人教版 八年级下册数学 同步复习 第12讲 正比例函数 讲义

知识点01  正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）是的正比例函数；

（2）（为常数且≠0）；

（3）若与成正比例；

（4）（为常数且≠0）.

【注意】

（1）正比例函数的形式中，自变量x的指数为1；

（2）正比例函数的形式中，不含常数项，若有该项，则该项为0，例如 是正比例函数，则b=0；

知识点02  正比例函数的图象与性质

正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.

【注意】

要牢记k＞0时的函数图像，在运用时，往往会有其他表述，如y随x的增大而增大，意为k＞0；经过一三象限意为k＞0；同理k＜0.要会将题目中的文字叙述转化为具体的图像形式理解题意。

知识点03  待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.

【注意】

（1）待定系数法是求正比例函数解析式的方法，实际在求k的值；

（2）求一个未知数，只需要一个方程，故只需要在函数图像上的一个点的坐标，将横坐标代入x，纵坐标代入y，即可得出一个一元一次方程，解出k，再代入原正比例函数的解析式，即可求得；

重点1 正比例函数的概念

例1.  下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（            ）

A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝

变式1-1 若y与x成正比例，则y与x之间的关系是(　　)

A．y＝kx B．y＝kx(k≠0) C．y＝(k≠0) D．无法确定

变式1-2 若y=x+2–b是正比例函数，则b的值是(     )

A．0 B．–2 C．2 D．–0.5

变式1-3 若函数是正比例函数，则的值为（　　）

A．1 B．0 C． D．

重点2 正比例函数的图象

例2．画出下列正比例函数的图象：

（1）；               （2）．

 【分析】根据列表-描点-连线的方法画图，函数图象经过原点．

 解：（1）函数中自变量x可为任意实数．表中是y与x的几组对应值．

如图，在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线它就是函数的图象．

用同样的方法，可以得到函数的图象（如图）．它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线．

（2）

例3．如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．

【变式】如图， 在平面直角坐标系中， 正方形的边长为， 轴， 点的坐标为，若直线与正方形有两个公共点， 的取值范围是__________.（写出一个即可）

例4.直线必过的点是（       ）

A． B． C． D．

变式4-1 若正比例函数的图象经过点，则的值为（　　）

A． B． C． D．

变式4-2 如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 __．

重点3 正比例函数的性质

例5.下列图象中，表示正比例函数图象的是(　 　)

A． B． C． D．

变式5-1 若某正比例函数过，则关于此函数的叙述不正确的是（       ）．

A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数值随自变量的增大而减小

C．函数图象关于原点对称 D．函数图象过二、四象限

变式5-2 设正比例函数的图象经过点，且的值随x值的增大而减小，则（ ）

A．2 B．-2 C．4 D．-4

变式5-3 若函数是正比例函数，且图像在一、三象限，则_________．

重点4 求正比例函数的解析式

例6.已知y与x成正比例函数，当x＝1时，y＝2.求：

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)求当x＝－1时的函数值；

(3)如果当y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．

变式6-1 已知正比例函数图象经过点（2，－4）．

（1）求这个函数的解析式；

（2）图象上两点A（，）、B（，），如果，比较，的大小．

变式6-2 已知y与x+3成正比例，且当x=1时，y=8

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若点（a，6）在这个函数的图象上，求a的值.

重点5  利用正比例函数的定义求字母的值

例7.若为正比例函数，则a的值为(     )

A．4 B． C． D．2

变式7-1 若是正比例函数，则b的值是（　　）

A．0 B． C． D．

变式7-2 若函数是正比例函数，则下列叙述正确的是（       ）

A． B． C． D．y随x的增大而增大

重点6  正比例函数的图象和性质的运用

1. 求字母的值（或取值范围）

例8.已知自变量为x的函数y＝mx＋2－m是正比例函数，则m＝________，该函数的解析式为________．

变式6  已知点A（a，m）和点B（﹣a﹣2，n）都在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则m+n的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6

2. 比较比例系数的大小

例9.如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（       ）

A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m

变式9-1 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（       ）

（例9图）         （变式9-1图）

A．       B．          C．     D．

3. 确定函数解析式

例10.已知y与2x－1成正比例，当x＝3时，y＝10

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当y＝－2时，求x的值．

变式10-1 已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．

（1）求y与x之间的函数解析式．

（2）当x＝2时，求y的值．

（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系．

变式10-2 在平面直角坐标系中，有点A（a+1，-6），B（2a-3，-a-5）；

（1）当点B在第二、四象限角平分线上时，求B点坐标．

（2）若线段AB∥x轴，求A、B两点坐标．

（3）在（2）的条件下，求经过点B和坐标原点O的函数解析式．

4. 综合应用

例9.已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3．

（1）求点A坐标及此正比例函数解析式；

（2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．

变式：如图，在平面直角坐标系中，点M是直线上的动点，过点作轴，交直线于点，当时，设点的横坐标为，求的取值范围．

5.待定系数法求正比例函数的解析式 

例10．写出图中直线所对应的函数表达式．

变式10-1.已知正比例函数．

（1）若函数图象经过一、三象限，求的取值范围；

（2）若点在函数图象上．求该函数的表达式．

变式10-2 在平面直角坐标系中，有点A（a+1，-6），B（2a-3，-a-5）；

（1）当点B在第二、四象限角平分线上时，求B点坐标．

（2）若线段AB∥x轴，求A、B两点坐标．

（3）在（2）的条件下，求经过点B和坐标原点O的函数解析式．

6.正比例函数的应用 

例11.小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，而且当时，．试用h表示t，并分别求当和时，小球落地所用的时间．

变式11-1已知蜡烛燃烧时长度的变化与时间成正比例关系，一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后变短了．

（1）求函数y关于自变量x的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）画出此函数的图象．

变式11-2甲、乙两地相距20千米，小明上午8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速8千米/小时；小丽上午10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40千米/小时．

（1）分别写出两人所走路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；

（2）求谁先到达乙地？

7.正比例函数与几何问题

例12（1）如图，在矩形中，，若正比例函数的图象经过点C，则k的值为（       ）

A． B． C． D．5

（2）如图，点C、D分别在两条直线y＝kx和上，点A(0，2)，B点在x轴正半轴上．已知四边形ABCD是正方形，则k＝（       ）

A． B． C． D．

（3）如图，点坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

变式12-1  如图，点B、C分别在直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为（       ）

   A． B．1 C． D．不能确定

变式12-2如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右依次记为A1、A2、A3、…、An，已知第1个正方形中的一个顶点A1的坐标为(1，1)，则点A2019的纵坐标为(       )

A．2019 B．2018 C．22018 D．22019

   （变式12-1图）   （变式12-2图）

1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（            ）

A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝

2．已知是正比例函数，则m的值是(　　)

A．8 B．4 C．±3 D．3

3．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（       ）

A．      B．       C．      D．

4．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（     ）

A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞

5．关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　）

A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大

C．图象经过第二、四象限 D．当x＝时，y＝1

6．正比例函数y＝(n＋1)x图象经过点(2,4)，则n的值是(　　)

A．－3 B．－ C．3 D．1

7．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2

8．若某正比例函数过，则关于此函数的叙述不正确的是（       ）．

A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数值随自变量的增大而减小

C．函数图象关于原点对称 D．函数图象过二、四象限

9．函数y＝－7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．

函数y＝7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．

10．若函数y=（k+1）x+k2-1是正比例函数，则k的值为________．

11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 __．

12．若，则关于函数的结论：①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③y恒为正值；④y恒为负值.正确的是________.（直接写出正确结论的序号）

13．已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的减小而减小，则k的值为________．

14．已知与成正比,且当时, ，则y与x的关系式是_______.

15．正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是___________________ ．

16．已知点在直线上，若点的纵坐标大于3，则的横坐标的取值范围是________.

17．已知代数式T = （ - ） ÷ .若点A（a，b）在直线 y= 3x上，求T的值.

18．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；

（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；

（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；

（3）k　　，y随x的增大而减小；

（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．

19．已知正比例函数图象经过（﹣2，4）．

（1）如果点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，求a，b的值；

（2）过图象上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，S△OPQ＝，求Q的坐标．