2022宿迁沭阳县高二下学期期中数学含答案

2021～2022学年度第二学期期中调研测试

高二数学试卷

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若向量，，则向量与的夹角为（）

A0 B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】D

2. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【2题答案】

【答案】A

3. 在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】D

4. 被9除所得的余数是（）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【4题答案】

【答案】C

5. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　)

A. －2 B. 2 C.  D.

【5题答案】

【答案】A

6. 疫情期间学校采用线上教学，上午有4节课，一个教师要上3个班的网课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个老师的课有（）种排法.

A. 3 B. 6 C. 12 D. 18

【6题答案】

【答案】C

7. 已知是所在平面外一点，是中点，且，则（）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【7题答案】

【答案】A

8. 已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9. 给定下列命题，其中正确的命题是（）

A. 若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则

B. 若，分别是不重合两平面的法向量，则

C. 若，分别是不重合的两平面的法向量，则

D. 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直

【9题答案】

【答案】ACD

10. 若x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，⋅⋅⋅，a5为实数，则（　　）

A.  B. a1+a2+⋅⋅⋅+a5＝1

C. a1+a3+a5＝16 D.

【10题答案】

【答案】BD

11. 现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（）

A. 若甲乙丙顺序固定，共有种站法

B. 若甲乙必须站在一起，共有种站法

C. 若甲乙不站在一起，共有种站法

D. 若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法

【11题答案】

【答案】ABC

12. 已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是（）

A. 向量可以构成一组基底

B. 当时，

C. 当时，在平面上的投影向量的模长为

D. 对任意实数，总有

【12题答案】

【答案】AD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）

13. 若单位向量与向量，都垂直，则向量的坐标为______．

【13题答案】

【答案】

14. 现将6个相同的小球放在3个不同的盒子里，每个盒子至少一个，共有______种放法.（用数字作答）

【14题答案】

【答案】10

15. 已知，的展开式中含项的系数为13，则当________，含项的系数取得最小值，最小值为_________．

【15题答案】

【答案】    ①. 6或7##7或6    ②. 36

16. 设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．

【16题答案】

【答案】

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算：

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【17题答案】

【答案】（1）330（2）15

19. 已知.

（1）求；

（2）求与夹角的余弦值；

（3）当时，求实数的值.

【19题答案】

【答案】（1）-10（2）

（3）或

21. 某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．

（1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？

（2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？

（3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？

【21题答案】

【答案】（1）64；（2）128；

（3）51.

23. 如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.

（1）求证：是平面的法向量；

（2）求与平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的正弦值．

【23题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【小问1详解】

解：设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系.

，

又，，

所以，

即，，又，面，

面，所以是平面的法向量.

【小问2详解】

解：，，，

又由（1）知平面的法向量 ，设与所成的角为，

所以，因为，则，

即与平面所成角的余弦值是.

【小问3详解】

解：在正方体中，面，

是面的法向量，又，

，

由图可知二面角为锐二面角，设为，

所以，

所以二面角平面角的正弦值为.

25. 在展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.

（1）证明：展开式中没有常数项；

（2）求展开式中系数最大的项．

【25题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）第二项和第三项

【小问1详解】

证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，，

（舍）或.

二项展开式中第项，令，

所以展开式中没有常数项得证.

【小问2详解】

由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得，

又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项.

27. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，，点是线段上的动点．

（1）当E为BC中点时，求证：平面平面；

（2）求点B到面PCD的距离；

（3）若点M是线段PA上的动点，当点E和点M满足什么条件时，直线面PCD．

【27题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【小问1详解】

当E为BC中点时，，则为等边三角形,则

在中，

所以

则,则

又，则

，又，所以平面

平面，所以

又，则平面，且平面

所以平面平面

【小问2详解】

由，平面，平面，所以平面

则点B到面PCD的距离等于到面PCD的距离等.

在中，当E为BC中点时，由（1）可知,则为直角三角形.

即，则,即，则

由（1）有,且，所以平面

由平面，则平面平面

过点作交于点，则平面

即为到面PCD的距离等，由

所以

所以点B到面PCD的距离为

【小问3详解】

过点A作交BC于点G，以AG为x轴，AD为y轴,AP为z轴建立如图坐标系,

则，，，

设，则，，

则，

设面PCD的法向量,则 ,即

取

则当直线面PCD，时，可得，

即，所以

又，又当时，就为，此时平面

所以时，直线面PCD.