人教版 八年级下册数学 同步复习 第5讲 勾股定理的应用 讲义

类型十一、勾股定理与无理数 

例11．如图，△ABC的边BC在数轴上，点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，AB为半径的圆弧交数轴于点D，则点D所表示的数为_________．

变式11-1 为了比较与+1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通过计算可得__+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）

变式11-2如图，为原点，点，分别表示，2，以为底边在数轴上方作等腰三角形，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，若，则点表示的实数为__________．

类型十二、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用） 

例12．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端距离地面的距离为，底端远离墙的距离为，当它的顶端下滑时，底端在地面上水平滑行的距离是______.

变式12-1生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图，AB为一长度为6米的梯子．

（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？（温馨提示：≈1.414）

（2）如图2，若梯子底端向左滑动使OD=3米，那么梯子顶端将下滑多少米？（结果保留1位小数）

变式12-2如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝3m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度．（结果保留根号）[补充：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半]

类型十三、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用） 

例13．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

变式13-1 如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）

变式13-2如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高米，另一棵树高米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

类型十四、求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 

例14．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC=4尺，求AC的长．

变式14-1如图，马路一边有一根长的电线杆被一辆货车从离地面处撞断裂，倒下的电线杆顶部是否会落在离它底部远的快车道上？说明理由．

变式14-2如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？

类型十五、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 

例15．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

变式15-1如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（　　）尺

A．8 B．10 C．13 D．12

变式15-2如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为 （    ）

A．米 B．3米 C．4米 D．12米

类型十六、解决航海问题（勾股定理的应用） 

例16．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（    ）

A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里

变式16-1如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（   ）

A．1500m B．1200m C．1000m D．800m

变式16-2如图，一艘轮船以的速度从港口出发，向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口出发，向东南方向航行，出发后，两船的距离是（    ）

A． B． C． D．

类型十七、求河宽（勾股定理的应用） 

例17．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是____m．

变式17-1如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需_____天才能把隧道凿通．

变式17-2如图，某人欲从点A处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度为________m.

（变式17-1图）        （变式17-2图）

类型十八、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用） 

例18．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要______元．

变式18-1如图，台阶阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是____________．

变式18-2一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要______平方米．

（变式18-1图）        （变式18-2图）

类型十九、判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 

例19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

（1）求的度数；

（2）海港受台风影响吗？为什么？

变式19-1如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且ACAB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?

变式19-2为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播．如图，小明家在南街这条笔直公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以400米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．

类型二十、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用） 

例20．铁路上A、B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点B（如图）．已知，，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．

变式20-1  11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？

变式20-2小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．

1.如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是　　

A．20 B．25 C．30 D．32

2．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）

A．4米 B．5米 C．6米 D．7米

3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）

A． B． C． D．

4．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（     ）．

A． B． C． D．

5.如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）

A．+1 B．-1 C．-+1 D．--1

6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.

7．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．

8．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是____________．

9．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.

（1）试说明；

（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.

10.如图，把长方形沿AE对折后点D落在BC边的点F处，BC＝5cm，AB＝4cm，

求：（1）CF的长；     （2）EF的长．

11．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，

（1）求证：△AOC≌△BOD；        （2）若AD=3，BD=1，求CD．

12．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？