2023年天津市南开区敬业中北中学中考数学结课试卷（含解析）

2023年天津市南开区敬业中北中学中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值(    )

A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间

7.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点则下列结论不一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知抛物线是常数，，经过点，其对称轴是直线有下列结论：
；
关于的方程有两个不等的实数根；
．
其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于          ．

14.  计算：的结果等于______．

15.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个黄球，个绿球：这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出个球，则它是黄球的概率是        ．

16.  将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______ ．

17.  如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，若年，则的长为______ ．

18.  在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别是，，，．
线段的长等于______；
请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明画图方法不要求证明．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______；
Ⅱ解不等式，得______；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为______．

20.  本小题分
为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ该校抽查九年级学生的人数为______ ，图中的值为______ ；
Ⅱ求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
Ⅲ根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的学生人数．
 

21.  本小题分
在中，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，．
如图，连接，若，求的大小；
如图，若点为的中点，求的大小．
 

22.  本小题分
如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向上的处，它沿正南方向航行后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处求此时海轮距灯塔的距离结果取整数参考数据：，取．

23.  本小题分
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、体育场、文具店依次在同一条直线上．体育场离家，文具店离家周末，小明从家出发，匀速跑步到体育场；在体育场锻炼后，匀速走了到文具店；在文具店停留买笔后，匀速走了返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
体育场到文具店的距离为______；
小明从家到体育场的速度为______；
小明从文具店返回家的速度为______；
当小明离家的距离为时，他离开家的时间为______．
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
已知点是内一点，连接，，将绕点顺时针旋转如图，若是等边三角形，，，旋转后得到，连接，，已知．
Ⅰ求的长；
Ⅱ求的大小．

25.  本小题分
已知抛物线是常数的顶点为，与轴的一个交点为，与轴相交于点．
Ⅰ求该抛物线的解析式和顶点的坐标；
Ⅱ直线是常数，与抛物线相交于点，与相交于点，请写出的长关于的函数关系式；
Ⅲ当取何值时，取得最大值，并求出此时点，的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
运用有理数加法法则进行计算．
此题考查了有理数加法的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
本题求角的余弦函数值，需要记住．
本题考查了特殊角的三角函数值．特殊角有、、，记住它们的正弦、余弦、正切值是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故本选项正确；
B.不是中心对称图形，故本选项错误；
C.不是中心对称图形，故本选项错误；
D.不是中心对称图形，故本选项错误；
故选A．
根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转后能够重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项A中的图形比较符合该组合体的俯视图，
故选：．
根据简单组合体的三视图的意义进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
估计的值在和之间，
故选：．
利用完全平方数进行估算，即可解答．
本题考查了估算无理数大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用分式的减法的法则进行求解即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
故选：．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．
，
点，位于第二象限，
．
，
点位于第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，在▱中，，，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
；
故选：．
根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为，
，
故A正确，不符合题意；
在和中，
，
≌，
，，
故B、C正确，不符合题意；
而，不一定等于，
故D不正确，符合题意，
故选：．
由折叠可知，从而可得≌，即可判断不正确的项．
本题考查矩形性质及翻折问题，解题的关键是根据折叠得到≌．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
，
抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，故错误；
抛物线开口向下，与轴有两个交点，
顶点在轴的上方，
，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
抛物线经过点，
，
，
，即，
，
，
，
，故正确，
故选：．
由题意得到抛物线的开口向下，对称轴，，判断，与的关系，得到，即可判断；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在轴上方，即可判断；
根据抛物线经过点以及，得到，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数，因为不能做除数；单独的一个字母，其指数是，而不是；应用同底数幂除法的法则时，底数可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此求解即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式．
利用平方差公式计算即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：袋子中共有个小球，其中黄球有个，
从袋子中随机取出个球，则它是黄球的概率是．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

16.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
此题主要考查了一次函数的平移，利用一次函数平移的特点，上加下减得出是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，

四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或舍弃，
，
，
故答案为：．
延长交的延长线于，连接，设首先证明，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

18.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：；
故答案为：；
取点，连接、，取格点、，连接交于点，连接并延长交于点，则．

则点即为所求．
根据勾股定理可得的长；
构建等腰直角，作矩形，画对角线交点，作射线，交于点，
本题考查作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：Ⅰ；Ⅱ；Ⅳ．
Ⅰ解不等式，得到解集即可；
Ⅱ解不等式，得到解集即可；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来即可；
Ⅳ写出不等式组的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ该校抽查九年级学生的人数为：人，
，
，
故答案为：，；

Ⅱ在这组数据中小时出现次数最多，有次，
众数为小时；
在这个数据中，中位数为第、个数据的平均数，即中位数为小时；
平均数是：小时；

根据题意得：
人，
答：根据统计的样本数据，估计该校九年级名学生中，每周平均课外阅读时间大于的约有人．
Ⅰ由小时的人数及其占总人数的百分比可得总人数，用小时的人数除以总人数即可求出；
Ⅱ根据众数、中位数及加权平均数的定义可得答案；
Ⅲ用总人数乘以每周平均课外阅读时间大于的学生人数所占的百分比即可．
本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息．
 

21.【答案】解：连接，如图，

切于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图，连接，，

由知，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
． 

【解析】连接，由在中，，是切线，易得，即可求得，进而可得，问题随之得解；
首先连接，，由得：，由点为的中点，易得是等边三角形，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质，平行线的性质以及圆周角定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

22.【答案】解：过点作于，
设，
由题意得，，，，
在中，，
，，
在中，，，
则，
由题意得，，
解得，，
则，
答：海轮距灯塔的距离约为． 

【解析】过点作于，设，根据等腰直角三角形的性质用表示出，根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】            或 

【解析】解：Ⅰ由已知得：
离开家的时间是时，离开家的距离为，
离开家的时间是时，离开家的距离为，
离开家的时间是时，离开家的距离为，
故答案为：，，；
Ⅱ体育场到文具店的距离为，
故答案为：；
小明从家到体育场的速度为，
故答案为：；
小明从文具店返回家的速度为，
故答案为：；
当小明离家的距离为时，他离开家的时间为或，
故答案为：或；
Ⅲ当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，．
Ⅰ由图象分别计算、、时离开家的距离即可；
Ⅱ由图象直接可得答案；
用路程除以时间即可得速度；
用路程除以时间即可；
分两种情况：从家出发离家的距离为和返回时离家的距离为，分别列式计算即可；
Ⅲ根据路程速度时间，分段列出函数关系式即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力．
 

24.【答案】解：Ⅰ将绕点顺时针旋转，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
Ⅱ≌，
，，
是等边三角形，
，
，，，
即，
，
是直角三角形，，
，
． 

【解析】Ⅰ证明是等边三角形，可得；
Ⅱ利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：Ⅰ将，代入抛物线得：
，
解得，
，
顶点的坐标为，
抛物线的解析式为；顶点的坐标为；
Ⅱ如图所示：

设直线解析式为，
，，
，
解得，
直线解析式为，
，
直线与抛物线相交于点，
，
，
，
即；
Ⅲ，
，，
当时，有最大值，最大值为．
此时，
最大值为，， 

【解析】Ⅰ将，代入抛物线，解方程组求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，求出顶点的坐标；
Ⅱ先用待定系数法求出直线的解析式，再求出，的坐标，然后用的纵坐标的纵坐标即得关于的函数关系式；
Ⅲ把Ⅱ的解析式化为顶点式，由二次函数的性质求最大值时的值，并求出，的坐标．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式等知识，关键是求出二次函数解析式．