云南省昭通市2023届高三下学期数学一模试卷【含答案】

 高三下学期数学一模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．的虚部为（　　）

A． B． C．0 D．-1

3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则谷雨日影长为（　　）

A．3.5尺 B．4.5尺 C．5.5尺 D．6.5尺

4．已知正方形的边长为2，，则的值为（　　）

A．-4 B．-3 C．0 D．3

5．2022年11月初，新冠疫情突袭昭通市鲁甸县，昭通市统一指挥、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒.现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（　　）

A．8种 B．10种 C．12种 D．14种

6．的值为（　　）

A．-1 B．1 C． D．

7．已知三棱锥所有的顶点都在球的表面上，若，，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

8．已知函数，且，则（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A．函数的一个周期为

B．直线是的一条对称轴

C．点是的一个对称中心

D．在区间上单调递减

10．双曲线具有如下光学性质：如图1，，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，下列结论正确的是（　　）

A．若，则

B．点到的渐近线的距离为

C．当过点，光由所经过的路程为13

D．射线所在直线的斜率为，则

11．如图，已知正方体的棱长为2，点是的中点，点是线段上的一动点，则下列说法正确的是（　　）

A．

B．三棱锥的内切球的体积为

C．三棱锥的体积为

D．直线与平面所成角的最大值为

12．若过轴上一点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（　　）

A．可以取到3

B．

C．当时，的取值范围是

D．当时，存在唯一的值

三、填空题

13．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：

8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.

则这组数据的第70百分位数是　     　.

14．曲线在点处的切线方程为　         　．

15．已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为　           　.

16．已知椭圆，直线与椭圆在第四象限交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，是坐标原点，椭圆的左顶点为，且，，则直线的方程为　           　.

四、解答题

17．设是公差不为0的等差数列的前项和，若，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求使的的最大值.

18．已知中，角，，所对的边分别为，，，且满足.从①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件.

（1）求角的大小；

（2）点在线段的延长线上，且，若，求的面积.

19．为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.

附：，.

（1）请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）？

20．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，且，则在线段上是否存在一动点，使得二面角的大小为45°？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.

21．已知函数（，），.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

22．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，且.

（1）求曲线的方程；

（2）过焦点的直线与曲线交于，两点，直线，与圆的另一交点分别为，，求与的面积之比的最大值.

1．B

2．D

3．C

4．D

5．C

6．A

7．A

8．B

9．A,B

10．B,D

11．A,C,D

12．A,B,D

13．13

14．x-4y+1=0

15．[4π，9π]

16．

17．（1）解：设等差数列的公差为，

则，

由于，故解得，

所以.

（2）解：，

由得，

解得，

由于，所以的最大值是11.

18．（1）解：由 得： ；

若选① ，则有 ，由余弦定理得 ；

若选② ，由 代入上式，得：

；

若选③ ，则 为直角三角形， ， ；

综上， ；

（2）解：

由（1）知 ，， ，由余弦定理得： ，

，在 中，由正弦定理得： ，

， ，

；

综上，， .

19．（1）解：各组数据频率之和为1，故[60，70]组频率，

所以纵坐标为.样本频率分步直方图如下图：

样本平均数.

（2）解：

，

故没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.

20．（1）证明： 是等腰三角形，O是底边的中点， ，又平面 平面BCD，

平面 平面 ， 平面BCD， 平面BCD，

；

（2）解：建立空间直角坐标系如下图：

以O为原点，过O点垂直于BD的直线为x轴，直线BD为y轴，OA为z轴，

由于 是等边三角形，OC与x轴的夹角为 ，所以C点的x坐标为 ，y坐标为 ，即 ，

设 ， ，（ 表示E点与D点，此时二面角 为0， ） ，

则 ， ， ，

设平面BCE的一个法向量为 ，则 ， ，

令 ，则 ，

显然平面BCD的一个法向量是 ，则平面BCE与平面BCD的二面角为 ，

，得 或 （当 时，表示点E在AD的延长线上，不符合题意，舍），

，即当E点在线段AD的靠近A点的三分点时，二面角 为 ；

综上，存在点E，在靠近A点的线段AD的三分点处.

21．（1）解：，，

，

当时，令得，令得，

故在上单调递增，在上单调递减，

当时，令得，令得，

故在上单调递减，在上单调递增，

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）解：当时，不等式恒成立，

即在上恒成立，

，，

故，

令，，

则，

因为，所以恒成立，故在上单调递增，

又，，

故存在使得，

且当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

故在处取得极小值，也是最小值，

，

故，

则的取值范围是.

22．（1）解：由题意得，因为与轴垂直，

所以， ，又，

所以与相似，于是，即，

解得，

所以曲线的方程为；

（2）解：设，，

联立，整理得，所以，，

将代入，解得，

将代入，解得，

于是，

，

所以

，

当时，有最大值.