2023年河南省南阳市第二中学校等两校中考数学一模试卷

2023年河南省南阳市第二中学校等两校中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（　　）

A． B． C．3 D．-3

2．时至今日，“双减”政策依然是一个热门话题．将“减负提质培优”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，将它折成正方体后，与“减”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．提 B．质 C．培 D．优

3．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

5．某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照的比例确定学期学业成绩．若小明的平时成绩为90分，期中成绩为80分，期末成绩为94分，则小明的学期学业成绩为（　　）分．

A．86 B．88 C．89 D．90

6．若关于x的方程无实数根，那么a的值可以为（　　）

A． B． C．1 D．2

7．如图，在平行四边形中，．①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线交于点P，交的延长线于点E，则（　　）

A． B． C． D．

8．“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第60秒时，点C的对应点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

10．在钝角三角形中（如图1），，点P为边上一动点，连接，在直线的上方构造等腰直角三角形，使，连接，设的长为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（　　）

A．20 B．10 C． D．

二、填空题

11．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的函数表达式：_____．

12．不等式组的解集是_____．

13．小明将四张正面分别标有数字，，0，1的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字都是方程的解的概率是 _____．

14．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点为点D．若，则图中阴影部分的面积为 _____．

15．在中，，，，把绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点为，若为直角三角形，连接，则线段的长为 _____．

三、解答题

16．计算：

(1)；

(2)．

17．某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

(1)参加此次问卷调查的学生人数是 　   　；

(2)在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 　   　；

(3)将条形统计图补充完整；

(4)若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数．

18．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，，过点C作轴于点P，已知，．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)连接，求的面积；

(3)当时，根据图象直接写出x的取值范围．

19．悟颖塔位于河南省汝南县，楼阁式塔身为实体，塔身下部为石砌须弥座．某数学兴趣小组运用“解直角三角形”的知识来计算悟颖塔的高度，先将无人机垂直上升至高的点P处，在点P处测得悟颖塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向继续飞行到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为，求悟颖塔的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）

20．王林在步行街摆摊出售A，B两款摆件．已知B款摆件的进价比A款摆件多10元，150元购进的A款摆件与200元购进的B款摆件数量相同．

(1)求A，B两款摆件每个的进价；

(2)王林计划用2800元全部购进A，B两款摆件，且A款摆件的购进数量不超过40件．已知每个A款摆件的售价为45元，每个B款摆件的售价为50元．若王林全部售出这两款摆件可获利w元，则如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？

21．如图是从独轮车中抽象出来的几何模型，在中，，以为直径的交BC于点D，过点D作于点E，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求线段的长．

22．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：；

(3)若点D为抛物线上位于x轴下方一点，且，求点D的坐标．

23．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

问题情景：在矩形中，点E为边上一动点，点F为边上一点，连接EF，将四边形沿折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，设．

(1)如图1，若，，点F为的中点，延长交于点P．则与的数量关系是　   　，写出图中一个的角：　   　；

(2)如图2，若点F为的中点，，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值．

参考答案：

1．A

【分析】根据相反数的定义即可解答．

【详解】解：的相反数为．

故选：A．

【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．

2．D

【分析】根据正方形的表面展开图找相对面的方法：Z字法，找首尾即可。

【详解】解：与“减”字所在面相对的面上的汉字是优，

故选：D．

【点睛】本题考查了正方体的展开图的相对面，熟练掌握找相对面的方法是解题的关键．

3．B

【分析】由垂直的意义及互余关系、对顶角相等可求得的度数，从而求得结果．

【详解】解：∵，

∴，

即，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了互余关系、垂直的意义、对顶角相等等知识，由互余关系求得是解题的关键．

4．C

【分析】根据算术平方根的意义、二次根式的减法、同底数幂的乘法和完全平方式逐一计算．

【详解】解：A．，选项A不符合题意；

B．，不是同类二次根式，不能合并，选项B不符合题意；

C．，选项C符合题意；

D．，选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了算术平方根的意义、二次根式的减法、同底数幂的乘法、完全平方式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

5．C

【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．

【详解】解：小明的学期学业成绩为：（分）．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．

6．A

【分析】根据一元二次方程根的判别式，列不等式，解不等式即可求得a的取值范围，据此即可判定．

【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，

，即，

解得．

观察选项，a的值可能是．

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．

7．D

【分析】由尺规作图及平行四边形的性质可得，从而得，再由，即可得答案．

【详解】解：由作法得平分，

∴，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，关键是得到．

8．A

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．

【详解】解：万．

故选：A．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．

9．B

【分析】先根据勾股定理求出，根据菱形性质得出，，得出，根据每秒旋转，则第60秒时旋转了，得出点在第三象限，且与点C关于原点对称，即可得出答案．

【详解】解：∵点A的坐标为，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

∵每秒旋转，则第60秒时，得：

，

周，

∴旋转了7周半，

∴点在第三象限，且与点C关于原点对称，

∴点，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，关于原点对称点的特点，解题的关键是根据旋转角度得出在第三象限，且与点C关于原点对称．

10．D

【分析】由图2可得，当，，点P运动到点A的位置，过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，由勾股定理先求出的长，根据全等三角形的判定和性质得到，进而求出面积．

【详解】解：由图2可得，当，，点P运动到点A的位置，

过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，如图：

∵，，三角形是等腰直角三角形，

∴，即，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，能够作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

11．（答案不唯一）

【分析】根据正比例函数图象经过第一、三象限，可知比例系数，由此可解．

【详解】解：∵正比例函数（k为常数，且）的图象经过第一、三象限，

∴，

∴函数表达式可以为．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题考查正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握正比例函数的系数时，图象经过第一、三象限，时，图象经过第二、四象限．

12．##

【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．

【详解】解：，

解①得，

解②得，

则不等式组的解集是：．

故答案是：．

【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是准确求出每一个不等式的解集，熟练掌握口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找．

13．

【分析】首先解方程，进而用树状图表示出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．

【详解】∵，

解得：，，

如图所示：

由树状图可得一共有12种可能，符合题意的有2种情况，

故所抽卡片的数字都是方程的解的概率是：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了树状图法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况之比求解．

14．

【分析】根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半，即可得到扇形圆心角，结合旋转得到等腰三角形即可得到答案；

【详解】解：如图，作于点M，

∵在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴阴影部分的面积为．

故答案为：．

【点睛】本题考查扇形面积公式，旋转性质，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是得到等腰三角形．

15．或

【分析】根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，，即可解答．

【详解】，，

，

在中，，

，

，

，

，

由旋转的性质得，，，

若为直角三角形，因为，所以只能，有两种情况，

第一种，逆时针旋转，如图1，

，

点A，C，共线，

；

第二种，逆时针旋转，如图2，

可得，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角函数的定义，分类讨论是解题关键．

16．(1)；

(2)．

【分析】（1）先计算零指数幂，立方根，负整数指数幂，再进行加减计算即可得到答案；

（2）先通分计算括号内加法，再结合平方差公式进行除法运算即可得到答案．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

17．(1)

(2)

(3)见解析

(4)人

【分析】（1）根据作品所占的人数与所占的百分数即可得到参加此次调查的总人数；

（2）根据作品占总调查人数的百分数即可得到作品所占扇形的圆心角；

（3）用总人数减去其它人数，求出“作品”的人数，从而补统计图；

（4）用样本估计总体即可．

【详解】（1）解：∵参加作品调查的人数为：人，参加作品调查的百分数为：，

∴参加此次问卷调查的学生人数是：（人）；

故答案为：人；

（2）解：∵参加作品的人数为：人，参加调查的总人数为：人，

∴选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是：，

故答案为：．

（3）解：∵参加调查的总人数为：人，参加作品的人数为：人，参加作品的人数为：人，参加作品调查的人数为：人，

∴参见作品的人数为：（人），

∴补全条形统计图如图所示，

（4）解：∵参加作品的人数为：人，抽样调查的总人数为：人，

∴选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数：（人）．

答：估计七年级学生中选择“作品”的人数为人．

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，明确题意找出所求问题需要的条件是解题的关键．

18．(1)一次函数表达式为，反比例函数的表达式为

(2)

(3)或

【分析】（1）根据，，可得A，B两点的坐标，根据待定系数法即可求得一次函数解析式，再根据一次函数算出D点坐标，将其代入反比例函数，即可求得反比例函数的解析式；

（2）根据，可得C点的横坐标为，代入反比例函数可得，根据点到的距离，即可解答；

（3）观察图像当一次函数的值大于反比例函数的值时，求出取值范围即可。

【详解】（1）解：，，

，

，，

一次函数的图象过点、，

可列方程： ，

解得：，

一次函数表达式为 ，

一次函数 的图象过点D（3，a），

，

，

将点代入 中，

解得：，

反比例函数的表达式为 ；

（2）解： ，

，，

轴，

点C的横坐标为，

∵点C在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∴，

∴，

，

点D到的距离为：

点到的距离；

（3）当，即，

也就是一次函数的值大于反比例函数的值，

观察图象可知，此时或．

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，观察图形解决问题的解题的关键．

19．

【分析】延长，交的延长线于点，则，，，在中，，则，，在中，，求出的值，再根据可得答案．

【详解】解：延长，交的延长线于点，

则，

由题意得，，，

在中，，

∴，

，

在中，，

解得，

．

悟颖塔的高度约为．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

20．(1)A款摆件每个的进价为30元，B款摆件每个的进价为40元

(2)当购买A款摆件40件，B款摆件40件时，能获得最大利润，最大利润是1000元

【分析】（1）设A款摆件每个的进价为a元，B款摆件每个的进价为元，根据等量关系：150元购进的A款摆件与200元购进的B款摆件数量相同，列出分式方程即可求解；

（2）设购买A款摆件x件，则购买B款摆件件，则可得w关于x的函数关系式，由函数关系式及自变量的取值范围即可求得最大利润．

【详解】（1）解：设A款摆件每个的进价为a元，B款摆件每个的进价为元，

由题意可得：，

解得，

经检验， 是原分式方程的解，

∴，

答：A款摆件每个的进价为30元，B款摆件每个的进价为40元；

（2）解：设购买A款摆件x件，则购买B款摆件件，

由题意可得，，

∴w随x的增大而增大，

∵A款摆件的购进数量不超过40件．

∴，

∴当时，w取得最大值，此时，此时，

答：当购买A款摆件40件，B款摆件40件时，能获得最大利润，最大利润是1000元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，根据题意找到等量关系、与函数关系式是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，由及等腰三角形的性质可得，再由即可证得结论；

（2）连接，由等腰三角形的性质及为直径，可得的长，由正切函数即可求得的长，进而由勾股定理求得直径及半径的长；由面积相等可求得的长，再由已知易得，由勾股定理即可求得斜边的长．

【详解】（1）证明：如图，连接．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

∴．

∴，

∵为的半径，

∴直线是的切线；

（2）解：如图，连接．

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

在中，，

根据勾股定理，得．

∴，，

∵，

∴．

解得，

由（1）知，，，

则，

在中，根据勾股定理，得

．

【点睛】本题是圆的综合，考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数等知识，能熟练运用这些知识是解题的关键．

22．(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的表达式，再用待定系数法即可解答．

（2）求出点C坐标，证明，即可解答．

（3）设交y轴于F，在y轴上取点E，使得，连接，设，根据题意可解得，根据，得出,可得，可得直线解析式为，与抛物线联立，解得．

【详解】（1）解：把，代入得：，

解得 ，

∴抛物线的表达式为；

（2）证明：在中，令得，

，

，

，，

，，

，

，

；

（3）解：设BD交y轴于F，在y轴上取点E，使CE＝BE，连接BE，作F关于x轴对称点F'，连接BF'交抛物线于D，如图：

设，

，，，

，

解得，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，即，

，

，

由，得直线BF解析式为，

联立 ，解得 或（与B重合，舍去），

∴．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．

23．(1)，

(2)，理由见解析

(3)或

【分析】（1）连接，根据F为的中点可得，结合四边形为矩形，，可得四边形是正方形，即可得到，根据四边形沿折叠得到，，可得，即可得到答案；

（2）连接，仿照(1)的方法证明，即可得到；

（3）先根据“”点E为的三等分点，，得到或，再分两种情况讨论：①当时，②当时，分别画出图形，过点E作于点H，根据矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质，求出线段和的长，即可得到答案；

【详解】（1）解：连接，

∵F为的中点，

∴，

∵四边形为矩形，，

∴四边形是正方形，

∴，

∵将四边形沿折叠，

∴，，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∵，将四边形沿折叠，

∴，

∴，

故答案为：，；

（2）解：，理由如下，

连接，

∵F为的中点，

∴，

∵将四边形沿折叠，

∴，，

∴，，

∴，

∴；

（3）解：①若点E为的三等分点，且，

∵，

∴，，

过点E作于M，

∴四边形为矩形，

∴，，

∴，

∴，

∵将矩形沿折叠，

∴，，，

∴，

∴；

②若点E为的三等分点，且，

∴，，

过点E作于N，

同理可得，，

∴，

同理由折叠可得，，，，

∴，，

∴；

综上所述，的值为或．

【点睛】本题考查正方形性质与判定，矩形的性质与判定，折叠的性质三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据矩形性质、正方形性质及折叠性质得到三角形全等的条件．