2023年中考数学常见几何模型全归纳 专题08 角平分线的基本模型（二）非全等类

中考经典几何模型与最值问题

每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。

今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有16讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。

经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。

经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。

经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。

经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）

【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD，CD是角平分线.

结论：                    

1．（2022·广东·九年级专题练习）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（     ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．

(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；

(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．

3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　 　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 °．

4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题

(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝　　；如图2，∠O＝　　；如图3，∠O＝　　；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A(3)如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．

模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线））]）

【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

【模型图示】已知如图1，为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.

如图1    如图2

已知如图2，OC平分，点D是OA上一点，过点D作DE//OC交OB的反向延长线于点E，则OD=OE.

注意：平行线、角平分线、等腰△知二推一即：

①AD∥BC+AC是∠BAD的角平分线△ABC是等腰三角形；

②AD∥BC+△ABC是等腰三角形AC是∠BAD的角平分线；

③AC是∠BAD的角平分线+△ABC是等腰三角形AD∥BC。

常见模型：

1．（2022·安徽·二模）如图，在中，与的平分线BD，CD交于点D，过点D作，分别交AB，AC于点E，F．若，，，则AE的长为（    ）

A．2.5 B．4.5 C．3.75 D．6.75

2．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有___．（填正确的序号）

4．（2022·沈阳市九年级专项训练）已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF

4．（2022·河南南阳·三模）阅读理解：如图（1），△ABC中，以B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y再分别以点X，Y为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD与AC交干点E，过点E作交AB于．

观察思考：依据上述操作可，①∠ABE与∠CBE的大小关系为_________；②BF与EF的数关系为________．

拓展延伸：如图（2）在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线交于点D，过D作分别交AC，AB于点E，F，请判断EF与BF，CE之间的数量关系，并说明理由．

问题解决：如图（3），在中，，，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点A落在直线DC上方的处，当△DC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度．

模型3.面积模型

【模型解读与图示】

已知条件：、、分别是∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线

辅助线：过点G作GD⊥BC、GE⊥AC、FG⊥AB（求面积需要高，作垂直得到高）

结论：

1．（2022·内蒙古·九年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（   ）

A．：：    B．：：     C．：：    D．：：

2．（2022·安徽滁州·二模）如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为______．

3．（2022·湖北武汉·九年级期中）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等．若一个多边形的每个内角角平分线都交于一点，点叫做该多边形的内心，点到其中一边的距离叫做．

问题解决：如图1，在面积为的中，，，，内心到边的距离为，试说明．

类比推理：如图2，存在内心的四边形面积为，周长为，用含有与的式子表示内心到边的距离________；

理解应用：如图3，在四边形中，，，，，对角线，点与分别为与的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为和，求的值．

模型4.角平分线定理模型（角平分线分线段成比例（二级结论））

【模型解读与图示】

条件：已知如图，AD是∠BAC的角平分线，

证明思路：过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,再利用等面积的思路，证得：

简证：，∵ ∴  ∴

1．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________

2．（2022·北京东城·九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．

已知：如图，△ABC中， AD是角平分线．

求证：．

证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．

∴． ①

AD是角平分线，

∴ ．

．

． ②

又，

． ③

．

（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；

（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．

3．（2022·江西赣州·九年级期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”．

(1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”．

①若，则∠D的度数是_________；

②若，且，则_______．

(2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明．

(3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分．

①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”；

②如图（4），设，连接，当，且时，求的值．

4．（2022·广西·九年级专题练习）问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．

(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；

(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．

①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；

②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．

课后专项训练

1．（2022·广东·佛山市南海区石门实验学校三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（    ）

A．10 B．12 C．9 D．6

2．（2022·山东枣庄·二模）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ）

A．18 B．30 C．24 D．27

3．（2022·福建·模拟预测）如图，△ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，若∠BAC＝80°，则∠CPB＝___°．

4．（2022·山东济宁·二模）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则________．

5．（2022·苏州九年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．

6.（2020·山东九年级期中）如图、∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________；

7．（2021·福建中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．

8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A=70°， BD、CE为角平分线，则∠BOC=______°

9．（2021·湖北荆门市·八年级期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列结论：①：②点到各边的距离相等；③：④；⑤设，，则；其中正确的结论是______．

10．（2022·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．

三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．

已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．

求证：．

证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．

∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．

∵AD是角平分线，

∴∠1＝∠2．

∴∠3＝∠E．

∴AC＝AE．

又∵CE∥DA，

∴．……①

∴．

(1)上述证明过程中，步骤①处的理由是_____

(2)用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB＝7cm，AC＝4cm，BC＝6cm，则BD的长为_____cm．

11．（2022湖北中考模拟）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．

12．（2022·云南昆明八年级期末）（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系．（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）

13．（2022·江阴市学九年级月考）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．（1）如图①，当AB=AC时图中有      个等腰三角形．（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．

14．（2022·江西·九年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确?若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．