2021-2022学年安徽省安庆市太湖朴初中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】

2021-2022学年安徽省安庆市太湖朴初中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知直线和互相垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，求解即可.

【详解】由已知可得，解得.

故选：B.

2．两圆和的位置关系是（    ）

A．内切 B．外离 C．外切 D．相交

【答案】A

【分析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.

【详解】圆的圆心坐标为，半径为，

圆的圆心坐标为，半径为，

两圆圆心距为，则，

因此，两圆和内切.

故选：A.

3．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.

【详解】由双曲线的离心率为，知 ，

则，即有 ，故，

所以双曲线C的渐近线方程为 ，即，

故选：B.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据导数公式及法则求解.

【详解】因为，

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查了导数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，可求得，然后逐一分析判断各个选项即可得解.

【详解】解：因为，所以，

因为，

所以，所以，故A错误；

又，所以，所以，

所以，故BC错误；

所以，故D正确.

故选：D.

6．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题，为可导函数，

，即曲线在点处的切线的斜率是 ，选D

【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式．

7．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（    ）

A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列

C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列

【答案】B

【分析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断.

【详解】数列是等差数列，设公差为，

选项A，数列是等差数列，那么为常数，

又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；

选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；

选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），

此时，，则为常数，

故数列一定是等差数列，所以该选项正确；

选项D，，则，

当时，，此时数列可能是常数数列，

故该选项正确.

故选：B.

8．函数在定义域上是增函数，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数与单调性的关系即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，

即在上恒成立，所以．

故选：A．

9．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可

【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，

所以，

所以，

所以，

因为,所以平面，

因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，

所以，

因为点P到底面的距离为3，所以，

所以，

因为，

所以异面直线与所成角的余弦值为

，

故选：A

10．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】求得的导数，可得切线的斜率，求出切线的方程，求得的导数，设出切点为，可得，的方程组，解方程可得．

【详解】解：曲线的导数为，

可得在处的切线斜率为，切点为，

则切线的方程为，

设直线与相切的切点为，

由的导数为，可得切线的斜率为，

则，，

解得，，

故选：．

【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

11．已知直线与曲线切于点，则b的值为（    ）

A．3 B． C．5 D．

【答案】A

【分析】因为是直线与曲线的交点,所以把代入直线方程即可求出斜率k的值,然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标代入导函数中得到切线的斜率,让斜率等于k列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切点坐标和a的值代入曲线方程,即可求出b的值.

【详解】把代入直线中,得到,

求导得：,所以,解得,

把及代入曲线方程得：,

则b的值为3.

故选：A.

【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题.

12．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.

【详解】设直线方程为 ，

联立 ，整理得： ，

需满足 ，即 ，

则 ，

由 ，得： ，

所以 ，即 ，

故 ，

所以直线l为：，当时，，

即直线l恒过定点，

故选：A.

二、填空题

13．函数的单调递增区间是_______．

【答案】

【分析】求出函数的定义域，并求出该函数的导数，并在定义域内解不等式，可得出函数的单调递增区间.

【详解】函数的定义域为，且，令，得.

因此，函数的单调递增区间为，故答案为.

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，在求出导数不等式后，得出的解集应与定义域取交集可得出函数相应的单调区间，考查计算能力，属于中等题.

14．设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是___________.

【答案】

【分析】根据原函数与导函数的图象关系，分类讨论求解即可得到答案.

【详解】当时，，为减函数，所以，即，

当时，，为增函数，所以，即，

当时，，为减函数，所以，即，

综上的解集为

故答案为：

15．过点，且与曲线相切的直线方程为___________.

【答案】或

【分析】设切点，利用导数几何意义求得切线，根据点A在切线上得到关于m的方程求m的值，即可得切线方程.

【详解】由，设切点为，则切线斜率为，

所以切线方程为，又在切线上，则，

所以，

解得或，

当，切线为，整理为；

当，切线为，整理为；

故答案为：或

16．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于A，B两点，若是等腰三角形，且，则的面积为___________.

【答案】

【分析】根据题意可知，，再结合，即可求出各边，从而求出的面积．

【详解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面积为．

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数在处有极值.

(1)求常数a，b的值；

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)；

(2)最大值为-1，最值为-5.

【分析】(1)根据给定条件结合函数的导数建立方程，求解方程并验证作答.

(2)利用导数探讨函数在上的单调性即可计算作答.

【详解】（1）依题意：，则，解得：，

当时，，

当时，，当时，，则函数在处有极值，

所以.

（2）由(1)知：，，

，当时，，当时，，

因此，在上单调递增，在上单调递减，

于是得，而，，则，

所以函数在上的最大值为-1，最值为-5.

18．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的夹角.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可证得，所以以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，

（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量求解

【详解】（1）∵平面平面，平面平面，

∴平面，∴，

以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，

.

设平面的法向量为，

则，令，则，

∵平面，

∴∥平面.

（2），

设平面的法向量为，

则，令，则.

∴.

由图可知平面与平面的夹角为锐角，

所以平面与平面的夹角为.

19．已知函数，当时，函数有极值1.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.

【答案】（1） （2）

【解析】（1）根据，可得可得结果.

（2）根据等价转换的思想，可得，利用导数研究函数的单调性，并比较的极值与的大小关系，可得结果.

【详解】（1）由，

有，

又有，

解得：，，

故函数的解析式

为

（2）由（1）有可知：

故函数的增区间为，，

减区间为，

所以的极小值为，

极大值为

由关于x的方程有一个实数根，

等价于方程有一个实数根，

即等价于函数的图像只有一个交点

实数m的取值范围为

【点睛】本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换，属基础题.

20．已知等差数列公差不为0，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式及其前n项和；

(2)记，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据分式的合分比性质以及等差数列的性质即可求出；

（2）根据裂项相消法即可求出．

【详解】（1）由题意：，即，

又∵，∴，∴，

∴，.

（2）因为，

∴.

21．已知函数.

（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）①当时，函数的单调递增区间是，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是和，的单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

【详解】试题分析：（1）先对求导，则切线斜率为，再利用点斜式求切线方程即可；（2）分三种情况：，，，，分别利用求出各自的单调增区间和单调减区间.

试题解析：（1）当时，，

，

函数的图象在点处的切线方程为.

（2）由题知，函数的定义域为，，

令，解得,①当时，恒成立，则函数的单调递增区间是.②当，即时，在区间和上；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.

③当，即时，在区间和上，；在区间上，故函数的单调递增区间是和，的单调递减区间是.④当，即时，在区间上，在区间上，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

【解析】1、利用导数求曲线的切线方程；2、利用导数研究函数的单调性.

22．已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设斜率为k的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若的面积为定值，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，定值为6

【分析】（1）根据题意条件，可直接求出的值，然后再利用条件中、的关系，借助即可求解出、的值，从而得到椭圆方程；

（2）根据已知条件设出、所在的直线方程，然后与椭圆联立方程，分别表示出根与系数的关系，再表示出弦长关系，再计算点到直线的距离，把面积用和的式子表示出来，通过给出的面积的值，找到和的等量关系，将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的中即可得到答案.

【详解】（1）由题意：，

由知：，

故椭圆C的标准方程为，

（2）设：，①

椭圆.②

联立①②得：，

，即

∴，

O到直线l的距离，

∴

，

∴，即，

∴

.

故为定值6.