2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期六月联考数学（B卷）试题含答案

2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期六月联考数学（B卷）试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A．5 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用导数的计算公式，结合方程思想，解得函数解析式，可得答案.

【详解】由，求导可得，则，解得，

，则.

故选：A.

2．设等比数列的前n项和为，且，则公比q=

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】将已知转化为的形式，解方程求得的值.

【详解】依题意，解得，故选C.

【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.

3．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用全概率公式可求解得出.

【详解】设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，

则，，，，

则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为.

故选：B.

4．函数的导数的部分图象大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．    

【答案】D

【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.

【详解】因为，所以，

令，，则，

所以函数是奇函数，故A，C错误；

又，故B错误.

故选：D.

5．设随机变量X服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.

【详解】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称,

因为，

故，

故选：B

6．若二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含项的系数为（    ）

A．80 B． C．14 D．

【答案】A

【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案.

【详解】由二项式，则其展开式的通项，

展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为，，则，解得，

则通项为，

令，解得，则展开式中含项的系数为.

故选：A.

7．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题

只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，

故不同的分配方案为：，

故选A.

8．数列的前n项和，则（    ）

A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列

C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列

【答案】D

【分析】根据数列通项与前项和的关系，解得通项公式，根据等差数列与等比数列的定义，可得答案.

【详解】当时，；

当时，，

检验：将代入上式，则，

则数列的通项公式，

由，，即，则数列不是等比数列；

由，，即，则数列不是等差数列.

故选：D.

二、多选题

9．已知随机变量，则下列命题正确的有（    ）

A．

B．

C．若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮4次的命中次数

D．若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数

【答案】BC

【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断B，C；利用独立重复试验的意义判断C；

求出从盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数X的概率判断D作答.

【详解】因随机变量，则，，A不正确，B正确；

甲连续投篮4次相当于4次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为，则命中次数，C正确；

对于D，依题意，，即时的概率随k值的变化而变化，不服从，D不正确.

故选：BC

10．已知则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】对于A，C，D，将等式中的x赋适当的数值经计算即可判断；对于B，计算展开式的项的系数即可判断作答.

【详解】对于A，取得：，A正确；

对于B，展开式中第七项为，即，B不正确；

对于C，取得：，则，C正确；

对于D，取得：，取得：，

两式相加得，即，D正确.

故选：ACD

11．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（    ）

A．数列的最小项为第项 B．

C． D．时，的最大值为

【答案】ABC

【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.

【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；

对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；

对于D选项，因为，，

所以，满足的的最大值为，故D错误；

对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；

当且时，，

所以，当且时，，

当且时，，

当且时，.

由题意可知单调递减，

所以当且时，，

由题意可知单调递减，即有，

所以，

由不等式的性质可得，

从而可得，

因此，数列的最小项为第 项，故A正确.

故选：ABC.

12．如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】令，则，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”，逐项验证可得答案．

【详解】令，则，

即函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．

对于A，，，，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故A正确；

对于B，，，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故B正确；

对于C，，，，

所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故C错误；

对于D，，，，

当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，

则函数不是“F函数”．故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数，根据可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．

三、填空题

13．演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念要求指导教师不能站在两端，那么有      种不同的站法用数字作答

【答案】72

【分析】根据题意，分2步进行分析：，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分2步进行分析：

，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；

，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有种情况，

则有种不同的站法；

故答案为72．

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

14．已知等差数列的前n项和为，且，则         ．

【答案】270

【分析】由等差数列的性质先求得，再根据即可获解.

【详解】等差数列的前项和为且

解得 ,

故答案为：270.

15．已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：

则随机变量Y的方差等于      ；

【答案】/

【分析】根据分布列中概率和为1可得，再由期望、方差公式计算出,最后利用计算可得答案.

【详解】因为，所以，

，，

所以.

故答案为：.

16．若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为      .

【答案】

【分析】由已知,分为、和进行讨论,利用函数的单调区间和即可得到答案.

【详解】由已知,

当时,函数无解,不符合题意;

当时,得,得或,

即函数的增区间为,减区间为,又,

所以函数有且仅有个零点,与题意不符;

当时,得或,得,

即函数的增区间为,减区间为,又,

要使函数有个不同的零点,则需,

即,解得.

故答案为:.

四、解答题

17．数列的前n项和为，已知．

(1)证明：是等比数列；

(2)求和：．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用和等比数列定义判断可得答案；

（2）由（1）得，再利用分组求和、等比数列求和可得答案.

【详解】（1）由，可知时，，

两式相减可得，

所以，

又，得，

故是以2为首项，2为公比的等比数列；

（2）由（1）得，所以

．

18．为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置6个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3个题目进行作答，若所抽取的3个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这6个题目，某科室的甲能正确作答其中的4个题目，乙能正确作答每个题目的概率均为，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的．

(1)已知甲乙两人总共正确作答3个题目，求甲答对1道乙答对2道的概率；

(2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由．

【答案】(1)

(2)派甲去较为合适，理由见解析

【分析】（1）利用相互独立事件、互斥事件概率计算出甲乙两人总共正确作答3个题目的概率，甲答对1道题目乙答对2道题的概率为，由可得答案；

（2）设甲正确作答题目个数，计算出，，设乙正确作答题数为，则，可得，，比较，可得答案．

【详解】（1）甲乙两人总共正确作答3个题目，

包括：甲答对3道乙答对0道、甲答对2道乙答对1道、甲答对1道乙答对2道．

甲乙两人总共正确作答3个题目的概率为．

甲答对1道题目乙答对2道题的概率为．

所以甲乙两人总共正确作答3个题目，甲答对1道乙答对2道的概率为；

（2）设甲正确作答题目个数为，则可以取值为1，2，3．

则，，，

的分布列为

，

．

设乙正确作答题数为，则，，

．

因为，所以甲乙两人实力相当，

而，甲比乙更稳定，因此派甲去较为合适．

19．已知函数．

(1)若曲线在点处与直线相切，求a与b的值；

(2)若曲线与直线没有交点，求b的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出，根据曲线在点处切线的斜率为0，切点纵坐标为，构造关于、的两个方程可得答案；

（2）利用导数求出函数的最大值可得答案.

【详解】（1），

根据题意，

解得，；

（2）令，得，列表：

函数在递减，在递增，是的最小值，

当，，所以，

所以若曲线与直线没有交点，则的取值范围是．

20．某市为了解高三年级不同性别的学生对体育活动课改上体育课的态度（肯定还是否定），从全市11所高中的高三年级按分层抽样方法抽取100名学生的样本进行问卷调查，得到如下列联表：

(1)判断能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？

参考公式与数据：

，其中

(2)用这100名学生的样本估计总体，从全市高三年级任取3名女学生，用X表示这3名女学生中持肯定态度的人数，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)没有

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题意计算出与附表中数据比较可得答案；

（2）由题意可知，由此可得分布列及期望.

【详解】（1）由题意，

∴没有97.5%的把握认为态度和性别有关；

（2）的可能取值为0，1，2，3，

由题意可知女生中持肯定态度的概率，

∵~ ，

所以 ，，

，，

的分布列为

∴.

21．在等比数列中，，公比，，，成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)记，数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】根据，，成等差数列，得到，解出即可；

由，得到，根据列项相消求和即可.

【详解】（1）由已知，    

所以，即，解得或

而公比，所以，

所以的通项公式是．

（2）因为，所以        

．

所以

因为，所以，

故．

22．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的最小值．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，结合解不等式即可求得答案；

（2）根据所给范围，讨论a的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，即可求得函数最小值.

【详解】（1）由题意得，

定义域是，

当时，由得或;

则的单调递增区间是，，

当时，恒成立，仅在时等号成立，

故的单调递增区间是，

当时，由得或，

则的单调递增区间是，；

当时，由得，

则的单调递增区间是，

故当时，的单调递增区间为，；

当时，单调递增区间是；

当时，单调递增区间是，；

当时，单调递增区间是.

（2）由（1）知，令，得，

当，时，在上单调递增，仅当时等号成立，

则，

当，时， 在上单调递减，

时，在上单调递增，

则；

当，在上单调递减，

则，

综上所述．

【点睛】方法点睛：求出函数的导数后，表达式中含有字母参数，因此判断导数的正负时要注意参数对导数的影响，因此要注意分类讨论，即要注意结合二次函数相关知识分类讨论参数的取值范围，判断导数正负，从而判断函数单调性，解决问题.