2023年山东省枣庄市滕州实验高级中学中考数学模拟试卷+

这是一份2023年山东省枣庄市滕州实验高级中学中考数学模拟试卷+，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省枣庄市滕州实验高级中学中考数学模拟试卷
一、单选题
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（3分）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（　　）
A．17 B．18 C．19 D．16
3．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（　　）

A． B．2 C．5 D．
5．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，点E是矩形内部一动点，且∠BEC＝90°，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（　　）

A．8 B．4 C．10 D．4﹣2
6．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）

A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
7．（3分）已知关于x的一元二次方程4x2﹣（4k﹣2）x+k2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≠0 B． C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，AF＝4，AB＝3，则CE的长为（　　）

A． B．2 C． D．1
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF＝x，EP＝y，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（3分）计算：（﹣10）×（﹣）﹣+（﹣1）2023＝　 　．
12．（3分）因式分解：x4y﹣9y＝　 　．
13．（3分）为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目测点D到地面的距离DG＝1.7米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为 　 　米．

14．（3分）如图，点A的坐标为（﹣5，0），直线y＝x+t与坐标轴交于点B，C，连接AC，如果∠ACD＝90°，则t＝　 　．

15．（3分）如图，⊙A过点O（0，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，∠OBD＝30°，则C点坐标是 　 　．

16．（3分）若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　．
三、解答题
17．计算：．
18．某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率．
19．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　．
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．

21．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
22．如图，已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A坐标（1，6），点B坐标（﹣3，m）．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若点P为直线AB上一点，当AP＝2BP时，求点P的坐标．

23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点．点F在弧AD上，过点F作⊙O的切线交CD的延长线于点G，交BA的延长线于点P，BF与CD交于点H．
（1）求证：∠G＝2∠B；
（2）若⊙O的半径为4，，求BF的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段BC于M，过点P作x轴的垂线交线段BC于N，求△PMN的周长的最大值．
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、单选题
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．
解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2．（3分）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（　　）
A．17 B．18 C．19 D．16
【分析】根据题意可得，关系式为：5×答对的题数﹣1×其余题数≥85，进而得出答案．
解：设小明答对了x道题．
则：5x﹣1×（20﹣x）≥85，
解得：x≥17.5，
∴小明至少答对了18道题．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到相应的不等关系是解决问题的关键，
3．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．
解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A错误；
|a|＞|b|，故B错误；
a+b＜0，故C错误；
＜0，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（　　）

A． B．2 C．5 D．
【分析】作DE⊥AB于点E，设DE长为x，有tanA＝及tan∠ABD＝求出EA与BE长度，再由勾股定理求解．
解：作DE⊥AB于点E，

设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数及勾股定理，通过作辅助线求解．
5．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，点E是矩形内部一动点，且∠BEC＝90°，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（　　）

A．8 B．4 C．10 D．4﹣2
【分析】根据∠BEC＝90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE进行转化．
解：设点O为BC的中点，由题意可知，点E在以BC为直径的半圆O上运动，
作半圆O及线段BC关于AB的对称图形（半圆O'），点O的对称点为O'，点E的对称点为E'，
连接O′E′，PE′，则PE＝PE'，
易知当点D，P，E'，O'共线时，PD+PE的值最小，为DE'的长，
如图所示，

在Rt△DCO'中，CD＝AB＝8，CO'＝6，
∴DO'＝10，
又∵O'E'＝2，
∴DE'＝DO'﹣O'E'＝8，即PD+PE的最小值为8．
故选：A．

【点评】本题考查线段和最短问题，轴对称的性质，以及圆周角定理等知识，解题的关键是将PE进行转化．
6．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）

A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5＝7，即顶点C的坐标（7，3）．
解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∵AB在x轴上，
∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，
又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0＝2，
∴C点横坐标为2+5＝7，
∴即顶点C的坐标（7，3）．
故选：C．
【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程4x2﹣（4k﹣2）x+k2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≠0 B． C． D．
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．由方程有实数根即Δ＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于k的不等式，解不等式即可得答案．
解：∵关于x的一元二次方程4x2﹣（4k﹣2）x+k2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即[﹣（4k﹣2）]2﹣4×4×k2≥0，
解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，AF＝4，AB＝3，则CE的长为（　　）

A． B．2 C． D．1
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质、勾股定理，可以得到EF的长，再根据全等三角形的判定与性质可以得到EF＝EC，从而可以求得EC的长．
解：连接DE，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴AD∥BC，AB＝DC＝3，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠AED＝∠DEC，
∵DF⊥AE，DC⊥BC，
∴DF＝DC，
∵AF＝4，DC＝3，
∴DF＝3，
∴AD＝＝＝5，
∴AE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝5﹣4＝1，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴EF＝EC，
∴EC＝1，
故选：D．

【点评】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求得EF＝EC，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF＝x，EP＝y，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接AE、OE、AO，如图，先利用勾股定理计算出OA＝2，再利用四边形APEF为矩形得到EP＝AF＝y，则x2+y2＝AE2，即＝AE，所以当AE的值最小时，的值最小，由于AE≥OA﹣OE（当且仅当O、E、A共线时取等号），所以AE的最小值为2﹣2，从而得到的最小值．
解：连接AE、OE、AO，如图，
∵四边形ABCD为正方形，CD为半圆O的直径，
∴∠CDA＝∠BAD＝90°，OD＝2，AD＝4，
∴OA＝＝2，
∵EF⊥DA，EP⊥AB，
∴四边形APEF为矩形，
∴EP＝AF＝y，
∴EF2+EP2＝EF2+AF2＝x2+y2＝AE2，
即＝AE，
当AE的值最小时，的值最小，
∵AE≥OA﹣OE（当且仅当O、E、A共线时取等号），
∴AE的最小值为2﹣2，
即的最小值为2﹣2．
故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和正方形的性质．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，
∴②说法错误，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴④说法正确；
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴⑤说法正确，
∴正确的为④⑤，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
二、填空题
11．（3分）计算：（﹣10）×（﹣）﹣+（﹣1）2023＝　0　．
【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．
解：原式＝5﹣4﹣1
＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）因式分解：x4y﹣9y＝　y（x2+3）（x2﹣3）　．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
解：x4y﹣9y
＝y（x4﹣9）
＝y（x2+3）（x2﹣3）．
故答案为：y（x2+3）（x2﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，解题根据是熟练掌握运用提取公因式和平方差公式进行因式分解．
13．（3分）为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目测点D到地面的距离DG＝1.7米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为 　10.7　米．

【分析】根据题意得出△DEF∽△DCA，进而根据相似三角形的性质即可求解．
解：依题意，∠ADC＝∠FDE，∠FED＝∠ACD＝90°，
∴△DEF∽△DCA，
∴，
∵DE＝0.6米，EF＝0.3米，DC＝18米，
∴（米），
∴AB＝AC+DG＝AC+BC＝10.7（米），
故答案为：10.7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（3分）如图，点A的坐标为（﹣5，0），直线y＝x+t与坐标轴交于点B，C，连接AC，如果∠ACD＝90°，则t＝　﹣　．

【分析】由直线y＝x+t与坐标轴交于点B，C，得B点的坐标（﹣t，0），C点的坐标为（0，t），由A点的坐标为（﹣5，0），∠ACD＝90°，用勾股定理列出方程求出n的值．
解：∵直线y＝x+t与坐标轴交于点B，C，
∴B点的坐标为（﹣t，0），C点的坐标为（0，t），
∵A点的坐标为（﹣5，0），∠ACD＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵AC2＝AO2+OC2，BC2＝OB2+OC2，
∴AB2＝AO2+OC2+OB2+OC2，
即（﹣t+5）2＝52+t2+（﹣t）2+t2
解得t1＝﹣，t2＝0（舍去），
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理列出方程求t．
15．（3分）如图，⊙A过点O（0，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，∠OBD＝30°，则C点坐标是 　（，0）　．

【分析】连接DC，根据90°的圆周角所对的弦是直径可得：DC是⊙A的直径，再根据同弧所对的圆周角定理可得∠OBD＝∠OCD＝30°，然后在Rt△ODC中，利用锐角三角函数的定义求出OC的长，即可解答．
解：连接DC，

∵∠DOC＝90°，
∴DC是⊙A的直径，
∵∠OBD＝30°，
∴∠OBD＝∠OCD＝30°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝，
∴点C的坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（3分）若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　3　．
【分析】分别解不等式组和分式方程，从而得到a的范围，进而取得a的整数，即可解答．
解：，
整理得：，
∵不等式组无解，
∴a≤2，
由得：
x＝﹣2a﹣1，
∵方程得解为负数，
∴﹣2a﹣1＜0，
∴，
当a＝0时，x＝﹣1，分式方程无解，
∴且a≠0，
∴，且a≠0，
∴a的整数解为：1，2，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：1+2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的解，注意分式方程取增根的情况和明确不等式组解集的取法是解题的关键．
三、解答题
17．计算：．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝[+]•
＝•
＝．
【点评】此题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含二队和三队的结果数，然后根据概率公式求解．
解：设一队，二队，三队，四队四个队分别用A，B，C，D表示，根据题意，画出树状图，如下：

共有12种等可能结果，其中抽到二队和三队比赛的有2种，
∴抽到二队和三队比赛的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　　．
（2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据已知等式括号外的分数和括号内的分数的规律得第六个等式；
（2）根据（1）的规律列等式，再由分式的化简证明．
解：（1）；
（2）；
证明：∵左边＝＝＝右边，
∴原等式成立．
【点评】本题考查了数字的规律变化，分式的化简；找到等式中分数的变化规律是解题关键．
20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．

【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∵∠BAC＝90°，tan∠ABC＝＝2，
设BC＝m，则AC＝2m，
∴×m×2m＝40，
∴m＝2（负根已经舍去），
∴AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝10，
∴BD＝BC＝5，
∴菱形ADBF的周长为20．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
21．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得，，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
22．如图，已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A坐标（1，6），点B坐标（﹣3，m）．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若点P为直线AB上一点，当AP＝2BP时，求点P的坐标．

【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式即可；
（2）根据图象即可确定y1＞y2时，x的取值范围．
（3）分情况讨论：①若P在线段AB上，②当点P在B点的下方时，分别构造相似三角形，根据相似三角形的性质求出点P坐标即可．
解：（1）把点A（1，6）代入，
得n＝1×6＝6，
∴反比例函数的表达式为，
把点B坐标（﹣3，m）代入，
得，
∴B（﹣3，﹣2），
把点A（1，6），点B（﹣3，﹣2）代入y1＝ax+b，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y1＝2x+4；
（2）∵一次函数及反比例函数的图象交于点A（1，6），点B（﹣3，﹣2），
根据图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为x＞1或﹣3＜x＜0；
（3）①若P在线段AB上，如图所示：
过点B作平行于x轴的直线BK，过点P作PM⊥BK于点M，过A点作AN⊥BK于点N，
则∠PMB＝∠ANB＝90°，
设P（a，2a+4），
∵B（﹣3，﹣2），A（1，6），
∴PM＝2a+4+2＝2a+6，AN＝6+2＝8，
∵∠PBM＝∠ABN，
∴△PBM∽△ABN，
∴，
∵AP＝2BP，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴P点的坐标为；
②当点P在B点的下方时，如图所示：
过点A作直线AQ⊥x轴，过点B点BE⊥AQ于点E，过点P作PF⊥AQ于点F，
则∠AEB＝∠AFP＝90°，
设P（a，2a+4），则BE＝1+3＝4，PF＝1﹣a，
∵∠BAE＝∠PAF，
∴△ABE∽△APF，
∴，
∵AP＝2BP，
∴，
∴，
解得a＝﹣7，
∴2a+4＝2×（﹣7）+4＝﹣10，
∴P点的坐标为（﹣7，﹣10），
综上所述，P点的坐标为或（﹣7，﹣10）．


【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点．点F在弧AD上，过点F作⊙O的切线交CD的延长线于点G，交BA的延长线于点P，BF与CD交于点H．
（1）求证：∠G＝2∠B；
（2）若⊙O的半径为4，，求BF的长．

【分析】（1）连接OF，易得OF⊥PG，AB⊥CG，可得∠G＝∠POF，圆周角定理，得到∠AOF＝2∠B，即可得证；
（2）连接AF，得到∠AFB＝90°，根据∠G＝∠POF，得到，求出PF，PO，进而求出AP的长，证明△PFA∽△PBF，求出AF，BF的数量关系，再利用勾股定理进行求解即可．
【解答】（1）证明：连接OF，

∵GF为⊙O的切线，
∴OF⊥GF，
∴∠OFP＝90°，
∴∠AOF+∠P＝90°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点，
∴AE⊥CD，
∴∠PEG＝90°，
∴∠G+∠P＝90°，
∴∠G＝∠AOF＝2∠B；
（2）解：∵⊙O的半径为4，
∴AB＝8，OF＝4，
∵∠G＝∠AOF，
∴，
在Rt△OFP中，，
设PF＝3x，OP＝5x，则：，
∴x＝1，
∴PF＝3，OP＝5，
∴AP＝OP﹣OA＝1；
连接AF，则：∠AFB＝90°，

∴∠PFA＝∠OFB＝90°﹣∠AFO，
∵OB＝OF，
∴∠B＝∠OFB，
∴∠PFA＝∠B，
∵∠P＝∠P，
∴△PFA∽△PBF，
∴，
∴BF＝3AF，
在Rt△AFB中，AB2＝AF2+BF2＝AF2+（3AF）2＝10AF2＝64，
∴或（舍掉），
∴．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段BC于M，过点P作x轴的垂线交线段BC于N，求△PMN的周长的最大值．
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案；
（2）利用铅垂高求出PN的最大值，再根据△PMN∽△OBC，利用相似三角形的周长比等于相似比可得答案；
（3）设N（1，n），M（x，y），根据中点坐标公式，结合分类讨论思想可得答案．
解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣；
（2）如图，抛物线y＝﹣与y轴交点C（0，2），
∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，
∴PM∥OB，∠MPN＝∠BOC＝90°，
∴∠PMN＝∠CBO，
∴△PMN∽△OBC，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，

则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣+2，
设P（x，﹣），则N（x，﹣+2），
∴PN＝﹣，
当x＝时，PN的最大值为，
∴＝，
∴△PMN周长的最大值为；
（3）存在，
由题意得，B（3，0），C（0，2），
设N（1，n），M（x，y），
①当四边形CMNB是平行四边形时，
，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣）；
②当四边形CNBM是平行四边形时，
，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③当四边形CNMB是平行四边形时，
，
∴x＝4，
∴M（4，﹣），
综上所述，M（2，2）或（4，﹣）或（﹣2，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解决平行四边形问题的关键．