2023年山东省济宁市济宁学院附属中学九年级二模数学试题（含答案）

这是一份2023年山东省济宁市济宁学院附属中学九年级二模数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济宁市济宁学院附属中学2022-2023学年度第二学期第二次模拟考试
初四数学试题
命题人：李晓华 审核人：楚灯阔


第I卷（选择题共30分）

一、单选题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．﹣13
2．我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据2.32亿用科学记数法表示为（    ）
A． B．2.32×109 C． D．
3．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（    ）

A．42° B．48° C．52° D．60°
4．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（    ）
A．34 B．35 C．36 D．40
6．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（  ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，乙的速度是甲的1.2倍，结果甲比乙早到20分钟．设甲的速度为x千米/时．根据题意，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（    ）

A．4 B．2 C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（    ）

A． B． C． D．
10．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ）

A． B． C． D．
2022-2023学年度第二学期一模第二次模拟考试附中
初四数学试题
命题人：李晓华 审核人：楚灯阔
第II卷（非选择题共70分）
二、填空题（每小题3分，共15分。只要求填写最后结果）
11．分解因式:m2+3m________.
12．一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．
13．若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
14．如图①是山东舰徽的构图，采用航母度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为的圆锥侧面展开图(如图②)，则该圆锥的母线长为 .


15．如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y= 6x （x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为10时，的值为__________．


三、解答题
16．（4分）计算：- 12+（2－2）0－4cos60°－3-8；       ．
17．（7分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2     
5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2   
4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1     
4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级
视力（x）
频数
频率


4
0.1


12
0.3










10
0.25
合计
40
1


根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的　 　，　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“级”的有多少人？
（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．



18．（6分）如图，已知中，，，．

(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．






19．（8分）受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜1000斤．超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤，从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如下表：

到超市的路程（千米）
运费（元/斤·千米）
甲蔬菜棚
120
0.03
乙蔬菜棚
80
0.05

（1）若某天调运蔬菜的总运费为3840元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？
（2）设从甲蔬菜棚调运蔬菜斤，总运费为元，试写出与的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？





20．（10分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；   
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．






21．（8分）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔•比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，那么从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
下面是运用“补短法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F．使BF＝BA，连接MF，MB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】如图③，△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC＝2，D为上一点，连接AD，DC，∠ABD＝45°，∠CBD＝15°，求△BDC的周长．















22．（12分）如图1，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，且在直线的上方．

(1)直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)①当点P的坐标为时，求四边形的面积；
②是否存在一点P，使得四边形BOCP的面积和三角形ABC的面积相等；若存在，求出点P的坐标，不存在，请说明理由；
(3)如图3，点C在线段上，满足，，直线过点M，直线过点N，且，求直线与之间的最大距离．

参考答案：
1. B
【分析】求绝对值即可
【详解】﹣3的绝对值是3故选B
【点睛】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0.

2．C
【来源】辽宁省鞍山市铁西区2022-2023学年七年级上学期期中数学试题
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：2.32亿．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【来源】四川省眉山市2021年中考数学真题
【分析】先通过作辅助线，将∠1转化到∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．
【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A，
由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC，
因为BC⊥AB，
∴∠BAC+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
因为∠1=48°，
∴∠2=42°；
故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．
4．A
【来源】2022年江苏省徐州市中考数学真题
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
5．B
【来源】四川省成都市2021年中考数学真题
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【详解】解：将数据30，40，34，36按照从小到大排列是：30，34，36，40，
故这组数据的中位数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出相应的中位数．
6．A
【来源】福建省厦门市思明区湖滨中学2019-2020学年九年级上学期第一次月考数学试题
【分析】分别对各项的函数解析式进行分析判断即可.
【详解】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确；
B：为一次函数，x取所有实数，∵-，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；
C：为反比例函数，x≠0，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；
D：为反比例函数，x≠0，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误；
故选：A.
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．D
【来源】2019年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟初中学业考试数学试题
【详解】解：设甲的速度为千米时，则乙的速度为千米时，
根据题意得：．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．D
【来源】湖南省永州市2020年中考数学试题
【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可．
【详解】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
∵底面等边三角形的高=，
∴ 它的左视图的面积是，
故选：D．
【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体的长、宽、高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
9．D
【来源】山东省烟台市2020年中考数学试题
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝AF2-AB2 = 102-62 =8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+22＝（6﹣x）2，解得x＝83，
∴DE＝EF＝6﹣x＝103，
∴tan∠DAE＝DE AD =10310 = 13，
故选：D．

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
10．C
【来源】2022年广东省东莞市东城一中、东城实验联考下学期九年级第一次模拟试题
【分析】由可得： ，，则可得 ，则可得 ，再利用 ，进行计算即可．
【详解】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令x=n，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ，
，，
．
，




．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键．
11．m（m+3）
【来源】广东省潮州市潮安区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
【详解】【分析】用提取公因式法即可得到结果.
【解答】原式=m（m+3）.
故答案为m（m+3）
【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式.
12．y=2x＋7
【来源】2020年四川省广安市中考数学试卷
【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．
【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得
2=b
∴原一次函数解析式为y=2x＋2
将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7
故答案为：y=2x＋7．
【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．
13．
【来源】黑龙江省龙东地区2020年中考数学试题
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【详解】解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是1＜x＜，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，
∴x只能取2和3，
∴，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值范围．
14．
【来源】江西省上饶市2020-2021学年九年级上学期第三次月考数学试题
【分析】根据长为的弧求出底面圆的半径OB=5，再利用勾股定理求出答案.
【详解】解：圆锥底面周长侧面展开后扇形的弧长

在中，，
所以该圆锥的母线长为.
【点睛】此题考查弧长与底面圆的周长的关系，勾股定理，正确理解图形中各数据与圆及圆锥各部分之间的关系是解题的关键.

15．      23    
【来源】2022年浙江省宁波市中考数学真题
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，6b），D（a，6a），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【详解】解：如图，

作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，连接BF
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，
∴OI=BI，
∴DI=CI，
∴，
∵∠CID=∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI=∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD=S△AOB= S△BOF=S矩形AOCB=5，
∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，
∴OFOE = S△BOFS△OBE = 53
∴EFOE = 23
故答案为： 23 ，
【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
16． 0 ;
【来源】2020年江苏省扬州市江都区第三中学九年级第二次适应性训练数学试题
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂，以及二次根式的化简，再进行加减混合运算；
【详解】解：原式= -1+1－4×12 －（-2）
=0
【点睛】本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简以及分式的化简求值，掌握相关的公式以及运算法则是解题关键，
17．（1）8、0.15；（2）补全图形见解析；（3）估计该校八年级学生视力为“级”的有100人；（4）恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【来源】山东省济南市2019年中考数学试题
【分析】（1）由所列数据得出的值，继而求出组对应的频率，再根据频率之和等于1求出的值；
（2）总人数乘以的值求出组对应的频数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）由题意知等级的频数，
则组对应的频率为，
∴，
故答案为8、0.15；
（2）组对应的频数为，
补全图形如下：

（3）估计该校八年级学生视力为“级”的有（人）；
（4）列表如下：

男
男
女
女
男

（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）

（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）

（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）


得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
18．(1)见解析
(2)13

【来源】2022年内蒙古赤峰市中考数学真题
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、即可；
（2）由作图可得CD=BD，继而可得AD=CD，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可．
【详解】（1）如图所示，点D、H即为所求

（2）∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．（1）甲、乙两蔬菜棚各调运了400斤、600斤蔬菜；（2）从甲蔬菜棚调运蔬菜800斤，从乙蔬菜棚调运蔬菜200斤总费用最省．
【来源】江西省抚州市2019-2020学年八年级上学期学业发展水平测试数学试题
【分析】（1）设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜（1000-x）斤，根据题意列出方程即可求解．
（2）甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜（1000-x）斤，总运费为W，根据题意列出方程，因为已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤，确定x的取值范围，讨论函数增减性，即可得出W最小值．
【详解】（1）设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜（1000-x）斤，得

解得x=400
乙蔬菜棚调运蔬菜：1000-400=600(斤)
∴甲、乙两蔬菜棚各调运了400斤、600斤蔬菜．
故答案为：蔬菜的总运费为3840元时，甲、乙两蔬菜棚各调运了400斤、600斤蔬菜．
（2）甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜（1000-x）斤，总运费为W

=
=
∴W=
∵甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤
∴x≤800，1000-x≤600
∴400≤x≤800
∵-0．4<0，
∴随x的增大而减小
当x=800时，最小，
最小值==3680（元）
∴从甲蔬菜棚调运蔬菜800斤，从乙蔬菜棚调运蔬菜200斤总费用最省．
故答案为：W=，从甲蔬菜棚调运蔬菜800斤，从乙蔬菜棚调运蔬菜200斤总费用最省
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，找到题中等量关系列出函数关系式是解析的关键．
20．（1）证明见解析；（2）；（3）不能，理由见解析.
【来源】2017年初中毕业升学考试（海南卷）数学（带解析）
【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；
（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，
∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，
∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF，
（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，∴，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF=DE=，
∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，
∴，∴BG=，∴CG=BC﹣BG=；
（3）不能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，
∴AD﹣AE=BC﹣CG，
∴DE=BG，
由（1）知，△CDE≌△ECF，
∴DE=BF，CE=CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定.
21.【考点】圆的综合题．版权所有
【专题】与圆有关的计算；几何直观；应用意识．
【分析】【定理证明】证明△MBF≌△MBA（SSS），则MF＝MA＝MC，再证明DF＝CD，则FB+BD＝CD，可得AB+BD＝CD；
【问题解决】过点A作AE⊥BD交于E，可得△ABC为等边三角形，则CB＝AB＝2，根据阿基米德折线定理，DE+CD＝BE＝2，即可求△BCD的周长为BE+DE+CD+BC＝4+2．
【解答】【定理证明】证明：∵M是的中点，
∴AM＝CM，
∴∠MAC＝∠MCA，
∵∠MBC＝∠MAC，∠MBC+∠MBF＝180°，∠MBA+∠MCA＝180°，
∴∠MBF＝∠MBA，
∴△MBF≌△MBA（SSS），
∴MF＝MA＝MC，
∵MD⊥CF，
∴DF＝CD，
∴FB+BD＝CD，
∴AB+BD＝CD；
【问题解决】解：过点A作AE⊥BD交于E，
∵∠ABD＝45°，∠CBD＝15°，AB＝AC＝2，
∴AE＝BE＝2，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CB＝AB＝2，
根据阿基米德折线定理，DE+CD＝BE＝2，
∴△BCD的周长为BE+DE+CD+BC＝4+2．

【点评】本题考查圆的综合应用，理解阿基米德折线定理，熟练掌握圆的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．

22．(1)；
(2)
(2)①存在， ②存在， P点横坐标为3+52 或3-52

(3)

【来源】江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
【分析】（1）令，可得，即可求解；
（2）①过点P作轴于点F，根据四边形的面积等于，即可求解；
②因为四边形BOCP的面积和三角形ABC的面积相等，所以三角形AOC的面积和三角形BPC的面积相等，而三角形BPC的面积根据铅垂高乘以水平宽列出方程即可求解；
（3）过点M作，过点A作分别交于点P，Q，过点N作交延长线于点T，则，，设，，则，，根据，可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
故答案为：；
（2）解：①如图，过点P作轴于点F，

当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点P的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于


；
②解：存在，
∵S四边形BOCP = S△ABC
∴ S△AOC = S△PBC，
又 S△AOC = 12 OA·OC = 12×1×3 = 32
∴S△PBC= 32
设点P(m，-m2+2m+3），0＜m＜3. 过点P作轴于点F，交BC于点E
由点C（0,3），点B (3,0)可得lBC: y = -x+3，
∴E（m， -m+3），PE=yP －yE = -m2+2m+3－（-m+3）= -m2+3m
∴12PE·OB = 32
即12（-m2+3m）×3 =32
解得m =3+52 或m= 3-52
综上P点横坐标为3+52 或3-52
（3）解：如图，过点M作，过点A作分别交于点P，Q，过点N作交延长线于点T，则，，

∴，
可设，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时， 有最大值，此时a最大，为，
∴，
即直线与之间的最大距离为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是压轴题．