2023年中考数学专题复习课件：面积问题

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例　已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.(1)如图①，若P是x轴上方抛物线上一点，当S△ABP＝2时，求点P的坐标；
【思维教练】由点A，B的坐标可得线段AB的长，设出点P的坐标，根据三角形的面积公式列方程求解即可．
(2)如图②，连接AC，BC，M是抛物线上的一个动点(异于点A，B，C)，当△AMC的面积与△ABC的面积相等时，求出点M的坐标；
【思维教练】由△AMC与△ABC有公共底边AC，结合图象可知点M不可能在直线AC上方，则点M在直线AC下方，可通过平移直线AC，使其经过点B，利用同底等高的三角形面积相等求解．
(2)易知点M在直线AC的下方，∵S△AMC＝S△ABC，∴点M为平行于直线AC且过点B的直线与抛物线的交点，∵A(－3，0)，C(0，3)，∴直线AC的解析式为y＝x＋3，设直线BM的解析式为y＝x＋3＋b， 将点B(1，0)代入得b＝－4，∴直线BM的解析式为y＝x－1，令－x2－2x＋3＝x－1，解得x1＝1(舍去)，x2＝－4，当x＝－4时，y＝x－1＝－5，∴点M的坐标为(－4，－5)；
(3)如图③，若D为抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，连接CE，BC，在抛物线上存在一点Q，使得S△AQE＝2S△CBE，请求出点Q的坐标；
【思维教练】可将面积问题转化为线段的倍数关系，再根据线段关系列等式求解即可．
(3)如解图，由题意得AE＝BE，CO＝3，设点Q的纵坐标为y，∵S△AQE＝2S△CBE，∴ ×2|y|＝2× ×2×3，∴|y|＝6，当y＝6时，－x2－2x＋3＝6，∵b2－4ac<0，∴方程无实数根；当y＝－6时，－x2－2x＋3＝－6，解得x1＝－1＋ ，x2＝－1－ ，∴点Q的坐标为(－1＋ ，－6)或(－1－ ，－6)；
(4)如图④，N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′，若△ABC的面积被直线NN′分成1∶2的两部分，求点N的坐标．
由(2)知直线AC的解析式y＝x＋3，设N(n，n＋3)(－3＜n＜0)，①当S△ANN′＝ S△ABC＝2时，即S△ANN′＝ (n＋3)(n＋3)＝2，解得n1＝－1，n2＝－5(舍去)，∴N(－1，2)；②当S△ANN′＝ S△ABC＝4时，即S△ANN′＝ (n＋3)(n＋3)＝4，解得n1＝2 －3，n2＝－2 －3(舍去)，∴N(2 －3，2 ).综上所述，点N的坐标为(－1，2)或(2 －3，2 ).
1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
则平移后函数表达式为y＝ x＋2＋m与y轴交于点F，当函数y＝ x＋2＋m与抛物线只有一个交点时， D到直线AC的距离最大，联立 ，得 x2＋x＋m＝0，∴Δ＝1－4× m＝0，得m＝1，∴D(－2，2)，CF＝1，如解图①，过点F作FE⊥AC于点E，
∵sin ∠FCE＝sin ∠ACO＝ ，∴ ， ∴EF＝ ，即点D到直线A距离的最大值为 ， 此时点D坐标为(－2，2)；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1∶5两部分，求点P的坐标．
同理S△BCP＝ BQ·(yC－yP)∴ .当点P在对称轴右边抛物线上时，如解图②， ＝5，∴ ，解得n＝6，∴P(6，－10)；
当点P在对称轴左边抛物线上时，如解图③， ，∴ ，解得n＝－ ，∴P(－ ，－ ).综上所述，点P的坐标为(6，－10)或(－ ，－ ).
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)，B(1，4)两点. P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点 P的坐标；
过点B作BE⊥PM，垂足为点E，
∴S△PAB＝S△PNB＋S△PNA＝ PN·BE＋ PN·AM＝ PN·(BE＋AM)＝ PN. ∵A(4，0)，B(1，4)，∴S△OAB＝ ×4×4＝8.∵△OAB的面积是△PAB面积的2倍，∴2× PN＝8，解得PN＝ .
设P(m，－ m2＋ m)(1(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交 AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为 S1，S2，S3. 判断 是否存在最大值. 若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
∵ ， ，∴ . 如图，延长AB交y轴于点F，
∵∠PDC＝∠OBC，∴∠PDG＝∠OBF，