2023年辽宁省协作校高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年辽宁省协作校高考数学一模试卷

1.  已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  6名老师被安排到甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有(    )

A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 120种

4.  某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是(    )

A. 2 B. 4 C.  D.

5.  已知，则a，b，c大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，则下列说法错误的是(    )

A. 的周期为 B. 在上单调递增
C. 的对称中心为， D. 在上单调递减

7.  已知P为直线上一动点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线AB距离的最大值为(    )

A. 1 B.  C.  D. 2

8.  设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为(    )

A. e B. 1 C.  D.

9.  给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的(    )

A. 中位数为3 B. 方差为 C. 众数为3 D. 分位数为

10.  设正实数a，b满足，则(    )

A. 有最小值4 B. 有最大值
C. 有最大值 D. 有最小值

11.  如图，在棱长为1正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为BM与的交点，则下列说法正确的是(    )

A. 与垂直
B. EF是异面直线与的公垂线段
C. 异面直线与所成的角为
D. 异面直线与间的距离为

12.  已知数列满足，且，则下列说法正确的是(    )

A. 数列为递减数列 B.
C.  D.

13.  函数向左或向右平移个单位后，所得图像关于y轴对称，则m的最小值是______ .

14.  2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行.某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋、边锋及前腰三个位置，且出场率分别为，，，当该运动员担当中锋、边锋及前腰时，球队输球的概率依次为，，当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为______ .

15.  设点P在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是______ .

16.  已知椭圆是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于，则的取值范围是______ .

17.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
求A；
若，求的中线AM的最小值.

18.  如图，已知四棱锥，底面ABCD是平行四边形，且，，，P是线段AD的中点，
求证：平面BPE；
下列条件任选其一，求二面角的余弦值.
①AE与平面ABCD所成的角为；
②D到平面EPC的距离为
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.

19.  已知数列的前n项和为，数列满足，且
求数列的通项公式；
求数列的通项公式；
对于，试比较与的大小.

20.  秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量单位：杯如下：

请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，与哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型给出判断即可，不必说明理由；

建立y关于x的回归方程结果保留1位小数，并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？
若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.
参考公式和数据：其中，回归直线方程中，

21.  已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，且D为C上不与，重合的一点，直线、的斜率之积为
求双曲线C的方程；
平面一点且T不在C上，过T的两条直线分别交C的右支于A，B两点和P，Q两点，若A，B，Q，P四点在同一圆上，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.  已知函数为实数
当，时，若正实数，满足，证明：；
当时，设，若恒成立，求b的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：对于，解集为，
，
则
故选：
先求出集合A的元素，再按照交集的定义求解．
本题主要考查了集合运算，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：因为，
所以，
所以，，
所以
故选：
根据，分别求出，再根据复数的除法计算公式计算结果即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有种方法；
第二步，从剩下的5名老师中抽取2名去乙校，有种方法；
第三部，将剩余的3名老师给丙校，有种方法；
总共有种方法；
故选：
按照分步计数原理求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：作出截面图如图，

则，
由截面圆的周长为，得，则
球的半径是
故选：
由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径．
本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：因为，，，
又因为，且函数在上为增函数，故
故选：
利用换底公式结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系．
本主要考查对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：，
的最小正周期为，故A正确，
当时，，在上单调递增，故B正确，
由得，，
的对称中心为，故C正确，
当时，，在上单调递增，故D错误．
故选：
先化简得，再根据正切函数的图象和性质逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了正切函数的图象和性质，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：设，，，
因为抛物线C：，
所以抛物线C为，
所以，
所以，化简得，
又因为A在抛物线上，
所以，
所以，
所以，
同理可得，
所以直线AB的方程为，
所以原点到直线AB的距离，
，
当时，，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，
所以最大值为2，d的最大值为，
故选：
设，，，对抛物线的方程求导得，则，化简得，同理可得，进而可得直线AB的方程，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：对于，即，
因为是的反函数，
所以与关于对称，原问题等价于对一切恒成立，即，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，
所以k的最大值为
故选：
根据原函数与反函数关于对称构造函数，再根据所构造的函数的单调性求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了反函数的性质，属于中档题．
 

9.【答案】AB 

【解析】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
则这组数据的中位数为，故A正确；
数据中2，3，出现的次数最多，所以众数为2和3，故C错误；
平均数为：，
则方差为，故B正确；
第分位数是数据中至少有的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，
故选：
先将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列，再逐项判断．
本题主要考查了中位数，平均数和方差的计算，属于基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：因为正实数a，b满足，
所以，当且仅当且，即，时取等号，A正确；
，当且仅当且，即，时取等号，B错误；
令，，，
则为辅助角，，
根据正弦函数的性质可知的最大值为，C错误；
因为，当且仅当时取等号，
故，D正确．
故选：
由样子结合基本不等式及相关结论，正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式，三角函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：建系如图，则根据题意可得：
，，，，，
，，，，
，，，
设，
，
又，，
解得，，
，，同理可得，
对于A选项，，，，选项正确；
对于B选项，，，
，，，
是与的公垂线段，选项正确；
对于C选项，，，设与所成的角为，
，又，，选项错误；
对于D选项，由B知EF是与的公垂线段，
又，选项正确．
故选：
建立空间直角坐标系，运用空间向量，逐项分析计算，即可求解．
本题考查向量法证明线线垂直问题，向量法求解线线角问题，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：，，
数列的各项均为正值，
，，
，数列为递减数列，故选项A正确；
由选项A的分析可知：数列为递减数列，
又，所以，故选项B正确；
，两边同时取倒数可得：
，
，
，数列为递减数列，
又，，
当时，，即，
当时，，
即，⋯，，
累加可得：，
，，
，故选项C错误；
，，
，故选项D正确．
故选：
根据数列的递推公式和首项即可判断选项A和B；利用数列的单调性和累加法求出，进而判断选项C和
本题考查数列递推公式的应用，数列单调性的应用，化归转化思想，不等式思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：将函数向右平移个单位，
所得图像对应的解析式为，
其关于y轴对称，则，即，
此时m的最小正值是；
将函数向左平移个单位，
所得图像对应的解析式为，
其关于y轴对称，则，即，
此时m的最小正值是
综上所述，m的最小正值是
故答案为：
分别求解函数向左与向右平移个单位后函数的解析式，再根据正弦函数的对称性求解m的最小正值，将两种情况求出的值进行比较即可得到结果．
本题主要考查三角函数图像的平移变换，考查正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题
 

14.【答案】 

【解析】解：该运动员担当中锋，不输球的概率为，
该运动员担当边锋，不输球的概率为，
该运动员担当前腰，不输球的概率为，
所以该球队某场比赛不输球的概率为
故答案为：
根据事件的独立性以及概率乘法公式求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，可建系如图，
则，，，，，，
设，
则，
故，，
，
，又，，

故答案为：
根据对称性不妨取为x轴，求出各点坐标，设，利用平面向量的坐标运算求解．
本题考查坐标法的应用，向量数量积的坐标运算，函数思想，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，线段AB的中点为
若，即，则，满足题意；
若，即，则不满足题意，应舍去；
当时，有，作差得：，
因为，，所以，
因为，所以 ，
设线段AB的垂直平分线为l，则，得 l：，
令，得，又因为点在椭圆内部，则，则，
故
故答案为：
设，，线段AB的中点为，利用点差法可得，从而可得线段AB的垂直平分线l的方程，则，再由点在椭圆内部可求出结果．
本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为
所以，
由正弦定理可得，所以，因为，
则；
由题意，得，
则，
则，即的中线AM的最小值为当且仅当取最小值；
综上，AM的最小值为 

【解析】根据条件，运用正弦定理余弦定理求解；
运用向量数量积和基本不等式求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及向量数量积的性质的应用，属于中档题．
 

18.【答案】证明：因为，且，故，
在中，，
由余弦定理可得：，
解得，在中，，
所以，即，
又因为，，平面BPE，平面BPE，
所以平面BPE；
解：选①，取BP中点为O，连接EO，AO，如图所示：

因为，故，由得平面BPE，
因为平面BPE，所以，
因为，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，所以为AE与平面ABCD所成的角，
即，因为，，
所以为等边三角形，且边长为1，所以，，
由可得，
因为，，
所以，所以为等边三角形，
以O为原点，为在x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系：
则，
，
设是平面EPC的法向量，
则，即，
取，可得平面EPC的法向量，
设为平面EBC的法向量，
则，即，
取，可得平面EBC的法向量，
设二面角所成的角为，则，
所以二面角的余弦值为
选②，取BP中点为O，连接EO，AO，如图所示：

因为，故，由得平面BPE，
因为平面BPE，所以，
因为，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，
设D到平面EPC的距离为，
因为，，所以等边三角形，
所以，，设，则，
因为，所以，
因为，O为BP中点，所以，
所以，由，，，平面EBP，平面EBP，所以平面EBP，
因为平面EBP，所以，即，
所以，因为，
即，
即，
解得，即，所以，所以为等边三角形，
以O为原点，为在x，y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系：

所以，，
设是平面EPC的法向量，
则，
取，可得平面EPC的法向量，
设为平面EBC的法向量，
则，
取，可得平面EBC的法向量，
设所成的角为，则，
所以二面角的余弦值为 

【解析】根据平行四边形中的几何关系可得再根据勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明结果；
选①，取BP中点为O，连接EO，AO，根据几何关系可得，，根据可得，根据线面垂直的判定定理可得平面ABCD，则AE与平面ABCD所成的角为，由此计算出EO，进而计算得BE，可得为等边三角形；
选②，取BP中点为O，连接EO，AO，计算长度及，，根据等体积法可求得EO，即可得为等边三角形，建立合适的空间直角坐标系，求得各个点的坐标，进而求得平面EPC的法向量及平面EBC的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值绝对值即可求得结果．
本题主要考查直线与平面垂直的证明，二面角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：已知数列的前n项和为，
则当时，，
又满足上式，
即；
已知数列满足，且，
则，
即，
又，
即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
即，
即；
时，，，
即，
当时，，，
即，
当时，
，
，
综上可知：对于， 

【解析】由已知可得当时，，然后验证时满足上式即可；
由题意可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，然后求解即可；
当时，，，即，当时，，，即，当时，结合二项式定理求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了二项式定理的应用，属中档题．
 

20.【答案】解：散点图如下：

根据散点图，知更适宜作为y关于x的回归方程模型；
令，则，
由已知数据得，，
所以，
故y关于x的回归方程为，
进而由题意知，令，整理得，即，
故当时，即到第9天才能超过35杯；
由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量X的可能取值为0，1，2，，，，，
则随机变量X的分布列为

【解析】根据散点图趋势即可判断；
利用非线性回归方程转化为线性回归方程的方法求解；
根据超几何分布求分布列．
本题主要考查了根据实际问题选择函数模型，考查了线性回归方程的计算，以及离散型随机变量的分布列，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意，，，设，
则，所以①，
因为直线、的斜率之积为3，
所以，
将式①代入化简得：②，
又双曲线C的右焦点为，
所以，结合式②解得：，
双曲线C的方程为
因为A，B，Q，P四点共圆，所以，，且，
所以有
设直线AB的方程为，，，设，
将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，，
由已知得，且，
由韦达定理有，，
又由，，可得，
同理可得，得，
设直线PQ的方程为，，，设，
同理可得，
由已知得，
又，
则，化简可得，
又，则，即，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为 

【解析】根据题意，由直线、的斜率之积为3列出方程，然后由以及双曲线a，b，c的关系，即可得到结果；
由A，B，Q，P四点共圆，可得，然后将直线与双曲线方程联立，结合韦达定理分别表示出与即可得到结果．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】证明：由题意，，定义域为，
则恒成立，
所以在上为增函数，且，故，
若，都大于1，则，不合题意，同理，都小于1也不满足，
设，欲证，即证，即证，即证，即证，
构造函数，
所以，，，
所以在区间上单调递增，
所以，则原不等式得证；
解：由，令，则，故，
下面证明：时符合题意，
当时，，
以下证明：，
构造函数，
则
令，则，
令，可得；令，可得，
于是在上递减，在上递增，于是，
所以，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，故，
综上，实数b的取值范围 

【解析】由题设可得，讨论，与1的大小关系，并应用分析法将问题化为证，构造，利用导数研究单调性判断，4大小关系，即可证结论；
令得，再构造并利用导数证明在上恒成立，即可确定范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了构造函数的数学思想，属于中档题．