∴FM= FM=5，
由对称可知，BH=BN= ，
CH=9，
，
GM+GN最小值为，
故选：A．

【点睛】
本题考查了最短路径问题，矩形性质，解题关键是熟练运用轴对称和圆的相关性质，确定最短路径，利用勾股定理求出最小值．
16．（2022·重庆·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；②DEF的周长为8；③；④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB＝∠BCD＝90°，
∵点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，
∴∠QBF＝∠QFB，
∴BQ＝FQ，故①正确；
如图1，延长DA至N使AN＝CF，连接BN，
∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴，
∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF，
∵∠QBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∵∠ABE+∠ABN＝45°，
∴∠EBN＝∠EBF＝45°，
又∵BE＝BE，BF＝BN，
∴，
∴EF＝EN，
∴DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确；
∵CH∥FQ，
∴∠BHC＝∠BQF＝90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图2，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP＝2＝HP，
∴AP＝＝＝2，
在AHP中，AH＞AP﹣HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；
如图3，连接EG，
∵∠DAC＝∠QBF＝45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴
∴，∠EGB＝90°，
∴EG＝BG，
∴BE＝BG，
∴∠BEG＝∠BFQ＝45°，
∵点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF，
∴，
∴＝（）2＝，
∴；故③正确，
故选：D．
              
                         图1                                                图2                                      图3
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．（2022·重庆·模拟预测）如图，矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，CE平分∠BCD交AD于点E，F为CE上一点，G为AD延长线上一点，连接DF，FG，DF的延长线交AC于点H，FG交CD于点M，且，以下结论：①，②，③；④若，则四边形FHCM的面积为．其中正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCA+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝∠CDH＝∠AGF，
∴∠CDH+∠ACD＝90°，
∴∠DHC＝90°，
∴DH⊥AC，故①正确；
如图，设AC与BD的交点为O，延长GF交BC于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，OB＝OD＝OC，
∴∠ADB＝∠OBC，∠OBC＝∠OCB，
∴∠ADB＝∠OCB＝∠AGF，
∴BD∥GF，故②正确；

∵BD∥GF，AD∥BC，
∴四边形BDGN是平行四边形，
∴BD＝NG＝AC，
∵AG∥BC，
∠AGF＝∠GNC＝∠CDF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝45°，
又∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CNF（AAS），
∴DF＝NF，
∴DF+FG＝FG+NF＝NG＝BD＝AC，故③正确；
∵BC＝2AB＝2，
∴AB＝1＝CD，
∴AC＝＝＝，
∵＝×AD×CD＝×AC×DH，
∴2×1＝×DH，
∴DH＝，
∵tan∠ACD＝＝2，
∴CH＝DH＝，
∵△CDF≌△CNF，
∴CD＝CN＝1，
∵DG∥BC，
∴△DGM∽△CNM，
∴＝1，
∴DM＝CM＝，
∵∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴DE＝DC＝1，
延长DH交BC于点R，
∵∠CDF＝∠CNF，CD＝NC，∠DCR＝∠NCM，
∴△DCR≌△NCM（ASA），
∴CM＝CR＝，
∴DR＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△CRF，
∴＝，
∴DF＝，
∴HF＝，
∴＝××＝，＝××＝，
∵CM＝DM，
∴＝，
∴四边形FHCM的面积为，故④正确，

综上分析可知，①②③④正确，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，求出DF的长是解题的关键．
18．（2022·重庆·模拟预测）如图，矩形ABCD中，，点E为BC边的中点，点F在边AD上，将四边形ECDF沿着EF翻折得到四边形EC1D1F，EC1交AD于点H，若C1H：HE＝1：3且D1C1的延长线恰好经过点A，则折痕EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：如图所示，过E作EG⊥AD于G，则四边形ABEG是矩形，
设C1H＝a（a＞0），则EH＝3a，C1H＝4a＝BE＝AG，
设AH＝x（x＞a），则HG＝4a﹣x，
∵∠AC1H＝∠EGH＝90°，∠AHC1＝∠EHG，
∴△AHC1∽△EHG，
∴，即，
解得x1＝3a或x2＝a（舍去），
∴AH＝3a，HG＝4a﹣3a＝a，
Rt△EHG中，HG2+EG2＝HE2，
∴a2+（4）2＝（3a）2，
解得a＝，
∴HG＝，HE＝3，
由题可得，∠CEF＝∠HEF，∠CEF＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HF＝HE＝3，GF＝2，
Rt△EFG中，EF＝＝＝，
故选：A．

【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，解决问题的关键是构造直角三角形，同时注意折叠前后的对应关系．
19．（2021·山东临沂·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF＋BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴ ，
故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∵MB⊥BC，
∴∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠ACB=∠MBC，
∴MGBC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，
故②正确；
③如图2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，
故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴ ，
∴AE•BF=AC•BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MGBC，MH=CG，
MG=CH，MHAC，
∴ ， ，
即 ， ，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，
故④正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，能灵活运用以上知识是解题的关键．
20．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，线段是的直径，交线段于，且是中点，于，连接，则下列结论正确的个数是（       ）
①；②；③；④是的切线；⑤．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
解：显然，为直角三角形，而不是直角三角形，故两三角形不相似，
所以，选项①错误；
连接，为中点，为中点，
为的中位线，
，
又，，
，
为圆的切线，选项④正确；
又，，
为圆的直径，，
，，
，
，选项②正确；
由为中点，且，
垂直平分，
，又，
，选项③正确；
，，
，
，即，选项⑤正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：．

【点睛】
本题是圆的综合题，主要考察相似三角形的判定和性质以及切线的性质，利用同弧或等弧确定等角是解决问题的关键．