人教版 八年级下册数学 同步复习 第3讲 二次根式的加减 讲义

知识点01  整式知识点回顾

1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。

3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 

5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

知识点02  同类二次根式

将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。

合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如

注意：

(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.

(3)互为同类二次根式，即表示两个或者多个二次根式可以合并；

知识点03  二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：

（1）将各个二次根式化成最简二次根式；

（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；

（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：

化简→判断→合并。

二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：

注：

（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；

（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；

（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。

知识点04  二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。

在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。

注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。

重难点突破

重1 同类二次根式的概念

例1.  下列二次式中，化简后被开方数与的被开方数相同的是（   ）

A． B． C． D．

变式1-1 若可以合并为一项，则可以是（       ）

A．6 B．12 C．15 D．18

变式1-2下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

变式1-3下列各式，化简后能与合并的是（　　）

A． B． C． D．

变式1-4如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

变式1-5若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为(    )

A．- B． C．1 D．-1

重点2 二次根式的加减

例2.  计算：

(1)           （2）           （3）

变式2-1：列计算结果正确的是(    )

A．＋＝       B．3－＝3        C．×＝      D．＝5

变式2-2：下列运算正确的是（   ）

A．+ = B．3﹣2=1

C．2+=2 D．a﹣b =（a﹣b）

变式2-3：下列运算中错误的是（  ）

A． B． C． D．

变式2-4：计算（    ）

A．7 B．-5 C．5 D．-7

变式2-5：计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

变式2-6：计算：（1）        （2）|       （3）

重点3 根据同类二次根式的定义求字母的值

例3.  已知最简二次根式与可以进行合并，则m的值等于_____．

变式3 若最简根式与是同类二次根式，则m＝___．

重点4 二次根式的整数部分和小数部分

例4.已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a＋b＝_________．

变式4  a是的整数部分，b是的小数部分，则_______；

重点5 分母有理化

例5.已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（    ）

A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2

变式5-1：的值是(　　)

A． B． C．1 D．

重点6 二次根式与乘法公式

例6.已知，则代数式的值是(    )

A． B． C．1 D．2

变式6-1：已知x=+1,y=-1,则的值为（   ）

A．20 B．16 C．2 D．4

变式6-2：已知a＝＋2，b＝－2，求下列代数式的值：

(1)a2b＋b2a；                  (2)a2－b2.

变式6-3：已知x＝，y＝，求的值．

重点7 二次根式混合计算

例7.计算

（1）（）2﹣（﹣）（）           （2）（）﹣（﹣）

变式7-1：化简求值：（1）-×+；         （2）．

（3）计算：(.

重点8.二次根式加减的应用

例8.如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（       ）

A．7 B． C．7 D．

变式 把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分的面积和是（       ）

A． B．8 C． D．

题组A  基础过关练

1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ）

A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2

2．下列运算正确的是（   ）

A． + = B．=4 C．=2× D．=﹣2

3．下列运算正确的是（    ）

A．       B．     C．      D．

4．下列计算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．式子的倒数是（    ）

A． B． C． D．

6．若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　）

A． B．± C． D．±

7．比较的大小，正确的是（  ）

A． B．

C． D．

8．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中结果正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．计算：（3－2）2020（3＋2）2021的结果是（　　）

A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021

题组B  能力提升练

1．与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．

2．计算：______．     =________________ .

3．当x=2+时，式子x2﹣4x+2017=________．

4．化简的结果为_____．

5．已知x=+1，y=-1，则x2+xy+y2=_____．

6．已知，，则的值是______．

7．若+=+，=-，则x+y=_______．

8.观察下列运算过程：

……

请运用上面的运算方法计算：

=_____．

题组C  培优拔尖练

1．计算：（1）÷－×÷；        （2）×＋；

（3）－÷×；                    （4）（3＋－4）÷；