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2023年安徽省中考数学预测B卷（含答案）
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这是一份2023年安徽省中考数学预测B卷（含答案），共32页。
2023安徽中考数学预测B卷
（含详细解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．的相反数是（ ）
2.计算（-12a）2•2a的结果是（ ）
A．a3 B．-12a2 C．12a3 D．a2
3.2022年3月5日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×104 B．1.3×108 C．1.3×1012 D．13×1011
4.下面四个几何体中，左视图不是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
5.下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a6 B．3a+2b＝5ab
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
6.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，AB=5，则线段CD长为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 25
7.下列分解因式正确的是
A. B.
C. D.
8.在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．2cm
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
3
y
-3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 已知∠ABC=∠EAD=90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于G，AB=AE=4，则BG的最小值为( )
A. 2 5
B. 2 2-1
C. 2 5-2
D. 45 10
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数：y= 4-3x的x的取值范围是 ．
12.若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为______ cm2(保留π)．
13.如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，半径OD=2，则扇形ADOE的面积是 .(结果保留π)
14.平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （8分）解不等式：．
16. （8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
（2）请画出关于原点成中心对称的图形．
；
．
17.（8分）观察以下等式：
第1个等式：22-21+1=0×32；
第2个等式：23-22+1=1×46；
第3个等式：24-23+1=2×512；
第4个等式：25-24+1=3×620；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式是______；
(2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
18.为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利石开，某中学组织了“共和国成就”知识竞赛，校团委李老师随机调查了部分同学的竞赛成绩，并将他们的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下（单位：分）：
.将成绩分为（优秀），（良好），（合格），（不合格）四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
.组的同学具体得分是68，54，65，55，65，59．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是___________，请补全条形统计图；
（2）组数据中的平均数为___________，中位数为___________；
（3）已知组调查对象中只有两位男生竞赛成绩不合格，团委李老师准备随机回访组中两位竞赛成绩不合格的同学，请用画树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率．
19.（10分）如图，是的直径，C，D是上异于A，B的两点，且，过点C作交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．
（1）是的切线；
（2）若，求BE的长．
20.（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集：
（3）连接AO，BO，求的面积．
21.已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
22.（12分）引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨南路桥主塔如图1顺利完成封顶，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上．某校数学综合实践社团的同学们为了测量该主塔的高，在地面上选取点放置测倾仪，测得主塔顶端的仰角，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点处（点，，在同一水平线上），测得主塔顶端的仰角，测量示意图如图2所示．已知测倾仪的高度米，求金寨南路桥主塔的高．（精确到1米．参考数据：，，）
23.（14分） 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．
①若直线的解析式为，试用含的代数式表示；
②若点是线段的中点，试求点的坐标．
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：根据概念，的相反数是﹣（），即．
故选：C．
2.计算（-12a）2•2a的结果是（ ）
A．a3 B．-12a2 C．12a3 D．a2
【分析】根据积的乘方和单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：(-12a)2⋅2a
=14a2⋅2a
=12a3．
故选：C．
3.2022年3月5日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×104 B．1.3×108 C．1.3×1012 D．13×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1.3万亿＝13000亿＝1300000000000＝1.3×1012．
故选：C．
4.下面四个几何体中，左视图不是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形判断即可．
【解答】解：A．该长方体的左视图是矩形，故本选项不合题意；
B．该圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．球的左视图是圆，故本选项符合题意；
D．该三棱柱柱的左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
5.下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a6 B．3a+2b＝5ab
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意；
B.3a+2b无法合并，故此选项不合题意；
C．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意，
故选：A．
6.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，AB=5，则线段CD长为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 25
【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，根据相似比等于位似比计算即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,4)，
∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，
∴ABCD=12，
∵AB=5，
∴CD=25，
故选：D．
7.下列分解因式正确的是
A. B.
C. D.
【分析】考查因式分解的知识点
【解答】因式分解要求写成几个因式乘积的形式，B选项应该运用完全平方公式而不是平方差，所以选择D
8.在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．2cm
【分析】由垂径定理求出CP的长，由勾股定理即可求出OP的长．
【解答】解：如图：AB是过P的最长的弦是圆的直径，CD是过P点的最短的弦，CD⊥AB，
∴AB＝8cm，CD＝4cm，
∴OC＝4cm，CP＝CD＝2cm，
∴OP＝＝＝2（cm），
故选：A．
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
3
y
-3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=0+32=32，再由图象中的数据可以得到当x=32取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x<32时，y随x的增大而增大，当x>32时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x=0+32=32时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=32，故②错误，
当x<32时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于3，小于4，故④错误，
故选B．
10. 已知∠ABC=∠EAD=90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于G，AB=AE=4，则BG的最小值为( )
A. 2 5
B. 2 2-1
C. 2 5-2
D. 45 10
【分析】取AE中点F，连接BF，GF，由△AGE是直角三角形，F是AE中点，可得FG=12AE=2=AF，故G的轨迹是以F为圆心，2为半径的弧，而BF= AF2+AB2=2 5，当B，F，G构成三角形时，BG>2 5-2，从而可得B，F，G共线时，BG最小值为2 5-2．
本题考查直角三角形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹．
【解答】解：取AE中点F，连接BF，GF，如图：
∵AC⊥ED，
∴△AGE是直角三角形，
∵F是AE中点，
∴FG=12AE=2=AF，
∴G的轨迹是以F为圆心，2为半径的弧，
∵∠EAD=90°，AB=4，
∴BF= AF2+AB2= 22+42=2 5，
当B，F，G构成三角形时，BG>BF-FG，即BG>2 5-2，
∴当B，F，G共线时，BG取最小值，最小值即为2 5-2．
故选：C．
三、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
12. 函数：y= 4-3x的x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式 a(a≥0)可得4-3x≥0，然后进行计算即可解答．本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
【解答】解：由题意得：
4-3x≥0，
解得：x≤43，
故答案为：x≤43．
12.若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为______ cm2(保留π)．
【分析】根据圆锥侧面积=12底面周长×母线长计算．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积表达公式，较为简单．
【解答】解：圆锥的侧面面积=12×6π×5=15πcm2．
故本题答案为：15π．
13.如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，半径OD=2，则扇形ADOE的面积是 .(结果保留π)
【分析】先根据菱形的性质得到OB=AB=AC=OC，再根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，则OD垂直平分AB，所以OA=OB，于是可判断△OAB和△OAC都为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOB=∠AOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则可计算出∠DOE=60°，然后根据扇形的面积公式求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和扇形的面积公式．
【解答】解：∵四边形ABOC为菱形，
∴OB=AB=AC=OC，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵点D是AB的中点，
∴OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴OA=OB=AB=AC=OC，
∴△OAB和△OAC都为等边三角形，
∴∠AOB=∠AOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOE=30°，
∴∠DOE=60°，
∴扇形ADOE的面积=60×π×22360=23π.
故答案为：23π.
14.平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 A，C 两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
【分析】（1）利用待定系数法确定a，b的值；
（2）根据平移规律写出平移后抛物线的函数关系式；根据抛物线解析式与一元二次方程的关系求得答案．
【解答】解：（1）∵B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，
把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．
解得；
把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．
解得（不合题意，舍去）；
∴该抛物线经过A，B，C中的A，C两点；
故答案为：A，C；
（3）由（1）知，a＝﹣1，b＝2；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （8分）解不等式：．
【分析】不等式去括号，移项合并，将的系数化为1，求出解集即可．
【解答】解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得.
16. （8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
（2）请画出关于原点成中心对称的图形．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到、、的坐标，然后描点连线即可；
（2）利用关于原点对称的点特征得到、、的坐标，然后描点连线即可．本题考查了作图-中心对称变换：根据中心对称的性质可知，找到对应点，顺次连接得出对称后的图形．也考查了平移变换．
【解答】
（1）解．如图， 即为所求，
；
（2）解．如图， 即为所求，
．
17.（8分）观察以下等式：
第1个等式：22-21+1=0×32；
第2个等式：23-22+1=1×46；
第3个等式：24-23+1=2×512；
第4个等式：25-24+1=3×620；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式是______；
(2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
【分析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；
(2)对所给的等式进行分析，不难得出结果．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
【解答】解：(1)由题意得：第5个等式为：26-25+1=4×730，
故答案为：26-25+1=4×730；
(2)∵第1个等式：22-21+1=0×32；
第2个等式：23-22+1=1×46；
第3个等式：24-23+1=2×512；
第4个等式：25-24+1=3×620；
…
∴第n个等式为：2n+!-2n+1=(n-1)(n+2)n(n+1)，
证明：左边：=2nn(n+1)-2(n+1)n(n+1)+n(n+1)n(n+1)=n2+n-2n(n+1)
右边=n2+n-2n(n+1)∴左边=右边，等式成立
18.为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利石开，某中学组织了“共和国成就”知识竞赛，校团委李老师随机调查了部分同学的竞赛成绩，并将他们的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下（单位：分）：
.将成绩分为（优秀），（良好），（合格），（不合格）四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
.组的同学具体得分是68，54，65，55，65，59．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是___________，请补全条形统计图；
（2）组数据中的平均数为___________，中位数为___________；
（3）已知组调查对象中只有两位男生竞赛成绩不合格，团委李老师准备随机回访组中两位竞赛成绩不合格的同学，请用画树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率．
【分析】（1）根据题意可得到组有25人占，用人数除以百分比即可求出本次抽样调查的样本容量，根据样本容量先求出组人数，进一步求出组人数，即可补全条形统计图；
（2）根据平均数的计算方法将组的得分相加除以6，即可求出平均数；将数据按照从小到大排列，求出最中间两个数的平均数，即可求出中位数；
（3）先列表，根据表格即可得到总的等可能性结果，然后计算出一男一女的等可能性结果，即可求出答案．
【解答】
（1）解：根据题意可得：
本次抽样调查的样本容量为：，
组的人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全的条形统计图为
；
（2）解：由题意可得：
（分），
把组的分数按照从小到大排列为：54，55，59，65，65，68，
组的中位数为：（分），
故答案为：61，62；
（3）解：列表分析如下：
男1
男2
女1
女2
女3
女4
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男1女3
男1女4
男2
男2男1
男2女1
男2女2
男2女3
男2女4
女1
男1女1
男2女1
女2女1
女3女1
女4女1
女2
男1女2
男2女2
女2女1
女3女2
女4女2
女3
男1女3
男2女3
女3女1
女2女3
女4女3
女4
男1女4
男2女4
女4女1
女2女4
女3女4
根据表中信息可知，共有30种等可能的结果，其中恰好回访到一男一女的可能结果共有16种，
（恰好回访到一男一女）．
19.（10分）如图，是的直径，C，D是上异于A，B的两点，且，过点C作交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．
（1）是的切线；
（2）若，求BE的长．
【分析】（1）通过圆心角和圆周角的二倍关系推出等角，而后证明平行线，最后推出直角来证明切线；
（2）根据平行相似得到边的关系，列方程直接求解即可．
【小问1详解】
证明：连接CO
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
【小问2详解】
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴， ，
∴．
20.（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集：
（3）连接AO，BO，求的面积．
【分析】（1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值；
（2）观察函数图象，即可得出的解集；
（3）代入A点和B点坐标到即可求得直线AB的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积．
【解答】
（1）解：将代入中，得：
解得：
将代入，得：
解得：．
（2）解：根据图象可得，的解集为：或．
（3）解：设直线AB的解析式为，将、代入得：
解得：
∴直线AB的解析式为：
将代入得
∴，即，
连接，
∴．
21.已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论；
（2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，，则；证明，即可得到．
【小问1详解】
解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
【小问2详解】
解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22.（12分）引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨南路桥主塔如图1顺利完成封顶，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上．某校数学综合实践社团的同学们为了测量该主塔的高，在地面上选取点放置测倾仪，测得主塔顶端的仰角，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点处（点，，在同一水平线上），测得主塔顶端的仰角，测量示意图如图2所示．已知测倾仪的高度米，求金寨南路桥主塔的高．（精确到1米．参考数据：，，）
【分析】过点作于点，后解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
由周意得米，米
设米，在中，
米，
在中，
（米），
，
解得：，
（米），
（米）．
答：主塔的高约为112米．
23.（14分） 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．
①若直线的解析式为，试用含的代数式表示；
②若点是线段的中点，试求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式是．由，得到，则直线的解析式为．再由，即可得到；②由①得直线的解析式为．求出，，再根据是线段的中点，得到，解方程即可得到答案．
【解答】
（1）解：把，分别代入，得：
，
解得，
；
（2）解：①由（1）知抛物线的解析式为．
在中，令，则．
∴；
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，
解得
∴直线的解析式是．
∵，
∴．
∴直线的解析式为．
∵点在抛物线上，点的横坐标为，
∴点，则．
∴；
②由①知直线的解析式为．
在中，令，得．
∴，
在中，令，得．
∴，
∵是线段的中点，
∴P、E两点的纵坐标互为相反数，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴．
2023安徽中考数学预测B卷
（含详细解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．的相反数是（ ）
2.计算（-12a）2•2a的结果是（ ）
A．a3 B．-12a2 C．12a3 D．a2
3.2022年3月5日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×104 B．1.3×108 C．1.3×1012 D．13×1011
4.下面四个几何体中，左视图不是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
5.下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a6 B．3a+2b＝5ab
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
6.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，AB=5，则线段CD长为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 25
7.下列分解因式正确的是
A. B.
C. D.
8.在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．2cm
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
3
y
-3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 已知∠ABC=∠EAD=90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于G，AB=AE=4，则BG的最小值为( )
A. 2 5
B. 2 2-1
C. 2 5-2
D. 45 10
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数：y= 4-3x的x的取值范围是 ．
12.若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为______ cm2(保留π)．
13.如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，半径OD=2，则扇形ADOE的面积是 .(结果保留π)
14.平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （8分）解不等式：．
16. （8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
（2）请画出关于原点成中心对称的图形．
；
．
17.（8分）观察以下等式：
第1个等式：22-21+1=0×32；
第2个等式：23-22+1=1×46；
第3个等式：24-23+1=2×512；
第4个等式：25-24+1=3×620；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式是______；
(2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
18.为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利石开，某中学组织了“共和国成就”知识竞赛，校团委李老师随机调查了部分同学的竞赛成绩，并将他们的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下（单位：分）：
.将成绩分为（优秀），（良好），（合格），（不合格）四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
.组的同学具体得分是68，54，65，55，65，59．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是___________，请补全条形统计图；
（2）组数据中的平均数为___________，中位数为___________；
（3）已知组调查对象中只有两位男生竞赛成绩不合格，团委李老师准备随机回访组中两位竞赛成绩不合格的同学，请用画树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率．
19.（10分）如图，是的直径，C，D是上异于A，B的两点，且，过点C作交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．
（1）是的切线；
（2）若，求BE的长．
20.（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集：
（3）连接AO，BO，求的面积．
21.已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
22.（12分）引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨南路桥主塔如图1顺利完成封顶，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上．某校数学综合实践社团的同学们为了测量该主塔的高，在地面上选取点放置测倾仪，测得主塔顶端的仰角，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点处（点，，在同一水平线上），测得主塔顶端的仰角，测量示意图如图2所示．已知测倾仪的高度米，求金寨南路桥主塔的高．（精确到1米．参考数据：，，）
23.（14分） 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．
①若直线的解析式为，试用含的代数式表示；
②若点是线段的中点，试求点的坐标．
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：根据概念，的相反数是﹣（），即．
故选：C．
2.计算（-12a）2•2a的结果是（ ）
A．a3 B．-12a2 C．12a3 D．a2
【分析】根据积的乘方和单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：(-12a)2⋅2a
=14a2⋅2a
=12a3．
故选：C．
3.2022年3月5日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×104 B．1.3×108 C．1.3×1012 D．13×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1.3万亿＝13000亿＝1300000000000＝1.3×1012．
故选：C．
4.下面四个几何体中，左视图不是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形判断即可．
【解答】解：A．该长方体的左视图是矩形，故本选项不合题意；
B．该圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．球的左视图是圆，故本选项符合题意；
D．该三棱柱柱的左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
5.下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝a6 B．3a+2b＝5ab
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意；
B.3a+2b无法合并，故此选项不合题意；
C．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意，
故选：A．
6.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为(1,2)，C点坐标为(2,4)，AB=5，则线段CD长为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 25
【分析】根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，根据相似比等于位似比计算即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,4)，
∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，
∴ABCD=12，
∵AB=5，
∴CD=25，
故选：D．
7.下列分解因式正确的是
A. B.
C. D.
【分析】考查因式分解的知识点
【解答】因式分解要求写成几个因式乘积的形式，B选项应该运用完全平方公式而不是平方差，所以选择D
8.在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．2cm
【分析】由垂径定理求出CP的长，由勾股定理即可求出OP的长．
【解答】解：如图：AB是过P的最长的弦是圆的直径，CD是过P点的最短的弦，CD⊥AB，
∴AB＝8cm，CD＝4cm，
∴OC＝4cm，CP＝CD＝2cm，
∴OP＝＝＝2（cm），
故选：A．
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
3
y
-3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=0+32=32，再由图象中的数据可以得到当x=32取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x<32时，y随x的增大而增大，当x>32时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x=0+32=32时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=32，故②错误，
当x<32时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于3，小于4，故④错误，
故选B．
10. 已知∠ABC=∠EAD=90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于G，AB=AE=4，则BG的最小值为( )
A. 2 5
B. 2 2-1
C. 2 5-2
D. 45 10
【分析】取AE中点F，连接BF，GF，由△AGE是直角三角形，F是AE中点，可得FG=12AE=2=AF，故G的轨迹是以F为圆心，2为半径的弧，而BF= AF2+AB2=2 5，当B，F，G构成三角形时，BG>2 5-2，从而可得B，F，G共线时，BG最小值为2 5-2．
本题考查直角三角形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹．
【解答】解：取AE中点F，连接BF，GF，如图：
∵AC⊥ED，
∴△AGE是直角三角形，
∵F是AE中点，
∴FG=12AE=2=AF，
∴G的轨迹是以F为圆心，2为半径的弧，
∵∠EAD=90°，AB=4，
∴BF= AF2+AB2= 22+42=2 5，
当B，F，G构成三角形时，BG>BF-FG，即BG>2 5-2，
∴当B，F，G共线时，BG取最小值，最小值即为2 5-2．
故选：C．
三、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
12. 函数：y= 4-3x的x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式 a(a≥0)可得4-3x≥0，然后进行计算即可解答．本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
【解答】解：由题意得：
4-3x≥0，
解得：x≤43，
故答案为：x≤43．
12.若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为______ cm2(保留π)．
【分析】根据圆锥侧面积=12底面周长×母线长计算．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积表达公式，较为简单．
【解答】解：圆锥的侧面面积=12×6π×5=15πcm2．
故本题答案为：15π．
13.如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，半径OD=2，则扇形ADOE的面积是 .(结果保留π)
【分析】先根据菱形的性质得到OB=AB=AC=OC，再根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，则OD垂直平分AB，所以OA=OB，于是可判断△OAB和△OAC都为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOB=∠AOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则可计算出∠DOE=60°，然后根据扇形的面积公式求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和扇形的面积公式．
【解答】解：∵四边形ABOC为菱形，
∴OB=AB=AC=OC，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵点D是AB的中点，
∴OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴OA=OB=AB=AC=OC，
∴△OAB和△OAC都为等边三角形，
∴∠AOB=∠AOC=60°，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOE=30°，
∴∠DOE=60°，
∴扇形ADOE的面积=60×π×22360=23π.
故答案为：23π.
14.平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 A，C 两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
【分析】（1）利用待定系数法确定a，b的值；
（2）根据平移规律写出平移后抛物线的函数关系式；根据抛物线解析式与一元二次方程的关系求得答案．
【解答】解：（1）∵B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，
把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．
解得；
把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．
解得（不合题意，舍去）；
∴该抛物线经过A，B，C中的A，C两点；
故答案为：A，C；
（3）由（1）知，a＝﹣1，b＝2；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （8分）解不等式：．
【分析】不等式去括号，移项合并，将的系数化为1，求出解集即可．
【解答】解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得.
16. （8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
（2）请画出关于原点成中心对称的图形．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到、、的坐标，然后描点连线即可；
（2）利用关于原点对称的点特征得到、、的坐标，然后描点连线即可．本题考查了作图-中心对称变换：根据中心对称的性质可知，找到对应点，顺次连接得出对称后的图形．也考查了平移变换．
【解答】
（1）解．如图， 即为所求，
；
（2）解．如图， 即为所求，
．
17.（8分）观察以下等式：
第1个等式：22-21+1=0×32；
第2个等式：23-22+1=1×46；
第3个等式：24-23+1=2×512；
第4个等式：25-24+1=3×620；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式是______；
(2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
【分析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；
(2)对所给的等式进行分析，不难得出结果．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
【解答】解：(1)由题意得：第5个等式为：26-25+1=4×730，
故答案为：26-25+1=4×730；
(2)∵第1个等式：22-21+1=0×32；
第2个等式：23-22+1=1×46；
第3个等式：24-23+1=2×512；
第4个等式：25-24+1=3×620；
…
∴第n个等式为：2n+!-2n+1=(n-1)(n+2)n(n+1)，
证明：左边：=2nn(n+1)-2(n+1)n(n+1)+n(n+1)n(n+1)=n2+n-2n(n+1)
右边=n2+n-2n(n+1)∴左边=右边，等式成立
18.为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利石开，某中学组织了“共和国成就”知识竞赛，校团委李老师随机调查了部分同学的竞赛成绩，并将他们的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下（单位：分）：
.将成绩分为（优秀），（良好），（合格），（不合格）四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
.组的同学具体得分是68，54，65，55，65，59．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是___________，请补全条形统计图；
（2）组数据中的平均数为___________，中位数为___________；
（3）已知组调查对象中只有两位男生竞赛成绩不合格，团委李老师准备随机回访组中两位竞赛成绩不合格的同学，请用画树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率．
【分析】（1）根据题意可得到组有25人占，用人数除以百分比即可求出本次抽样调查的样本容量，根据样本容量先求出组人数，进一步求出组人数，即可补全条形统计图；
（2）根据平均数的计算方法将组的得分相加除以6，即可求出平均数；将数据按照从小到大排列，求出最中间两个数的平均数，即可求出中位数；
（3）先列表，根据表格即可得到总的等可能性结果，然后计算出一男一女的等可能性结果，即可求出答案．
【解答】
（1）解：根据题意可得：
本次抽样调查的样本容量为：，
组的人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全的条形统计图为
；
（2）解：由题意可得：
（分），
把组的分数按照从小到大排列为：54，55，59，65，65，68，
组的中位数为：（分），
故答案为：61，62；
（3）解：列表分析如下：
男1
男2
女1
女2
女3
女4
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男1女3
男1女4
男2
男2男1
男2女1
男2女2
男2女3
男2女4
女1
男1女1
男2女1
女2女1
女3女1
女4女1
女2
男1女2
男2女2
女2女1
女3女2
女4女2
女3
男1女3
男2女3
女3女1
女2女3
女4女3
女4
男1女4
男2女4
女4女1
女2女4
女3女4
根据表中信息可知，共有30种等可能的结果，其中恰好回访到一男一女的可能结果共有16种，
（恰好回访到一男一女）．
19.（10分）如图，是的直径，C，D是上异于A，B的两点，且，过点C作交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．
（1）是的切线；
（2）若，求BE的长．
【分析】（1）通过圆心角和圆周角的二倍关系推出等角，而后证明平行线，最后推出直角来证明切线；
（2）根据平行相似得到边的关系，列方程直接求解即可．
【小问1详解】
证明：连接CO
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴为的切线．
【小问2详解】
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴， ，
∴．
20.（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集：
（3）连接AO，BO，求的面积．
【分析】（1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值；
（2）观察函数图象，即可得出的解集；
（3）代入A点和B点坐标到即可求得直线AB的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积．
【解答】
（1）解：将代入中，得：
解得：
将代入，得：
解得：．
（2）解：根据图象可得，的解集为：或．
（3）解：设直线AB的解析式为，将、代入得：
解得：
∴直线AB的解析式为：
将代入得
∴，即，
连接，
∴．
21.已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论；
（2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，，则；证明，即可得到．
【小问1详解】
解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
【小问2详解】
解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22.（12分）引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨南路桥主塔如图1顺利完成封顶，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上．某校数学综合实践社团的同学们为了测量该主塔的高，在地面上选取点放置测倾仪，测得主塔顶端的仰角，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点处（点，，在同一水平线上），测得主塔顶端的仰角，测量示意图如图2所示．已知测倾仪的高度米，求金寨南路桥主塔的高．（精确到1米．参考数据：，，）
【分析】过点作于点，后解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
由周意得米，米
设米，在中，
米，
在中，
（米），
，
解得：，
（米），
（米）．
答：主塔的高约为112米．
23.（14分） 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．
①若直线的解析式为，试用含的代数式表示；
②若点是线段的中点，试求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式是．由，得到，则直线的解析式为．再由，即可得到；②由①得直线的解析式为．求出，，再根据是线段的中点，得到，解方程即可得到答案．
【解答】
（1）解：把，分别代入，得：
，
解得，
；
（2）解：①由（1）知抛物线的解析式为．
在中，令，则．
∴；
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，
解得
∴直线的解析式是．
∵，
∴．
∴直线的解析式为．
∵点在抛物线上，点的横坐标为，
∴点，则．
∴；
②由①知直线的解析式为．
在中，令，得．
∴，
在中，令，得．
∴，
∵是线段的中点，
∴P、E两点的纵坐标互为相反数，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴．
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