2023年河南省开封市尉氏县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省开封市尉氏县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年，全国居民人均可支配收入元，比年名义增长，扣除价格因素，实际增长其中数据“”用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  运算结果为的式子是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知点在直线上，于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  关于菱形，下列说法错误的是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分

7.  下列调查中，适合采用抽样调查的是(    )

A. 了解全班名同学书面作业的完成时间 B. 中央电视台春节联欢晚会的收视率
C. 检测神舟十五载人飞船的零部件 D. 全国人口普查

8.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定

9.  如图，已知矩形，对角线与相交于点，，，是边上一动点，当取最小值时，的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，中，，点从点出发，沿匀速向点运动，同时，点从点出发，沿折线以倍于点的速度向点运动，两点同时到达终点设点与点的距离为，的面积为，关于的函数图象如图所示则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是        ．

12.  请你写出一个经过点的函数解析式        ．

13.  如图所示的两个转盘分别被均匀地分成个和个扇形，每个扇形上都标有数字，把左转盘的数字作为十位数字，把右转盘的数字作为个位数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后指针落在边界处重新转动转盘直至不落在边界为止，指针落点所构成的两位数为的倍数的概率是        ．

14.  如图，在边长为的正方形网格中，，，均在格点上，将绕点顺时针旋转，得到，则阴影部分的面积为        ．

15.  如图，两个完全相同的三角尺和重合放置，将三角尺沿平移，点落在的中点处；如图，在图的基础上将三角尺绕点在平面内旋转，若，，，当点恰好落在三角尺的边上时，的长为        ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

17.  本小题分
年月日，党的“二十大”在北京顺利召开，为贯彻“二十大”精神，某中学开展了“重温党史，不忘初心”系列活动，并根据七、八、九年级历史课教学情况，针对七、八、九年级学生开展了“重温党历程，回顾建党史”知识竞赛，校团委在七、八、九年级学生中各随机抽取名学生的成绩满分分进行统计，统计情况如下：
数据收集：

数据整理：

数据分析：

根据以上过程，请回答：
       ，        ，        ；
该校七、八、九年级各有名学生参加竞赛，若分以上成绩为优秀，请估计该校竞赛成绩达到优秀的人数；
请你根据以上信息，推断你认为成绩好的年级，并说明理由至少从两个角度说明

18.  本小题分
如图，四边形内接于，对角线，交于点，过点作的切线，若，，．
求证：；
求的长．

19.  本小题分
开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是园内重要的文物，也是主要的景点，始建于公元年北宋皇祐元年，是年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称某数学兴趣小组计划测量铁塔的高度，由于铁塔底部不可到达，他们决定用无人机测量，如图，无人机在距地面米的空中水平飞行，当飞行到点时测得塔尖的俯角为，无人机飞过铁塔到点时，测得塔尖的俯角为，已知的距离为米，求开封铁塔的高度结果精确到米参考数据：，，
 

20.  本小题分
如图，双曲线与直线交于，，直线交轴于点，交轴于点．
求双曲线与直线的解析式；
直接写出不等式的解集；
请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线保留作图痕迹，不写作法，交直线于点，交双曲线于点求出线段的长．

21.  本小题分
部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电器和快充充电器在网上销售，已知该电商销售个慢充充电器和个快充充电器的利润为元；销售个慢充充电器和个快充充电器的利润为元．
求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润；
该电商购进两种型号的充电器共个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的倍，设购进慢充充电器个，这个充电器的销售总利润为元．
求关于的函数关系式；
该电商购进两种充电器各多少个，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，，直线经过点．
求直线的解析式；
若抛物线经过，两点，求抛物线的解析式；
若抛物线的顶点在直线上移动，当抛物线与线段有个公共点时，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片折叠，点与点重合，点与点重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点，沿将折叠，得到，点的对应点为点．
问题提出：
若点落在上，，连接．
是        三角形；
若是等边三角形，则的长为        ．
深入探究：
在的条件下，当时，判断的形状并证明；
拓展延伸；
若，，其他条件不变，当点落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是：

故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、与不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：．
根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，及合并同类项对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查了同底数幂的乘法与除法，幂的乘方和合并同类项，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键，指数为负数时运算性质同样适用．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
根据邻补角的定义可得，由垂直的定义可得，，再由，计算即可得出答案．
本题主要考查了角的计算，熟练掌握角的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：．
由菱形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、了解全班名同学书面作业的完成时间，适合采用全面调查，不符合题意；
B、中央电视台春节联欢晚会的收视率，适合采用抽样调查，符合题意；
C、检测神舟十五载人飞船的零部件，适合采用全面调查，不符合题意；
D、全国人口普查，适合采用全面调查，不符合题意；
故选：．
普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接，则．
，
当、、三点在同一直线上时，最小，最小为．
过作于．
，，
，，，
，
∽，
，
，
．
故选：．
作点关于的对称点，连接，则，，当、、三点在同一直线上时，最小，最小为过作于由∽，得出，即可求出．
本题考查了轴对称线段最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点，推出当、、三点在同一直线上时，最小，最小为解题本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，则，
则，
当点在上运动时，
过点作于点，

则，
当时，取得最大值为；
当点在上运动时，
同理可得：，
该函数的对称轴为，
当时，取得最大值为，
综上，点的坐标为；
故选：．
由勾股定理得求出，则，当点在上运动时，得到，求出函数最大值；当点在上运动时，同理求解即可．
本题是动点函数图象题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，分类求解是本题解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：要使代数式有意义，必须
且，
解得：且，
所以实数的取值范围是且．
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出和是解此题的关键，式子中．
 

12.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：设反比例函数的解析式为，因为经过，
，
反比例函数的解析式为．
故经过点的函数解析式为，答案不唯一．
根据点的坐标，用待定系数法求出函数的解析式．
本题是开放性试题，考查了待定系数法求反比例函数或一次函数的解析式．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，所构成的两位数分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中所构成的两位数为的倍数的有：，，，，，，共种，
所构成的两位数为的倍数的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和所构成的两位数为的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理得到：，
．
故答案是：．
根据进行计算．
本题考查了扇形面积的计算和旋转的性质．解题时，利用了“分割法”求得阴影部分的面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，当点落在上时，

，，，
和都是等腰直角三角形，
，
点是的中点，
，
；
当点落在上时，连接，

，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可得，利用勾股定理和平行四边形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】先计算乘方、负整数指数幂和立方根，再计算减法即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：，
，
九年级数据重新排列为：、、、、、、、、、，
所以其中位数，
故答案为：，，；
人，
答：估计该校竞赛成绩达到优秀的有人；
八年级成绩最好，
从平均数看，八九年级成绩的平均数大于七年级，而八年级成绩的中位数高于七、九年级，
所以八年级成绩的平均水平和高分人数多于其他年级，
所以八年级成绩最好．
根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
总人数分别成绩七、八、九年级优秀人数所占比例，再求和即可得出答案；
根据平均数和中位数的意义求解即可．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握根据频数分布直方图得出解题所需数据及利用样本估计总体的能力．
 

18.【答案】证明：连接，
切于，
半径，
，
，
，
；
，，
，
，
∽，
：：，
，
：：，
． 

【解析】由切线的性质得到半径，而，得到，由垂径定理推出，即可证明问题；
由圆周角定理推出∽，得到：：，即可求出的长．
本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

19.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，
设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
米，
开封铁塔的高度约为米． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：双曲线与直线交于，
，
双曲线的解析式为；
把代入得，
，
，
双曲线与直线交于，，
，
解得，
直线的解析式为；
双曲线与直线交于，，
不等式的解集为或；
如图，设直线与轴交于，

在中，令，则，
，
垂直平分，
，轴，
，
把代入得，把代入得，
线段的长为． 

【解析】解方程和方程组即可得到结论；
根据函数的图象即可得到结论；
如图，设直线与轴交于，解方程得到，根据线段垂直平分线的性质得到，轴，求得，把代入得，把代入得，于是得到结论．
本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质，不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每个慢充充电器销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，
根据题意得：，
解得，
答：每个慢充充电器销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元；
设购进慢充充电器个，则购进快充充电器个，
根据题意得：，
关于的函数关系式为；
快充充电器的进货量不超过慢充充电器的倍，
，
解得，
又且为正整数，
为正整数，
在中，，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为元，
此时个，
当购买个慢充充电器和个快充充电器时，才能使销售总利润最大，最大利润是元． 

【解析】设每个慢充充电器销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，根据销售个慢充充电器和个快充充电器的利润为元；销售个慢充充电器和个快充充电器的利润为元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
根据总的销售利润销售慢充和快充两种充电器利润之和列出函数解析式；
根据快充充电器的进货量不超过慢充充电器的倍，求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式．
 

22.【答案】解：将代入得，
解得，
直线解析式为．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，即，
将代入得，
解得，
抛物线的解析式为．
抛物线的定点坐标为，且点在直线上，
，
，
抛物线顶点在直线上，点在直线上，
抛物线顶点与点重合时符合题意，
，
时，抛物线沿着直线向右移动，
将代入得，
解得舍或，
时，抛物线再次经过点，

时符合题意．
当抛物线经过点时，，
解得或，

符合题意．
总是所述，或． 

【解析】将点坐标代入直线解析式求解．
将点，坐标代入抛物线解析式求解．
求出抛物线经过点，时的值，结合图象求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
 

23.【答案】等腰   

【解析】解：如图，将矩形纸片沿折叠，点与点重合，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
由折叠得，
若是等边三角形，则，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
是等腰直角三角形，
证明：如图，由得，
，
，

，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形．
如图，连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，
，，，
，
，
点在上运动，
连接、、，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
当点落在矩形内部包括边时，则，，，
，
，
的取值范围是．
由折叠可知垂直平分，则，所以是等腰三角形，于是得到问题的答案；
当是等边三角形时，则，于是得到问题的答案；
因为，所以，而，则，所以，则是等腰直角三角形；
连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，则点在上运动，可求得，，，由，，，得，即可求得的取值范围是．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．