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2023年中考数学专题复习课件： 动点问题
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这是一份2023年中考数学专题复习课件： 动点问题，共33页。PPT课件主要包含了典例精析，例题解图③，针对训练等内容，欢迎下载使用。
例 如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上的动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，OP＝ AB.(1)判断△ABP的形状，并说明理由；
【思维教练】要判断△APB的形状，观察图形，找到线段等量关系，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断．
(1)解：△ABP是直角三角形，理由如下：∵点O是AB的中点，∴AO＝OB＝ AB，∵OP＝ AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，∵∠OAP＋∠APO＋∠OBP＋∠BPO＝180°，∴∠APO＋∠BPO＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；
(2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；
【思维教练】要证PN＝AN，先根据点M和点O分别是边上的中点，可得特殊四边形MAOC，根据平行得到角的关系，证明两次对称型全等三角形，根据全等三角形的性质即可证得．
(2)证明：如图，连接ON，连接OC交PB于点E.
∵四边形ABCD为矩形，点M为DC的中点，点O为AB中点，∴MC∥OA且MC＝OA，∴四边形MAOC为平行四边形，
∴OC∥AM，∴∠CEP＝∠APB＝90°，∴OC⊥PB.∵OP＝OB，∴点E为PB的中点．∴CP＝BC.∴△OPC≌△OBC(SSS)，∴∠CPO＝∠CBO＝90°，∴∠OPN＝∠OAN＝90°.又∵OP＝OA，ON＝ON，∴△OPN≌△OAN(HL)，∴PN＝AN；
(3)点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝ ，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．
【思维教练】点M是射线DC上的动点，点P在线段AM上，故当∠CPQ＝90°时，可分两种情况讨论：①点M在CD上，②点M在DC延长线上，根据三角形相似及锐角三角函数，求角平线段长即可，作图如下：
根据题意，分两种情况：①如图，当点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于点G， 交BC于点H，
∵PG·PH＝AG2，∴( x－ x)·(5－ x＋ x)＝( － )2，解得x1＝12(舍去)，x2＝ ，∴DM＝ ；
1. 如图，在正方形ABCD中，点E，G分别是边AD，BC的中点，AF＝ AB.(1)求证：EF⊥AG；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠EAF＝∠ABG＝90°，∵点E，G分别是AD，BC的中点，AF＝ AB，∴ ， ，∴ ，∵EAF＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF＝∠BAG，又∵∠BAG＋∠EAG＝90°，∴∠AEF＋∠EAG＝90°，∴∠EOA＝90°，∴EF⊥AG；
(2)若点F，G分别在射线AB，BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立(只写结果，不需说明理由)?
【答案】解：EF⊥AG成立；
(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB时，求△PAB周长的最小值．
(3)解：如图，过点O作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N.
∵S△PAB＝S△OAB，∴点P在线段MN上(不含端点)，作点A关于MN的对称点A′， 连接BA′交MN于点P，连接AP，
此时PA＋PB＝PA′＋PB＝BA′最小，即△PAB的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，∴AE＝ AD＝2，AF＝ AB＝1，∴EF＝ ， ∵S△AEF＝ ×AE×AF＝ ×EF×OA，∴OA＝ ， ∵∠AOE＝∠AMO＝90°，∠EAO＝∠OAM，∴△AMO∽△AOE， ∴ ，
∴AM＝ ，∴A′A＝2AM＝ ，∴BA′＝ ，∴△PAB周长的最小值为AB＋A′B＝ ＋4.
2. 如图，在菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2 cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1 cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间t(单位：s)，且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连接EF.(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(1)证明：∵FG⊥BC，DH⊥BC，∴FG∥EH，由题意知BF＝2t，HE＝t，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°，∴FG＝ BF＝t，∴FG＝HE，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵∠FGH＝90°，∴四边形EFGH是矩形；
(2)连接FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
∵BC＝CD，∴分△BFC≌△CED和△BFC≌△DEC两种情况，①当△BFC≌△CED时，BF＝CE，∠DCE＝∠CBF＝30°，∴∠ECH＝30°，∴CE＝ ＝2，∵BF＝2t，∴2t＝2，解得t＝1；②当△BFC≌△DEC时，BF＝DE，∵BF＝2t，DE＝DH－EH＝3－t，∴2t＝3－t，解得t＝1.综上所述，△BFC与△DCE能够全等，此时t的值为1.
3. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON.(1)求证：AM＝BN；
(1)证明：∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB＋∠MBA＝90°.又∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠MBA＋∠NBC＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC(AAS)，∴AM＝BN；
(2)请判定△OMN的形状，并说明理由；
(2)解：△OMN是等腰直角三角形．理由如下：如图，连接OB.
∵点O为正方形ABCD的中心，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，OA＝OB.由(1)知△AMB≌△BNC，∴∠MAB＝∠NBC，∴∠MAB－∠OAB＝∠NBC－∠OBC，即∠MAO＝∠NBO.
∵OA＝OB，AM＝BN，∴△AMO≌△BNO(SAS)，∴OM＝ON，∠AOM＝∠BON.∵∠AOB＝∠AON＋∠BON＝90°，∴∠MON＝∠AON＋∠AOM＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形；
∵S△OMN＝ OM·ON，且△OMN为等腰直角三角形，∴S△OMN＝ MN2＝ .即y＝ (0＜x＜1).当点K在线段AD上时，，解得x1＝3(舍去)，x2＝ ；当点K在线段AD的延长线上时， 同理可求得y＝ (x＞1)，
∴ ，解得x1＝3，x2＝ (舍去)，综上所述，当AK的值为3或 时，△OMN的面积为 .
4. 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG.(1)求证：CD⊥CG；
(1)证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝∠A＝90°.∴∠ADC－∠EDC＝∠EDG－∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG＝∠A＝90°，∴CD⊥CG；
(2)若tan ∠MEN＝ ，求 的值；
(2)解：∵CD⊥CG，DC⊥BC，∴G，C，M三点共线．∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE＝EF， ∠EDM＝∠NFM＝∠GDM＝45°.∵DM＝DM，∴△EDM≌△GDM(SAS)，∴∠DME＝∠DMG.
∵∠DMG＝∠NMF，∴∠DME＝∠NMF，∵∠EDM＝∠NFM＝45°， ∴△FMN∽△DME，∴ .∵DE∥HF， ∴△MHF∽△MED，∴ ，又∵ED＝EF，∴ .在Rt△EFH中，tan ∠MEN＝ ，∴ ；
(3)已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ？请说明理由．
例 如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上的动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，OP＝ AB.(1)判断△ABP的形状，并说明理由；
【思维教练】要判断△APB的形状，观察图形，找到线段等量关系，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断．
(1)解：△ABP是直角三角形，理由如下：∵点O是AB的中点，∴AO＝OB＝ AB，∵OP＝ AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，∵∠OAP＋∠APO＋∠OBP＋∠BPO＝180°，∴∠APO＋∠BPO＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；
(2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；
【思维教练】要证PN＝AN，先根据点M和点O分别是边上的中点，可得特殊四边形MAOC，根据平行得到角的关系，证明两次对称型全等三角形，根据全等三角形的性质即可证得．
(2)证明：如图，连接ON，连接OC交PB于点E.
∵四边形ABCD为矩形，点M为DC的中点，点O为AB中点，∴MC∥OA且MC＝OA，∴四边形MAOC为平行四边形，
∴OC∥AM，∴∠CEP＝∠APB＝90°，∴OC⊥PB.∵OP＝OB，∴点E为PB的中点．∴CP＝BC.∴△OPC≌△OBC(SSS)，∴∠CPO＝∠CBO＝90°，∴∠OPN＝∠OAN＝90°.又∵OP＝OA，ON＝ON，∴△OPN≌△OAN(HL)，∴PN＝AN；
(3)点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝ ，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．
【思维教练】点M是射线DC上的动点，点P在线段AM上，故当∠CPQ＝90°时，可分两种情况讨论：①点M在CD上，②点M在DC延长线上，根据三角形相似及锐角三角函数，求角平线段长即可，作图如下：
根据题意，分两种情况：①如图，当点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于点G， 交BC于点H，
∵PG·PH＝AG2，∴( x－ x)·(5－ x＋ x)＝( － )2，解得x1＝12(舍去)，x2＝ ，∴DM＝ ；
1. 如图，在正方形ABCD中，点E，G分别是边AD，BC的中点，AF＝ AB.(1)求证：EF⊥AG；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠EAF＝∠ABG＝90°，∵点E，G分别是AD，BC的中点，AF＝ AB，∴ ， ，∴ ，∵EAF＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF＝∠BAG，又∵∠BAG＋∠EAG＝90°，∴∠AEF＋∠EAG＝90°，∴∠EOA＝90°，∴EF⊥AG；
(2)若点F，G分别在射线AB，BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立(只写结果，不需说明理由)?
【答案】解：EF⊥AG成立；
(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB时，求△PAB周长的最小值．
(3)解：如图，过点O作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N.
∵S△PAB＝S△OAB，∴点P在线段MN上(不含端点)，作点A关于MN的对称点A′， 连接BA′交MN于点P，连接AP，
此时PA＋PB＝PA′＋PB＝BA′最小，即△PAB的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，∴AE＝ AD＝2，AF＝ AB＝1，∴EF＝ ， ∵S△AEF＝ ×AE×AF＝ ×EF×OA，∴OA＝ ， ∵∠AOE＝∠AMO＝90°，∠EAO＝∠OAM，∴△AMO∽△AOE， ∴ ，
∴AM＝ ，∴A′A＝2AM＝ ，∴BA′＝ ，∴△PAB周长的最小值为AB＋A′B＝ ＋4.
2. 如图，在菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2 cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1 cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间t(单位：s)，且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连接EF.(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(1)证明：∵FG⊥BC，DH⊥BC，∴FG∥EH，由题意知BF＝2t，HE＝t，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°，∴FG＝ BF＝t，∴FG＝HE，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵∠FGH＝90°，∴四边形EFGH是矩形；
(2)连接FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
∵BC＝CD，∴分△BFC≌△CED和△BFC≌△DEC两种情况，①当△BFC≌△CED时，BF＝CE，∠DCE＝∠CBF＝30°，∴∠ECH＝30°，∴CE＝ ＝2，∵BF＝2t，∴2t＝2，解得t＝1；②当△BFC≌△DEC时，BF＝DE，∵BF＝2t，DE＝DH－EH＝3－t，∴2t＝3－t，解得t＝1.综上所述，△BFC与△DCE能够全等，此时t的值为1.
3. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON.(1)求证：AM＝BN；
(1)证明：∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB＋∠MBA＝90°.又∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠MBA＋∠NBC＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC(AAS)，∴AM＝BN；
(2)请判定△OMN的形状，并说明理由；
(2)解：△OMN是等腰直角三角形．理由如下：如图，连接OB.
∵点O为正方形ABCD的中心，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，OA＝OB.由(1)知△AMB≌△BNC，∴∠MAB＝∠NBC，∴∠MAB－∠OAB＝∠NBC－∠OBC，即∠MAO＝∠NBO.
∵OA＝OB，AM＝BN，∴△AMO≌△BNO(SAS)，∴OM＝ON，∠AOM＝∠BON.∵∠AOB＝∠AON＋∠BON＝90°，∴∠MON＝∠AON＋∠AOM＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形；
∵S△OMN＝ OM·ON，且△OMN为等腰直角三角形，∴S△OMN＝ MN2＝ .即y＝ (0＜x＜1).当点K在线段AD上时，，解得x1＝3(舍去)，x2＝ ；当点K在线段AD的延长线上时， 同理可求得y＝ (x＞1)，
∴ ，解得x1＝3，x2＝ (舍去)，综上所述，当AK的值为3或 时，△OMN的面积为 .
4. 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG.(1)求证：CD⊥CG；
(1)证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝∠A＝90°.∴∠ADC－∠EDC＝∠EDG－∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG＝∠A＝90°，∴CD⊥CG；
(2)若tan ∠MEN＝ ，求 的值；
(2)解：∵CD⊥CG，DC⊥BC，∴G，C，M三点共线．∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE＝EF， ∠EDM＝∠NFM＝∠GDM＝45°.∵DM＝DM，∴△EDM≌△GDM(SAS)，∴∠DME＝∠DMG.
∵∠DMG＝∠NMF，∴∠DME＝∠NMF，∵∠EDM＝∠NFM＝45°， ∴△FMN∽△DME，∴ .∵DE∥HF， ∴△MHF∽△MED，∴ ，又∵ED＝EF，∴ .在Rt△EFH中，tan ∠MEN＝ ，∴ ；
(3)已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ？请说明理由．
