2023年天津市南开区敬业中北中学中考数学结课试卷（含答案）

2023年天津市南开区敬业中北中学中考数学结课试卷

一、选择题：共12个小题，每小题3分，共36分．

1．计算（﹣3）+（﹣6）的结果等于（　　）

A．3 B．﹣3 C．﹣9 D．﹣18

2．cos60°的值等于（　　）

A． B．1 C． D．

3．将139 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．1.39×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．13.9×107

4．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

5．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． 

C． D．

6．估计的值（　　）

A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在3和4之间 D．在2和3之间

7．计算的结果是（　　）

A．a﹣1 B． C． D．

8．方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

9．若点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（6，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1

10．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是（　　）

A．（4，2） B．（5，2） C．（4，3） D．（5，3）

11．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E．则下列结论不一定正确的是（　　）

A．AD＝B'C B．AE＝CE 

C．∠DAE＝∠B'CE D．∠DAB'＝∠CAB'

12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：

①abc＞0；

②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；

③a＜﹣．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．计算a6÷a2的结果等于　   　．

14．计算：（+）（﹣）的结果等于　   　．

15．不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个黄球，2个绿球：这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是 　   　．

16．将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为　   　．

17．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则AE的长为 　   　．

18．在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．

（1）线段BC的长等于 　   　；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°，并简要说明画图方法（不要求证明）．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．解不等式组．

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得 　   　；

（Ⅱ）解不等式②，得 　   　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 　   　．

20．为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为　   　，图①中的m值为　   　；

（Ⅱ）求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．

（Ⅲ）根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数．

21．在△ABC中，∠C＝90°．以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．

（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝28°，求∠B的大小；

（2）如图②，若点F为的中点，求∠B的大小．

22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东61°方向上的A处，它沿正南方向航行140nmile后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．求此时海轮距灯塔的距离BP（结果取整数）．参考数据：tan61°≈1.80，取1.414．

23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小明家、体育场、文具店依次在同一条直线上．体育场离家3km，文具店离家1.5km．周末，小明从家出发，匀速跑步15min到体育场；在体育场锻炼15min后，匀速走了15min到文具店；在文具店停留20min买笔后，匀速走了30min返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ））填空：

①体育场到文具店的距离为 　   　km；

②小明从家到体育场的速度为 　   　km/min；

③小明从文具店返回家的速度为 　   　km/min；

④当小明离家的距离为0.6km时，他离开家的时间为 　   　min．

（Ⅲ）当0≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数解析式．

24．已知点O是△ABC内一点，连接OA，OB，将△BAO绕点B顺时针旋转如图，若△ABC是等边三角形，OA＝5，OB＝12，△BAO旋转后得到△BCD，连接OC，OD，已知OC＝13．

（Ⅰ）求OD的长；

（Ⅱ）求∠AOB的大小．

25．已知抛物线y＝x2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点为P，与x轴的一个交点为B（5，0），与y轴相交于点C（0，﹣5）．

（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点P的坐标；

（Ⅱ）直线x＝m（m是常数，2＜m＜5）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，请写出MG的长w关于m的函数关系式；

（Ⅲ）当m取何值时，w取得最大值，并求出此时点M，G的坐标．

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算（﹣3）+（﹣6）的结果等于（　　）

A．3 B．﹣3 C．﹣9 D．﹣18

【分析】运用有理数加法法则进行计算．

解：（﹣3）+（﹣6）＝﹣（3+6）＝﹣9，

故选：C．

【点评】此题考查了有理数加法的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．

2．cos60°的值等于（　　）

A． B．1 C． D．

【分析】本题求60°角的余弦函数值，需要记住．

解：∵cos60°＝，

故选：A．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特殊角有30°、45°、60°，记住它们的正弦、余弦、正切值是关键．

3．将139 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．1.39×107 B．1.39×108 C．1.39×109 D．13.9×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

解：139000000＝1.39×108．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．

解：A、是中心对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．

5．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据简单组合体的三视图的意义进行判断即可．

解：选项A中的图形比较符合该组合体的俯视图，

故选：A．

【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．

6．估计的值（　　）

A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在3和4之间 D．在2和3之间

【分析】利用完全平方数进行估算，即可解答．

解：∵25＜35＜36，

∴5＜＜6，

∴估计的值在5和6之间，

故选：B．

【点评】本题考查了估算无理数大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．

7．计算的结果是（　　）

A．a﹣1 B． C． D．

【分析】利用分式的减法的法则进行求解即可．

解：

＝

＝．

故选：D．

【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

8．方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

解：，

①×2﹣②得：3y＝12，

解得：y＝4，

把y＝4代入①得：x+8＝14，

解得：x＝6，

则方程组的解为．

故选：A．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

9．若点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（6，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1

【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．

解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣12＜0，

∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．

∵﹣4＜﹣3＜0，

∴点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2）位于第二象限，

∴0＜y1＜y2．

∵6＞0，

∴点C（6，y3）位于第四象限，

∴y3＜0，

∴y3＜y1＜y2．

故选：B．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

10．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是（　　）

A．（4，2） B．（5，2） C．（4，3） D．（5，3）

【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且BC＝OA即可得到结论．

解：如图，在▱OABC中，O（0，0），A（4，0），

∴OA＝BC＝4，

∵BC∥AO，

∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，

∴B（5，2）；

故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质．

11．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E．则下列结论不一定正确的是（　　）

A．AD＝B'C B．AE＝CE 

C．∠DAE＝∠B'CE D．∠DAB'＝∠CAB'

【分析】由折叠可知BC＝B'C，从而可得△ADE≌△CB'E，即可判断不正确的项．

解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，

∴AD＝BC＝B'C，

故A正确，不符合题意；

在△ADE和△CB'E中，

，

∴△ADE≌△CB'E（AAS），

∴AE＝CE，∠DAE＝∠B'CE，

故B、C正确，不符合题意；

而∠DAB'＝∠B'CD，不一定等于∠CAB'，

故D不正确，符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查矩形性质及翻折问题，解题的关键是根据折叠得到△ADE≌△CB'E．

12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：

①abc＞0；

②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；

③a＜﹣．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴﹣＝，判断a，b与0的关系，得到abc＜0，即可判断①；

根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；

根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．

解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，

∴点（2，0）关于直线x＝的对称点的坐标为（﹣1，0），

∵c＞1，

∴抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x＝，

∴ab＜0，

∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，

∴顶点在x轴的上方，

∵a＜0，

∴抛物线与直线y＝a有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），

∴4a+2b+c＝0，

∵b＝﹣a，

∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，

∴﹣2a＝c，

∵c＞1，

∴﹣2a＞1，

∴a＜﹣，故③正确，

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．计算a6÷a2的结果等于　a4　．

【分析】同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此求解即可．

解：a6÷a2＝a6﹣2＝a4．

故答案为：a4．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

14．计算：（+）（﹣）的结果等于　3　．

【分析】利用平方差公式计算．

解：原式＝5﹣2

＝3．

故答案为3．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

15．不透明袋子中装有10个球，其中有5个红球，3个黄球，2个绿球：这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是 　　．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解：∵袋子中共有10个小球，其中黄球有3个，

∴从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率是．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

16．将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为　y＝10x+3　．

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．

解：将直线y＝10x向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为y＝10x+3．

故答案为：y＝10x+3．

【点评】此题主要考查了一次函数的平移，利用一次函数平移的特点，上加下减得出是解题关键．

17．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则AE的长为 　　．

【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DQ∥BC，

∴∠Q＝∠BEF，

∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，

∴△QFA≌△EFB（AAS），

∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，

∵∠EFD＝90°，

∴DF⊥QE，

∴DQ＝DE＝x+2，

∵AE⊥BC，BC∥AD，

∴AE⊥AD，

∴∠AEB＝∠EAD＝90°，

∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，

∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，

整理得：x2+2x﹣3＝0，

解得x＝1或﹣3（舍弃），

∴BE＝1，

∴AE＝＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

18．在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．

（1）线段BC的长等于 　5　；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°，并简要说明画图方法（不要求证明）．

【分析】（1）根据勾股定理可得BC的长；

（2）构建等腰直角△BDC，作矩形BMDN，画对角线交点T，作射线CT，交AB于点E，

解：（1）由勾股定理得：BC＝＝5；

故答案为：5；

（2）取点D，连接CD、BD，取格点M、N，连接MN交BD于点T，连接CT并延长交AB于点E，则∠BCE＝45°．

则点E即为所求．

【点评】本题考查作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．解不等式组．

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣2　；

（Ⅱ）解不等式②，得 　x≤3　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤3　．

【分析】（Ⅰ）解不等式①，得到解集即可；

（Ⅱ）解不等式②，得到解集即可；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来即可；

（Ⅳ）写出不等式组的解集即可．

解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；

（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤3．

故答案为：（Ⅰ）x≥﹣2；（Ⅱ）x≤3；（Ⅳ）﹣2≤x≤3．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

20．为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为　40　，图①中的m值为　25　；

（Ⅱ）求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．

（Ⅲ）根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数．

【分析】（Ⅰ）由1小时的人数及其占总人数的百分比可得总人数，用4小时的人数除以总人数即可求出m；

（Ⅱ）根据众数、中位数及加权平均数的定义可得答案；

（Ⅲ）用总人数乘以每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数所占的百分比即可．

解：（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为：4÷10%＝40（人），

∵m%＝×100%＝25%，

∴m＝25，

故答案为：40，25；

（Ⅱ）∵在这组数据中3小时出现次数最多，有15次，

∴众数为3小时；

在这50个数据中，中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为＝3小时；

平均数是：（1×4+2×8+3×15+4×10+5×3）＝3（小时）；

（ III）根据题意得：

400×＝280（人），

答：根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的约有280人．

【点评】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息．

21．在△ABC中，∠C＝90°．以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．

（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝28°，求∠B的大小；

（2）如图②，若点F为的中点，求∠B的大小．

【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得AC∥OD，即可求得∠CAD＝∠ADO，进而可得∠DAO＝∠ADO＝∠CAD＝28°，问题随之得解；

（2）首先连接OF，OD，由（1）得：AC∥OD，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．

解：（1）连接OD，如图①，

∵BC切⊙O于点D，

∴∠ODB＝90°，

∵∠C＝90°，

∴AC∥OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵OA＝OD，∠CAD＝28°，

∴∠DAO＝∠ADO＝∠CAD＝28°，

∴∠DOB＝∠CAO＝∠CAD+∠DAO＝56°，

∵∠ODB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠DOB＝90°﹣56°＝34°；

（2）如图②，连接OF，OD，

由（1）知AC∥OD，

∴∠OFA＝∠FOD，

∵点F为的中点，

∴，

∴∠AOF＝∠FOD，

∴∠OFA＝∠AOF，

∴AF＝OA，

∵OA＝OF，

∴△AOF为等边三角形，

∴∠FAO＝60°，

∵∠C＝90°，

∴∠B＝30°．

【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质，平行线的性质以及圆周角定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东61°方向上的A处，它沿正南方向航行140nmile后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．求此时海轮距灯塔的距离BP（结果取整数）．参考数据：tan61°≈1.80，取1.414．

【分析】过点P作PC⊥AB于P，设PC＝xnmile，根据等腰直角三角形的性质用x表示出BC，根据正切的定义用x表示出AC，根据题意列出方程，解方程得到答案．

解：过点P作PC⊥AB于P，

设PC＝xnmile，

由题意得，∠A＝61°，∠B＝45°，AB＝140nmile，

在Rt△PCB中，∠B＝45°，

∴BC＝PC＝x（nmile），PB＝PC＝x（nmile），

在Rt△ACP中，∠A＝61°，tanA＝，

则AC＝≈，

由题意得，+x＝140，

解得，x＝90，

则PB＝x≈127（nmile），

答：海轮距灯塔的距离BP约为127nmile．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小明家、体育场、文具店依次在同一条直线上．体育场离家3km，文具店离家1.5km．周末，小明从家出发，匀速跑步15min到体育场；在体育场锻炼15min后，匀速走了15min到文具店；在文具店停留20min买笔后，匀速走了30min返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ））填空：

①体育场到文具店的距离为 　1.5　km；

②小明从家到体育场的速度为 　0.2　km/min；

③小明从文具店返回家的速度为 　0.05　km/min；

④当小明离家的距离为0.6km时，他离开家的时间为 　3或83　min．

（Ⅲ）当0≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数解析式．

【分析】（Ⅰ）由图象分别计算12min、50min、70min时离开家的距离即可；

（Ⅱ）①由图象直接可得答案；

②用路程除以时间即可得速度；

③用路程除以时间即可；

④分两种情况：从家出发离家的距离为0.6km和返回时离家的距离为0.6km，分别列式计算即可；

（Ⅲ）根据路程＝速度×时间，分段列出函数关系式即可．

解：（Ⅰ）由已知得：

离开家的时间是12min时，离开家的距离为×12＝2.4（km），

离开家的时间是50min时，离开家的距离为1.5km，

离开家的时间是70min时，离开家的距离为1.5﹣×（70﹣65）＝1.5﹣0.25＝1.25（km），

故答案为：2.4，1.5，1.25；

（Ⅱ）①体育场到文具店的距离为3﹣1.5＝1.5（km），

故答案为：1.5；

②小明从家到体育场的速度为3÷15＝0.2（km/min），

故答案为：0.2；

③小明从文具店返回家的速度为1.5÷（95﹣65）＝0.05（km/min），

故答案为：0.05；

④当小明离家的距离为0.6km时，他离开家的时间为0.6÷0.2＝3（min）或95﹣0.6÷0.05＝83（min），

故答案为：3或83；

（Ⅲ）当0≤x≤15时，y＝0.2x，

当15＜x≤30时，y＝3，

当30＜x≤45时，y＝3﹣（x﹣30）＝﹣0.1x+6，

综上所述，y＝．

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力．

24．已知点O是△ABC内一点，连接OA，OB，将△BAO绕点B顺时针旋转如图，若△ABC是等边三角形，OA＝5，OB＝12，△BAO旋转后得到△BCD，连接OC，OD，已知OC＝13．

（Ⅰ）求OD的长；

（Ⅱ）求∠AOB的大小．

【分析】（Ⅰ）证明△BOD是等边三角形，可得OD＝OB＝12；

（Ⅱ）利用勾股定理的逆定理证明△ODC是直角三角形，即可求解．

解：（Ⅰ）∵将△BAO绕点B顺时针旋转，

∴△BAO≌△BCD，

∴∠ABO＝∠CBD，BO＝BD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵∠ABO＝∠CBD，

∴∠ABO+∠OBC＝∠CBD+∠OBC，

∴∠OBD＝∠ABC＝60°，

∵BO＝BD，

∴△BOD是等边三角形，

∴OD＝OB＝12；

（Ⅱ）∵△BAO≌△BCD，

∴∠AOB＝∠CDB，AO＝CD＝5，

∵△BOD是等边三角形，

∴∠BDO＝60°，

∵OD＝12，CD＝5，OC＝13，

即132＝52+122，

∴OC2＝CD2+OD2，

∴△ODC是直角三角形，∠ODC＝90°，

∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°，

∴∠AOB＝∠BDC＝150°．

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

25．已知抛物线y＝x2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点为P，与x轴的一个交点为B（5，0），与y轴相交于点C（0，﹣5）．

（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点P的坐标；

（Ⅱ）直线x＝m（m是常数，2＜m＜5）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，请写出MG的长w关于m的函数关系式；

（Ⅲ）当m取何值时，w取得最大值，并求出此时点M，G的坐标．

【分析】（Ⅰ）将B（5，0），C（0，﹣5）代入抛物线y＝x2+bx+c，解方程组求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，求出顶点P的坐标；

（Ⅱ）先用待定系数法求出直线BP的解析式，再求出G，M的坐标，然后用G的纵坐标﹣M的纵坐标即得w关于m的函数关系式；

（Ⅲ）把（Ⅱ）的解析式化为顶点式，由二次函数的性质求最大值时m的值，并求出G，M的坐标．

解：（Ⅰ）将B（5，0），C（0，﹣5）代入抛物线y＝x2+bx+c得：

，

解得，

∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，

∴顶点P的坐标为（2，﹣9），

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；顶点P的坐标为（2，﹣9）；

（Ⅱ）如图所示：

设直线BP解析式为y＝mx+n，

∵P（2，9），B（5，0），

∴，

解得，

∴直线BP解析式为y＝3x﹣15，

∴G（m，3m﹣15），

∵直线x＝m与抛物线相交于点M，

∴M（m，m2﹣4m﹣5），

∵2＜m＜5，

∴GM＝3m﹣15﹣（m2﹣4m﹣5），

即w＝﹣m2+7m﹣10；

（Ⅲ）w＝﹣m2+7m﹣10＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣1＜0，2＜m＜5，

∴当m＝时，w有最大值，最大值为．

此时M（，﹣），G（，﹣）．

∴w最大值为，M（，﹣），G（，﹣）．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式等知识，关键是求出二次函数解析式．