2023年天津市五所重点校高考数学第一次模拟试卷（含答案解析）

2023年天津市五所重点校高考数学第一次模拟试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  下列命题错误的是(    )

A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 随机变量，若，，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 设，且，则

4.  函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，，则a、b、c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  对于函数，下列命题
①函数图象关于直线对称；
②函数图象关于点对称；
③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到；
④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变而得到．
其中正确命题的个数是(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7.  在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，，且平面ABCD，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上一点，满足，连接交y轴于点Q，若，则双曲线的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于x的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知复数是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于第______ 象限.

11.  若的展开式中常数项为，则展开式中的系数为______.

12.  若直线被圆C：截得线段的长为6，则实数m的值为______.

13.  口袋中有4个黑球、3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数，则______，______.

14.  已知，a，，则的最小值为______；

15.  在中，已知，，P是斜边BC上一动点，点Q满足，若，若点Q在边BC所在的直线上，则的值为______ ；的最大值为______ .

16.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且
求角A的大小；
若的周长为，求的面积；
若，求的值.

17.  如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，，
求证：平面SCD；
求二面角的余弦值；
求点A到平面SCD的距离．

18.  已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆C相交于两点M，N，且
求椭圆C的方程；
设点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，，为左、右焦点，连接、，设的角平分线PQ交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．

19.  已知正项数列的前n项和为，且
求数列的通项公式；
若，数列的前n项和为，求的取值范围；
若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．

20.  已知函数，，e为自然对数的底数．
如果函数在上单调递增，求m的取值范围；
若直线是函数图象的一条切线，求实数k的值；
设，，且，求证：

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：集合，
，
则
故选：
求出集合B，利用交集定义能求出
本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：与 都是非零向量，则“向量与 夹角为锐角”“”，反之不成立，可能同向共线．
因此“”是“向量与 夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：
与 都是非零向量，则“向量与 夹角为锐角”“”，反之不成立，即可判断出结论．
本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：对于A，由相关系数的定义可知，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确，
对于B，随机变量，，，
则，解得，，故B正确，
对于C，由线性回归方程的性质可知，线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确，
对于D，，且，
则，故D错误．
故选：
对于A，结合相关系数的定义，即可求解，
对于B，结合二项分布期望与方差的公式，即可求解，
对于C，结合线性回归直线的性质，即可求解，
对于D，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，线性回归方程的性质，以及二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．

【解答】

解：根据函数的解析式，，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和
当时，函数的值为0，故排除
故选

5.【答案】B 

【解析】解：依题意，；
，
，
，
故选：
将a，b，c与0，1比较，即可得到a，b，c的大小关系．
本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，函数的图象的变换问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
直接利用正弦型函数的对称性判断①②，再由正弦型函数的图象变换规律判断③④.

【解答】

解：对于函数，
下列对于命题①函数图象关于直线对称；
即：当时，，
故错误：
对于②函数图象关于点对称；
当时，，
故正确．
对于③：把的图象向左平移个单位得到；
故错误．
对于④：把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象．
故正确．
故正确的选项为：②④．
故选：

7.【答案】B 

【解析】解：如图所示，设点F在底面的射影为G，H为BC的中点，
则FG为刍甍的高，
由题意可知，，，，
则刍甍的体积为，
故选：
设点F在底面的射影为G，H为BC的中点，得FG为刍甍的高，求解FG，代入题中给出的体积公式即可．
本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
由题意可得垂直于x轴，，Q为的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】
解：由题意可得垂直于x轴，，
Q为的中点，
可得，
由可得，
即有，
在直角三角形中，
可得，
即有，
可得，
即，
由可得，
，
解得舍去，
故选：  

9.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查函数的零点与方程的根的关系和二次函数的图象与性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
由偶函数性质可以画出函数的图象，关于x的方程有6个不同的实数根，根据数形结合和韦达定理，即可得出答案．
【解答】
解：函数的图象如图所示：

由图象得函数在，上单调递增，在，上单调递减，
且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图象的渐近线．
令，则关于x的方程即可写成
此时关于t的方程应该有两个不相等的实数根其他情况不合题意，
设，为方程的两个实数根，
显然，有以下两种情况符合题意：
①当时，此时，则，
②当时，此时，则，
综上所述，实数a的取值范围是，
故选：  

10.【答案】一 

【解析】解：，其在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故答案为：一．
先化简复数z，进而判断其在复平面内对应的点所在的象限．
本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，的展开式的通项，
当，即时，有，
解可得，
则的展开式的通项，
令，解可得，
此时，
即展开式中的系数为；
故答案为：
根据题意，求出的展开式的通项，结合题意当，即时，有，解可得a的值，进而令，解可得，将代入通项计算可得答案．
本题考查二项式定理的应用，关键是求出a的值．
 

12.【答案】24 

【解析】解：圆C：的标准方程为，
所以圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
因为被被圆C：截得线段的长为6，
根据勾股定理可得，即，解得
故答案为：
把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
 

13.【答案】  

【解析】解：“”表示取出的2球为“1黑1红”或“2白”，
所以；
由题意可知，随机变量的可能取值有0、1、2、3、4，
则，
，
因此，
故答案为：
““表示取出的2球为“1黑1红”或“白”，结合古典概型的概率公式可求得的值；由题意可知，随机变量的可能取值有0、1、2、3、4，求出个取值的概率，再求出的值．
本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，a，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当且仅当时，即时取等号，
故的最小值为，
故答案为：
先根据条件消掉b，即将代入原式得，并乘“1”法，最后运用基本不等式求其最小值
本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，乘1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，若点Q在边BC所在的直线上，
则；
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，得直线BC的方程为，
则可设，其中，
由，得点Q在以点P为圆心，2为半径的圆上，
可设，
由，，，
因为，
所以，
所以，即，
则其中，
所以，
即，故的最大值为
故答案为：1；
根据共线定理推论即得；建立直角坐标系，写出直线BC的方程，根据方程设点P坐标，结合条件可得Q的轨迹方程，进而设出点Q坐标，根据已知表示出然后利用三角函数的性质即得．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于难题．
 

16.【答案】解：因为，所以，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，
又，
所以可得；
由三角形的周长为，，
所以，
由可得，而，
所以可得，可得，
所以；
所以的面积为；
由正弦定理可得：，，，，
所以，
又，所以B为锐角，所以，
所以，，
所以，
所以的值为 

【解析】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.
由题意和余弦定理可得A的值；
由三角形的周长及a边，可得，再由和余弦定理可得bc的值，代入面积公式求出三角形的面积；
由和正弦定理可得B的正弦值，再由大边对大角可得B的余弦值，进而求出2B的正余弦值，由两角差的余弦公式可得的值．
 

17.【答案】解：如图示：
，
以C为原点建立空间直角坐标系，
由题意得：，，，，，
证明：，，，
，，
即，，
，
平面SCD；
解：由可得为平面SCD的一个法向量，
设平面SAD的法向量为，
而，，
则，即，
不妨设，可得，
易知二面角为锐角，
因此有，，
即二面角的余弦值是；
解：，，，
作平面SCD，垂足为H，
设，且，
由，，得：
，解得，
，，
即点A到平面SCD的距离是 

【解析】建立坐标系，求出向量的坐标，得到，，求出线面垂直即可；
设平面SAD的法向量为，求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值；
作平面SCD，垂足为H，求出的坐标，从而求出点A到平面SCD的距离．
本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．
 

18.【答案】解：因为，且，
椭圆C可化为：，
联立消去y，并整理得：，
，得，
设，，
则，，
所以，
解得：，从而，
故所求椭圆C的方程为：
由角平分线的性质可得，
由椭圆的定义可得，
，解得：，
解得：，
，
，
解得：，
的取值范围是 

【解析】利用弦长公式可以解出，；
利用角平分线的性质定理、椭圆的定义以及的范围列式可得m的范围．
本题考查了椭圆的定义、性质、直线与椭圆的位置关系．属难题．
 

19.【答案】解：当时，由得，，得，
当时，由得，，
两式相减得，，即，
数列各项均为正数，
，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列的通项公式为；
由知，，
，


，
令，则，
是单调递增函数，数列递增，
，又，
的取值范围为；
，
设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，，
因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，
设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，
则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以，
又为奇数，而，，则，均为偶数，矛盾，
又，
，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即的最大值为5，
设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，
由得，，此数列为1，2，3，4，
同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，
综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2， 

【解析】先求得，再根据，的关系可得，得出数列是以1为首项，2为公差的等差数列，由此求出通项公式；
运用裂项相消法可得，研究其函数性质，利用单调性即可求得取值范围；
由题意，偶数项只有两项，奇数项最多有3项，故设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由此得解．
本题考查数列的综合运用，涉及了利用递推关系求数列通项，等比数列的判断，裂项相消法的运用，同时还考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．
 

20.【答案】解：，
则
函数在上单调递增，
在上恒成立．
在上恒成立．
令，，，
由得，由得，
可得在上递减，在上递增，
，，
的取值范围是
，设切点，
则切线方程为，
直线是函数图象的一条切线，则点在切线上，

又，
令，，，
函数在上递增，在上递减，
，

要证：，
只要证，
即证，
令，，
可得，即，
令，，
则，
令，则，
在上递增，
在上递增，
即，
即，
故原不等式成立． 

【解析】本题考查了利用导数证明不等式，利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，体现了函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．
依题意在上恒成立，即在上恒成立．即求函数 的最小值即可．
设切点，则切线方程为，可得利用，的单调性解得
分析可得：要证，只要证令，，即证，利用，的单调性即可证明.