辽宁省锦州市2023届高三（一模）数学试题(含解析)

辽宁省锦州市2023届高三（一模）数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．在中，点在边上且平分.若，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有和正常工作的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（    ）（一对轧辊减薄率）

A．14 B．15 C．16 D．17

6．已知正方体的棱长为是棱的两个三等分点，则四面体的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ）

A． B．1 C． D．2

8．已知实数，，满足且，若，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（    ）

A． B．服从标准正态分布

C． D．

10．如果有限数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中是首项为50，公差为的等差数列，则（    ）

A．若，则

B．若，则所有项的和为590

C．当时，所有项的和最大

D．所有项的和可能为0

11．已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

12．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点（其中在的上方），为坐标原点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线于点.则（    ）

A．若，则直线的斜率为

B．

C．若是线段的三等分点，则直线的斜率为

D．若不是线段的三等分点，则一定有

三、填空题

13．写出过点且与圆相切的一条直线的方程___________.

14．的展开式中含的项与含的项系数相等，则___________.

15．椭圆的离心率为，分别为的左､右焦点，若，是上轴上方的两点且，则___________.

四、解答题

16．已知数列和满足，数列的前项和分别记作，且.

(1)求和；

(2)设，求数列的前项和.

17．今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：

年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为.

(1)请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为青年有关；

(2)按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年人的概率.

附：①，其中.

②

18．已知的内角的对边分别为.

(1)若，求的值；

(2)是否存在以为直角顶点的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19．如图一， 是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

20．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.

21．已知函数，

(1)证明：；

(2)若恒成立，求的取值范围；

(3)设，证明：函数存在唯一的极大值点，且.

五、双空题

22．在中，，若空间点满足，则的最小值为___________；直线与平面所成角的正切的最大值是___________.

参考答案：

1．B

【分析】确定，，再计算交集得到答案.

【详解】，

，故，

故.

故选：B

2．C

【分析】根据复数的四则运算进行化简即可.

【详解】因为，所以，所以，

所以，

故选：C

3．C

【分析】根据角平分线的性质得到，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为平分，所以，又，，，，

所以，即，所以，

所以.

故选：C

4．C

【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有和正常工作的概率，在利用条件概率公式求解即可.

【详解】设事件为系统正常工作，事件为只有和正常工作，

因为并联元件、能正常工作的概率为，

所以，

又因为，

所以，

故选：C

5．D

【分析】根据题意可得，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数.

【详解】厚度为的带钢从一端输入经过减薄率为4%的对轧辊后厚度为，过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为，

则，

故选：D.

6．B

【分析】连接，，计算得到答案.

【详解】如图所示：连接，

则，

故选：B

7．A

【分析】先利用辅助角公式化简函数，根据题意得函数在上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值.

【详解】，

因为使得的图象在点处的切线与轴平行，

所以函数在上存在最值，即函数在上存在对称轴，

令，得，

因为，所以，

即，则，

又，故时，取最小值为，

故选：A

8．D

【分析】首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.

【详解】由得，————①

由得，————②

两式相加得，因为，，所以，又因为 ，所以；

因为，，所以，即，所以；

令，则，当时，，

所以在内单调递增，即，

所以，即，

又令，则，

当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.

所以.

故选：D.

9．AD

【分析】确定，，，根据对称性得到A正确，服从标准正态分布，B错误，，计算得到C错误，D正确，得到答案.

【详解】，故，，，

对选项A：根据正态分布的对称性得到，正确；

对选项B：服从标准正态分布，错误；

对选项C：，则，故，错误；

对选项D：，正确.

故选：AD

10．BC

【分析】确定的和，代入数据计算得到BC正确，D错误，计算，A错误，得到答案.

【详解】的和，

对选项A：，则，错误；

对选项B：，则所有项的和为，正确；

对选项C：的和，当时，和最大，正确.

对选项D：，方程无正整数解，错误.

故选：BC

11．AB

【分析】由题意可得为偶函数，在上单调递增，不等式等价于，由，解不等式即可.

【详解】函数是定义在上的可导函数，，则定义域为，

，为偶函数，

当时，，则在上单调递增，

当，，则有，

即，所以，

由，可得，

根据选项可知，实数a的取值可以是-1和0.

故选：AB.

12．ABC

【分析】设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程用韦达定理得，从而可以表示出点坐标，然后求出坐标，然后依次判断各项即可.

【详解】

抛物线焦点为，设直线方程为，，，

由得，

由韦达定理可知，，，

因为，则可得,

且，，

所以，即，

且，

解得，

得，

所以，且

所以，故A正确,

又因为，，

故直线方程为，

又因为共线，所以，，

同理可得，

，，

所以，,即，故B正确.

若是线段的三等分点，则,

，

，

又，，

，

，

所以，

解得，，故C正确.

由，得

，

即，所以，

，又，

所以，

，

所以

                 ，

当时，,故D错误.

故选:ABC.

13．或

【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径解得答案.

【详解】圆，圆心，半径，

当直线斜率不存在时，验证知满足条件；

当直线斜率存在时，设直线方程为，即，

圆心到直线的距离为，解得，故直线方程为，

即.

综上所述：直线方程为或.

故答案为：或

14．

【分析】求得展开式的通项为，分别令和，根据含的项与含的项系数相等，得到，即可求解.

【详解】由的展开式的通项为，

令，可得；

令，可得，

因为展开式中含的项与含的项系数相等，可得，

又因为，所以.

故答案为：.

15．3

【分析】根据离心率得到椭圆方程，根据椭圆的性质和勾股定理得到，再利用余弦定理得到，得到答案.

【详解】，解得，故椭圆，，

连接，如图所示：

则，，解得，

则，，

故，即，

解得，故.

故答案为：

16．(1)

(2)

【分析】（1）确定，再根据解得答案.

（2）计算，得到，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.

【详解】（1），所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以其前项和，又因为，

所以，，

（2）当时，.

当时，也适合通项公式，

故.

所以，

所以

.

17．(1)列联表答案见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关

(2)

【分析】（1）先求出青年游客预订旅游人数，再求出青年游客不预订旅游的人数，从而得到列联表，再利用列联表求出的值，从而得到结论；

（2）先求出每层抽取的人数，再求出基本事件的个数和事件包含的个数，利用古典概率公式即可求出结果.

【详解】（1）200名有预订的游客中，青年游客人数为，

200名不预订的游客中，青年游客人数为，

可知列联表如下

所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关.

（2）按分层抽样，从预定游客中选取5人，

其中青年游客的人数为人，其他游客2人，

所以从5人中任取3人，其中至少有2人是青年人的概率为

.

18．(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据正弦定理得到，确定，，再利用余弦定理计算得到答案.

（2）根据正弦定理得到，代入等式得到，方程无解，故不存在，得到答案.

【详解】（1）（法一）,由正弦定理得，

又因为，所以，即.

由余弦定理知：.

（法二）因为，所以，又，

所以，，即.

所以，即，所以，

因为，，所以.

（2）不存在以为直角顶点的直角三角形，理由如下：

因为，

由正弦定理，得，

若，则，且，

所以，

将上式两边平方得：，所以.

因为，，所以，且，方程无解.

故不存在满足条件的三角形.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据平面得到，根据勾股定理得到，得到线面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面和平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）因为为等边三角形，，，

为边上的高线，故，

又，平面，所以平面.

因为平面，所以.

在中，，所以，故，

而平面，平面，故平面

（2）分别以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，

则.

设平面的法向量，平面的法向量，

则，且，

取，，

得到平面的一个法向量，平面的一个法向量，

设二面角大小为，则，

所以.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据离心率设，代入得到，得到答案.

（2）设，联立方程得到根与系数的关系，根据得到，代入数据整理得到，得到答案.

【详解】（1）设，因为双曲线的离心率为，

设，

所以，

所以，解得或（舍），

所以双曲线的方程为，

（2）设，当直线斜率不存在时不成立，设，

即，

由，可得，

由于点在双曲线内部，易得，所以.

设，根据题意，，又，可得，

整理得：，

即，化简得

又，消去，得，

所以点在定直线上.

【点睛】关键点睛：本题考查了求双曲线方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.

21．(1)证明见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求导得到函数单调递增，确定，得到证明.

（2），考虑和两种情况，得到函数的单调区间，只需，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.

（3）求导得到单调区间，确定，结合（1）（2）中的结论得到，设，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明.

【详解】（1），所以是上的增函数，故，得证.

（2），

当时，为上的增函数，所以存在，

不符合题意；

当时，由，得，

时，是减函数，

时，是增函数，

所以，所以只需，

设，则，

当时，为增函数；当时，为减函数，

则，所以当且仅当时不等式成立；

综上所述：.

（3），，

因为是上的减函数，由正切函数的性质及可知，

在内，存在唯一实数，使得，

当时，为增函数，

当时，为减函数，

所以是的极大值点，.

由（1）可知，当时，，由（2）可知，

所以，

下面证明，

令，即证，即，

设，则，所以是上的增函数，

所以时，，成立，命题得证.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将证明不等式利用构造函数的思想转化为求函数的最值是解题的关键.

22．         

【分析】以所在平面为，建立空间直角坐标，求平面的法向量，

利用线面角结合换元法可得，又，则的最大值为，由此即可求出答案.

【详解】

过点作与点，过点作与点，

设，则，

又，则，

则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，

当点与点三点共线时，最小；且最小值为；

如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量为：，

，

设，

则，

当，且时，最小，

即当点与点三点共线时，最小，且最小值为；

记直线与平面所成角为,

则，

因为，

所以，

令，则，

则，，

又，在上单调递减。在上单调递增，

则，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

又，

所以直线与平面所成角的最大值为，

此时，

故答案为：；