2023年安徽省亳州市涡阳县中考数学联考试卷（4月份）（含解析）

2023年安徽省亳州市涡阳县中考数学联考试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据中国铁路月日发布的新闻稿，年铁路春运圆满结束，全国铁路累计发送旅客人次，数用科学记数法记为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，从左面看三棱柱得到的图形是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，电路图上有个电源，个开关和个完好的小灯泡，随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7.  一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 与的函数关系式是
B. 当时，
C. 当时，
D. 当电阻越大时，该台灯的电流也越大

8.  为执行“两免一补”政策，某地区年投入教育经费万元，预计年投入万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于、两点，下列结论：；；抛物线与轴的另一个交点是；方程有两个相等的实数根；当时，有，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，为边上一动点，交于点，连接，设，，则能表示与之间的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  计算： ______ ．

13.  若一元二次方程有两个相等的实数根，则        ．

14.  等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当        填度数度时，可以取最大值，最大值等于        ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：；
．

16.  本小题分
如图，在平面坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
请在图中，画出将绕点逆时针旋转得到的；
以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中轴右侧，画；
______．

17.  本小题分
观察下列等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式
写出你猜想的第个等式：用含的等式表示，并证明．

18.  本小题分
如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，已知，．
求直线和双曲线解析式；
根据图象直接写出不等式的解集．

19.  本小题分
如图，热气球的探测器显示，从热气球看广播电视塔顶部的仰角为，看这个广播电视塔底部上方处点的俯角为，热气球与广播电视塔的水平距离为，求这个广播电视塔的高度结果保留整数参考数据：，

20.  本小题分
如图，内接于，为的直径，的平分线交于点，连接
过点作于点，过点作于点，求证：；
若，求证：．

21.  本小题分
某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为        ，并补全条形统计图；
该校共有学生人，请你估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数；
对视力“非常重视”的人有，两名男生，其中是七年级学生，是八年级学生；，两名女生，其中是八年级，是九年级若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请求出恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率．
 

22.  本小题分
某超市以元个的价格购进一批冬奥会吉祥物，当以元个的价格出售时，每天可以售出个为了促销，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，经调查发现，当售价每降低元时，每天可多卖出个吉祥物．
设该吉祥物的售价降低了元，每天的销售量为个，直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围．
设销售这种吉祥物一天可获利润为元，求与之间的函数关系式．
这种吉祥物的售价定为每个多少元时，商店每天获得的利润最大？

23.  本小题分
如图，中，，，为边上一动点不与、重合，和的垂直平分线交于点，连接、、和，与相交于点，设．
请用含的代数式表示的度数；
求证：∽；
若，求：的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
由负有理数绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
运用科学记数法的表示形式为即可求出答案．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看是一个矩形．
故选：．
根据左视图的定义即可判断．
本题考查三视图，熟练掌握三视图的定义，是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为，
即，
故选：．
先将函数解析式化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中随机闭合个开关，小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，共种，
随机闭合个开关，小灯泡发光的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和随机闭合个开关，小灯泡发光的的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是等腰直角三角形，，，，
，，
的面积，的面积，
阴影部分的面积，
的面积与阴影部分的面积比为：．
故选：．
发布期间两个等腰直角三角形端点面积，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为：，把代入得：
，则，故此选项符合题意；
B.当时，，故此选项不合题意；
C.当时，，故此选项不合题意；
D.当电阻越大时，该台灯的电流也越小，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
故选：．
利用预计该地区年投入教育经费的金额该地区年投入教育经费的金额这两年投入教育经费的年平均增长百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴为直线，
，
，故正确；
抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，
，，
，
，故错误；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点，
另一个交点坐标为，故错误；
从图象可以知道，抛物线顶点为，
抛物线与直线有且只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，故正确；
由图象可知，当时，，故错误；
故选：．
根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作交延长线于点，

，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，且函数图象是抛物线，
故选：．
过点作交延长线于点，根据等腰直角三角形的性质用表示出，根据三角形的面积公式求出函数解析式，根据二次函数的性质得出函数图象，判断即可．
本题考查的是动点问题的函数图象，掌握等腰三角形的性质、二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式


，
故答案为：．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】   

【解析】解：如图一，连接、．

是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
∽，
．
，
如图二，

点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，
当、、在同一直线上最长，
，
故答案为：，．
连接、先证明∽，则，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可．
本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

15.【答案】解：


．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
这个不等式的解为． 

【解析】根据实数的混合运算法则，先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方、乘法，最后计算加减．
通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为解决此题．
本题主要考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元一次不等式，熟练掌握实数的混合运算法则、特殊角的三角函数值、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

作于，如图，
，，
，
即．
故答案为．
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
取、、的中点即可；
利用网格特点作格点，，然后根据正切的对应求解．
本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．也考查了旋转变换．
 

17.【答案】解：第个等式：，
猜想的第个等式，
证明：左边右边，
等式成立． 

【解析】根据题目中给出的式子，可以发现规律，然后即可写出第个等式；
根据中的发现，可以写出相应的猜想，然后再证明即可．
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键时发现数字的变化特点，写出相应的等式．
 

18.【答案】解：点，在反比例函数图象上，
，即，
，
把，代入得，
解得，
，．
由图象可得反比例函数图象在直线上方时，，或．
的解集为，或． 

【解析】由点坐标可得反比例函数解析式，进而求得点坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式．
根据图象中反比例函数图象在一次函数图象上方的取值范围求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
 

19.【答案】解：由题意可知：，，，，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即这个广播电视塔的高度约为． 

【解析】在直角三角形中和直角三角形中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

20.【答案】证明：连接，如图，

是的平分线，
，
，
．
为的直径，
，
．
，
，
．
在和中，
，
≌，
；
过点作于点，如图，

，，
，．
，
．
为的直径，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】连接，利用全等三角形的判定与性质通过证明≌，即可得出结论；
过点作于点，利用相似三角形的判定与性质，通过证明∽，即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆心角，弧，弦之间的关系定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：调查的学生人数为人，
“非常重视”所占的圆心角的度数为，
故答案为：；
“重视”的人数为人，补全条形统计图如图：

由题意得：人，
即估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数为人；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有个，
恰好抽到同性别学生的概率为．
先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由乘以“非常重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生人数乘以“比较重视”的学生所占比例即可；
画树状图，共有个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
 

22.【答案】解：由题意得，，
与的函数关系式为：，自变量取值范围是；
由题意得，，
与之间的函数关系式为；
配方为，
因为，
所以当时，有最大值，最大值为，
此时售价为元个．
这种玩具的售价定为每个元时，商店每天获得的利润最大． 

【解析】根据题意列方程即可得到结论；
根据每天的利润单个利润销售量列出函数解析式即可；
根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】解：和的垂直平分线交于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
证明：

，，
，
和的垂直平分线交于点，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
：：，
∽；
解：当时，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
． 

【解析】由线段垂直平分线的性质可得出，，由等腰三角形的性质得出结论；
证出，由相似三角形的判定可得出结论；
设，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出，，则可得出答案．
本题是相似形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明∽是解题的关键．