2023仙桃中学高一下学期第一次段考数学试题含解析

仙桃中学2022级高一下学期第一次段考

数学

本试题卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，只上交答题卡.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量，且，则的值为（    ）

A. 4 B. -4 C. 1 D. -1

【答案】B

【解析】

分析】确定，得到，解得答案.

【详解】，故，则，解得.

故选：B

2. 集合，集合，则的元素个数为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 无数个

【答案】A

【解析】

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，则，即，

故，，

故.

故选：A

3. 已知，则的值为（    ）

A. 0 B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解即可．

【详解】解：因为，

．

故选：B．

4. 在中，，，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】在中，根据，求得，再由正弦定理求解.

【详解】在中，因，，

所以，

，

，

，

由正弦定理得，

所以，

故选：D

5. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.

【详解】在上的投影向量为：

.

故选：B

6. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质由值域确定自变量确诊范围，解不等式得结果.

【详解】

因为在上的值域为，

所以

故选：A

【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

7. 在弧度数为的内取一点P，使PB=2,则点P到角的两边距离之和的最大值为

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】分析：过点分别作角的两边所在直线的垂线，设，可得，，根据辅助角公式，利用三角函数的有界性求解即可.

详解：

如图所示，过点分别作角的两边所在直线的垂线，

垂足分别是，则分别为点到角的两边的距离，

设，则，

，

，

从而有，即，

于是，当，即时，取得最大值，故选C.

点睛：求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .

8. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用两角和与差的三角的正弦，将，转化为，其中，，则有，然后求解即可.

【详解】因为

所以，

即，

，即，

其中，，

，，，，

，

，

.

故选：A

【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列结论中，是真命题的为（    ）

A. 若，则

B. 为不共线的向量，则

C. 若，为非零向量，则

D. 若非零向量满足，则

【答案】CD

【解析】

【分析】由题可得或可判断A；利用数量积公式证明可判断B；由题可得判断C；利用数量积结合向量垂直的数量积关系可判断D.

【详解】对于A，若，，则或，所以该命题是假命题；

对于B，设向量的夹角为，则，而，

由于、为不共线的非零向量，所以，所以，所以该命题是假命题；

对于C，由，可得，则，所以该命题是真命题；

对于D，若非零向量、满足，，所以，则与垂直，所以该命题是真命题.

故选：CD.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若函数在存在零点，则一定成立

B. “”的否定是“”

C. 设为平行四边形的对角线的交点，为平面内任意一点，则

D. 若为所在平面内一点，且，和面积的比为3

【答案】BCD

【解析】

【分析】举反例，A错误，根据全称命题的否定得到B正确，根据向量的运算得到C正确，分别为，中点，则，，D正确，得到答案.

【详解】对选项A：取，则是函数零点，，错误；

对选项B：“”的否定是“”，正确；

对选项C：，正确；

对选项D：如图所示，分别为，中点，

则，即，

故，则，正确.

故选：BCD

11. 函数的图象先向左平移个单位长度，然后向下平移1个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，则（    ）

A. 函数的最小正周期是

B.

C. 的最小值为

D. 函数在上单调递增

【答案】AC

【解析】

【分析】化简解析式，通过三角函数图象变换求得的解析式，根据的图象关于直线对称可得，然后根据正弦函数的性质逐项分析即得.

【详解】因为，

所以，又函数的图象关于直线对称，

所以，解得，

所以，

所以函数的最小正周期是，故正确；

，故B错误；

由，，可得的最小值为，故C正确；

由，可得或，故函数在上单调递增错误，故D错误.

故选：AC．

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数有3个零点

B. 若函数有四个零点，则

C. 若关于的方程有四个不等实根，则

D. 若关于的方程有8个不等实根，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】画出的图象利用数形结合可判断ABC，根据图象及二次方程根的分布可判断D.

【详解】对A，当时，单调递增，

当时，单调递减，

画出的图象，可以看出关于对称，

当时，取得最小值为1，

在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，

所以函数有3个零点，A正确；

对B，由图象可知，函数有四个零点，则，B错误；

对C，由图象可知，若关于的方程有四个不等实根，

不妨设，则关于对称，关于对称，

所以，所以，C正确；

对D，令，若关于的方程有8个不等实根，

则要有2个不相等的实数根，且，

所以，所以，即，故D正确.

故选：ACD.

三.填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为__________.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.

【详解】因为，

所以，，

所以，

所以.

故答案为：

14. 的周期为2，值域为，且为偶函数，则的解析式__________.（写出一个即可）

【答案】(答案不唯一）

【解析】

【分析】取，再验证周期，值域和奇偶性得到答案.

【详解】取，

则函数周期为，，，

，函数为偶函数，满足条件.

故答案为：

15. 已知，则使得成立的的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】先化简函数，求出函数的奇偶性和单调性，然后化简要求的结果，最后运用单调性得到不等式，继而求出结果

【详解】,

,

故为偶函数

令

,

当时，为减函数

当时，为增函数

则当时，为减函数

当时，为增函数

,

,

,

,

,

,

,

故

则的取值范围是

【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，对于题目中的已知条件和问题进行化简是本题的关键，将其转化为运用函数的单调性解不等式，渗透了转化思想．

16. 如图，已知直角的斜边长为4，设是以为圆心的单位圆的任意一点，为边的中线的中点，则__________，的取值范围为__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）如图所示，，计算得到答案.

（2）设夹角为，，则，，得到范围.

详解】如图所示：

；

设夹角为，，，则，

，

故.

故答案为：；

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．

（1）求；

（2）若（，），求的值.

【答案】（1）14；（2）.

【解析】

【分析】分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解.

【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，

点为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，，，，.

（1）∵，，

∴.

（2）∵，，，

由，得，

∴解得

∴.

【点睛】本题考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

18. 已知向量与，且，其中.

（1）求和的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示可得，再结合，可得解；

（2）根据两角差的余弦公式结合特殊角的三角函数值即得.

【小问1详解】

因为向量与，且，

所以，

又，，，，

，；

【小问2详解】

，，

所以，又，

则，

，

又，所以.

19. 已知函数的部分图象如图所示，且直线为的图象的一条对称轴.

（1）求的解析式；

（2）设函数在区间上有两个不同实根，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）确定周期得到，代入对称轴得到，再根据得到，得到解析式.

（2）确定，画出函数图像，根据图像得到答案.

【小问1详解】

根据图像知：，故，；

且，即，，

当时满足条件，此时，

则，，则，

故，

【小问2详解】

，，则，

，画出函数的图形，如图所示：

根据图像知：在区间上有两个不同实根，则

20. 如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.

（1），求的值；

（2）求证：，并求的最小值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）确定，得到答案.

（2）确定，得到，确定，展开利用均值不等式计算得到答案.

【小问1详解】

，

故，

【小问2详解】

，三点共线，故，

即，

，

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.

21. 仙桃中学新校区有一近似矩形的水塘，已知长米，宽米，为了便于师生平时休闲锻炼，学校计划在水塘建造三座小桥和，并要求是的中点，点在边上，点在边上，且为直角，如图所示.

（1）设（弧度），试将三座桥的全长（即的周长）表示成的函数，并求出此函数的定义域；

（2）建这三座桥，每米建设预算平均费用为1250元，试问如何设计才能使总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取取1.42）.

【答案】（1），.   

（2）时，总费用最少为，

【解析】

【分析】（1）确定，则，，，再计算定义域得到答案.

（2）设，则，化简得到，计算最值得到答案.

小问1详解】

，则，则，，

，

故，

当与重合时，最小，满足，，此时；

当与重合时，最大，满足，，此时；

故，.

【小问2详解】

，.

设，，则，

，故，

，

当，即时，最小为，

总费用最少为，

22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的叠加向量.已知函数.

（1）求的叠加向量；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）化简得，即得的叠加向量；

（2）求出，化简得到对任意恒成立，设，.求出函数最大值即得解.

【小问1详解】

，

所以的叠加向量.

【小问2详解】

由题得

所以.

由题得，所以，

因为，所以.

所以对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

设，.

当时，取到最大值.

所以.