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2023年山东省聊城市东阿县中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年山东省聊城市东阿县中考数学一模试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省聊城市东阿县中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AM∥BC，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，交AM于点D，若AE：EB＝1：2．则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3 B．3，3 C．3，2.5 D．3，4
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（3分）某货车司机要按计划运输一批零件准点到达指定厂家，他凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他加快速度仍匀速前进，最后恰好准点送达．如图是该司机行驶的路程y（km）与所用时间t（h）的函数图象，则该司机原计划准点到达的时刻是（ ）
A．5：00 B．6：00 C．7：00 D．8：00
11．（3分）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
12．（3分）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF＝CF，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x，EF+EC＝y．y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A．（） B．（3，3+） C．（2，2+2） D．（，2）
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
14．（3分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
15．（3分）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D是边AB的中点，点P是边BC上一动点，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，连接DD'，若△ADD'为直角三角形，则BP的长为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023＝ ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（3分）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|1﹣|．
19．（4分）先化简，再求值，其中．
20．（8分）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CE∥AB，CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝8，求BC的长．
22．（8分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
23．（8分）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
24．（8分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝6S△OBD，请求出点P的坐标；
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
25．（10分）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）．与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2023年山东省聊城市东阿县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：＝4，
无理数有，π，共有2个，
故选：B．
2．（3分）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．÷＝，故此选项不合题意；
B．+无法合并，故此选项不合题意；
C．2×3＝18，故此选项不合题意；
D．﹣＝﹣，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AM∥BC，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，交AM于点D，若AE：EB＝1：2．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点E作EK⊥BC于点K，
根据图中尺规作图可得CD平分∠ACB，
∵∠BAC＝90°，
∴EK＝AE，
又AE：EB＝1：2，
∴EK：EB＝1：2，
∴∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵AM∥BC，
∴∠ADC＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴＝＝cos∠ACD＝．
故选：D．
6．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3 B．3，3 C．3，2.5 D．3，4
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的中位数为＝3，平均数为＝3，
故选：B．
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解连接AO，BO，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，
∵DC＝12，
∴AO＝6，
∴OP＝10，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADB＝∠AOC，
∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．
故选：A．
8．（3分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CE＝CD＝3，DE＝3，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，3），
故选：A．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE＝∠AFD，∠DAF＝∠AEB，
∵AF为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠AFD＝∠EAD，∠BAE＝∠AEB，∠CEF＝∠CFE，
∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，
又∵AB＝6，AD＝9，
∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，
∴CE＝CF＝3．
∵BG⊥AE，BG＝4，
由勾股定理可得：AG＝＝2，
∴AE＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE．
∴，
∴EF＝2，
∴△EFC的周长＝EF+FC+CE＝8．
故选：A．
10．（3分）某货车司机要按计划运输一批零件准点到达指定厂家，他凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他加快速度仍匀速前进，最后恰好准点送达．如图是该司机行驶的路程y（km）与所用时间t（h）的函数图象，则该司机原计划准点到达的时刻是（ ）
A．5：00 B．6：00 C．7：00 D．8：00
【解答】解：由图象及题意，得故障前的速度为：80÷1＝80（k/h），
故障后的速度为：（180﹣80）÷1＝100（k/h）．
设航行完全程有a千米，由题意得，，
解得：a＝480，
则原计划行驶的时间为：480÷80＝6（小时），
1+6＝7，
故计划准点到达的时刻为：凌晨7：00．
故选：C．
11．（3分）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
【解答】解：，
去分母，得2x+a＝﹣（x﹣2）．
去括号，得2x+a＝﹣x+2．
移项，得2x+x＝2﹣a．
合并同类项，得3x＝2﹣a．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的方程的解是正数，
∴且．
∴a＜2且a≠﹣4．
故选：C．
12．（3分）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF＝CF，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x，EF+EC＝y．y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A．（） B．（3，3+） C．（2，2+2） D．（，2）
【解答】解：由图2知，当点E和点B重合时，EF+EC＝BF+CB＝CB+CB＝8，
∴BC＝6，
即正方形的边长为6，
如图，点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交BD于点E，
根据点的对称性，EA＝EC，
则y＝EF+EC＝EF+EA＝AF为最小，
∵AB＝6，BF＝2，
∴AF＝＝2，
过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBH＝45°，
∴BH＝EH，
∵EH∥AB，
∴△EHF∽△ABF，
∴＝＝＝3，
∴EH＝3HF，
∴BF＝4HF，
∵BF＝2，
∴HE＝，
∴图象上最低点的坐标是（，2），
故选：A．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ﹣84 ．
【解答】解：∵x2﹣8x＝5，
∴x2﹣8x+16＝5+16，
即（x﹣4）2＝21，
∴b＝21，
∴a＝﹣4，
∴ab＝﹣84，
故答案为：﹣84．
14．（3分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
【解答】解：cos∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，
∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．
15．（3分）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是 ．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种可能性，其中选出的2名学生中至少有1名女生的可能性有10种，
∴选出的2名学生中至少有1名女生的概率是＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D是边AB的中点，点P是边BC上一动点，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，连接DD'，若△ADD'为直角三角形，则BP的长为 3或 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝4，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝BD＝4，
如图，当∠AD'D＝90°时，过点P作PH⊥DD'于H，
∵∠A＝30°，
∴DD'＝AD＝2，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，
∴DP＝D'P，
∵PH⊥DD'，
∴D'H＝DH＝1，
∵∠C＝∠PHD'＝∠CD'H＝90°，
∴四边形PCD'H是矩形，
∴CP＝D'H＝1，
∴BP＝3，
如图，当∠ADD'＝90°时，过点P作PH⊥DD'于H，PG⊥DB于G，
∵∠A＝30°，
∴DD'＝，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，
∴DP＝D'P，
∵PH⊥DD'，
∴D'H＝DH＝，
∵∠PGD＝∠PHD＝∠BDH＝90°，
∴四边形PHDG是矩形，
∴HD＝PG＝，
∵∠B＝60°，
∴sinB＝，
∴PB＝，
故答案为：3或．
17．（3分）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023＝ 2× ．
【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝60°，
∴＝2×，
同理可得A，A，
∴线段A2022A2023＝2×，
故答案为：2×．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（3分）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|1﹣|．
【解答】解：原式＝2﹣2×+﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
19．（4分）先化简，再求值，其中．
【解答】解：
＝•
＝
＝
＝﹣，
当a＝+2时，原式＝﹣＝﹣．
20．（8分）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有 200 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 108 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷15%＝200（人），
在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是：360°×＝108°；
故答案为：200，108；
（2）C项目的人数有：200﹣30﹣60﹣20＝90（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1200×＝900（名），
答：估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数有900名．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CE∥AB，CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝8，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝BD＝AD，
∵CE＝AD，
∴CE＝CD＝BD，
∵CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形，
又∵BD＝CD，
∴平行四边形BDCE是菱形；
（2）解：如图，连接DE，
∵BC是菱形BDCE的对角线，
∴BE＝BD＝8，∠EBC＝∠ABC，
∴AB＝2BD＝16，
∵EF⊥BD，BF＝DF，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB＝8，BC＝AC＝8．
22．（8分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，
由题意得：，
解得，
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元；
（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，
由题意得：150m+80n＝4500，
整理得：m＝30﹣n，
∵m、n为正整数，
∴或或，
∴专卖店共有3种采购方案；
（3）当m＝22，n＝15时，利润为：22×（200﹣150）+15×（100﹣80）＝1400（元）；
当m＝14，n＝30时，利润为：14×（200﹣150）+30×（100﹣80）＝1300（元）；
当m＝6，n＝45时，利润为：6×（200﹣150）+45×（100﹣80）＝1200（元）；
∵1200＜1300＜1400，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具22只，购进“雪容融”毛绒玩具15只，最大利润为1400元．
23．（8分）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：
BC＝1260米，∠ABD＝28°+25°＝53°，∠ACB＝58°﹣28°＝30°，
设AD＝x米，
在Rt△ABD中，BD＝≈＝x（米），
在Rt△ADC中，CD＝＝＝x（米），
∵CD+BD＝BC，
∴x+x＝1260，
解得：x≈508.1，
∴AD≈508.1米，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝1016.2（米），
∴1016.2÷120≈8（分钟），
∴估计8分钟可以到达事故船A处．
24．（8分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝6S△OBD，请求出点P的坐标；
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵比例函数的图象过点B（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴y2＝﹣，
∵A（a，﹣1）在双曲线上．
∴﹣1＝﹣，
∴a＝3，
∴A（3，﹣1），
∵一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式y1＝﹣x+2；
（2）在y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，则x＝2，
∴D（0，2），C（2，0），
∴OD＝OC＝2，
∴S△OBD＝＝1，
∵S△OCP＝6S△OBD，
∴S△OCP＝OC•|yP|＝6，即|yP|＝6，
∴yp＝﹣6，
代入y2＝﹣得，﹣6＝﹣，解得x＝，
∴P的坐标为（，﹣6）；
（3）观察图象可知，对于反比例函数，当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．
25．（10分）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．
【解答】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，
∴AF＝＝8，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得r＝，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝，
∴OF＝＝，
∴FD＝OF﹣OD＝﹣，
即FD的长为﹣．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）．与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）经过A（4，0）和B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣3t﹣4），则E（t，t﹣4），
∴PE＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，线段PE的最大值为4，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）存在．
设Q（x，y），又A（4，0）、C（0，﹣4）、P（2，﹣6），
当AC、PQ为平行四边形的对角线时，AC与PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（2，2）；
当AP、CQ为平行四边形的对角线时，AP与CQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（2，﹣2）；
当AQ、CP为平行四边形的对角线时，AQ与CP的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（﹣2，﹣10）；
综上所述，点Q的坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，﹣10）．
2023年山东省聊城市东阿县中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AM∥BC，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，交AM于点D，若AE：EB＝1：2．则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3 B．3，3 C．3，2.5 D．3，4
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（3分）某货车司机要按计划运输一批零件准点到达指定厂家，他凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他加快速度仍匀速前进，最后恰好准点送达．如图是该司机行驶的路程y（km）与所用时间t（h）的函数图象，则该司机原计划准点到达的时刻是（ ）
A．5：00 B．6：00 C．7：00 D．8：00
11．（3分）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
12．（3分）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF＝CF，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x，EF+EC＝y．y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A．（） B．（3，3+） C．（2，2+2） D．（，2）
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
14．（3分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
15．（3分）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D是边AB的中点，点P是边BC上一动点，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，连接DD'，若△ADD'为直角三角形，则BP的长为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023＝ ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（3分）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|1﹣|．
19．（4分）先化简，再求值，其中．
20．（8分）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CE∥AB，CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝8，求BC的长．
22．（8分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
23．（8分）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
24．（8分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝6S△OBD，请求出点P的坐标；
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
25．（10分）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）．与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2023年山东省聊城市东阿县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：＝4，
无理数有，π，共有2个，
故选：B．
2．（3分）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．÷＝，故此选项不合题意；
B．+无法合并，故此选项不合题意；
C．2×3＝18，故此选项不合题意；
D．﹣＝﹣，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AM∥BC，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，交AM于点D，若AE：EB＝1：2．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点E作EK⊥BC于点K，
根据图中尺规作图可得CD平分∠ACB，
∵∠BAC＝90°，
∴EK＝AE，
又AE：EB＝1：2，
∴EK：EB＝1：2，
∴∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵AM∥BC，
∴∠ADC＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴＝＝cos∠ACD＝．
故选：D．
6．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3 B．3，3 C．3，2.5 D．3，4
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的中位数为＝3，平均数为＝3，
故选：B．
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解连接AO，BO，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，
∵DC＝12，
∴AO＝6，
∴OP＝10，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADB＝∠AOC，
∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．
故选：A．
8．（3分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CE＝CD＝3，DE＝3，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，3），
故选：A．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，作BG⊥AE于G，若AB＝6，AD＝9，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAE＝∠AFD，∠DAF＝∠AEB，
∵AF为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠AFD＝∠EAD，∠BAE＝∠AEB，∠CEF＝∠CFE，
∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，
又∵AB＝6，AD＝9，
∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，
∴CE＝CF＝3．
∵BG⊥AE，BG＝4，
由勾股定理可得：AG＝＝2，
∴AE＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE．
∴，
∴EF＝2，
∴△EFC的周长＝EF+FC+CE＝8．
故选：A．
10．（3分）某货车司机要按计划运输一批零件准点到达指定厂家，他凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他加快速度仍匀速前进，最后恰好准点送达．如图是该司机行驶的路程y（km）与所用时间t（h）的函数图象，则该司机原计划准点到达的时刻是（ ）
A．5：00 B．6：00 C．7：00 D．8：00
【解答】解：由图象及题意，得故障前的速度为：80÷1＝80（k/h），
故障后的速度为：（180﹣80）÷1＝100（k/h）．
设航行完全程有a千米，由题意得，，
解得：a＝480，
则原计划行驶的时间为：480÷80＝6（小时），
1+6＝7，
故计划准点到达的时刻为：凌晨7：00．
故选：C．
11．（3分）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
【解答】解：，
去分母，得2x+a＝﹣（x﹣2）．
去括号，得2x+a＝﹣x+2．
移项，得2x+x＝2﹣a．
合并同类项，得3x＝2﹣a．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的方程的解是正数，
∴且．
∴a＜2且a≠﹣4．
故选：C．
12．（3分）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF＝CF，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x，EF+EC＝y．y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A．（） B．（3，3+） C．（2，2+2） D．（，2）
【解答】解：由图2知，当点E和点B重合时，EF+EC＝BF+CB＝CB+CB＝8，
∴BC＝6，
即正方形的边长为6，
如图，点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交BD于点E，
根据点的对称性，EA＝EC，
则y＝EF+EC＝EF+EA＝AF为最小，
∵AB＝6，BF＝2，
∴AF＝＝2，
过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBH＝45°，
∴BH＝EH，
∵EH∥AB，
∴△EHF∽△ABF，
∴＝＝＝3，
∴EH＝3HF，
∴BF＝4HF，
∵BF＝2，
∴HE＝，
∴图象上最低点的坐标是（，2），
故选：A．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ﹣84 ．
【解答】解：∵x2﹣8x＝5，
∴x2﹣8x+16＝5+16，
即（x﹣4）2＝21，
∴b＝21，
∴a＝﹣4，
∴ab＝﹣84，
故答案为：﹣84．
14．（3分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
【解答】解：cos∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，
∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．
15．（3分）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是 ．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种可能性，其中选出的2名学生中至少有1名女生的可能性有10种，
∴选出的2名学生中至少有1名女生的概率是＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D是边AB的中点，点P是边BC上一动点，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，连接DD'，若△ADD'为直角三角形，则BP的长为 3或 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝4，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝BD＝4，
如图，当∠AD'D＝90°时，过点P作PH⊥DD'于H，
∵∠A＝30°，
∴DD'＝AD＝2，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，
∴DP＝D'P，
∵PH⊥DD'，
∴D'H＝DH＝1，
∵∠C＝∠PHD'＝∠CD'H＝90°，
∴四边形PCD'H是矩形，
∴CP＝D'H＝1，
∴BP＝3，
如图，当∠ADD'＝90°时，过点P作PH⊥DD'于H，PG⊥DB于G，
∵∠A＝30°，
∴DD'＝，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，
∴DP＝D'P，
∵PH⊥DD'，
∴D'H＝DH＝，
∵∠PGD＝∠PHD＝∠BDH＝90°，
∴四边形PHDG是矩形，
∴HD＝PG＝，
∵∠B＝60°，
∴sinB＝，
∴PB＝，
故答案为：3或．
17．（3分）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023＝ 2× ．
【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝60°，
∴＝2×，
同理可得A，A，
∴线段A2022A2023＝2×，
故答案为：2×．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（3分）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|1﹣|．
【解答】解：原式＝2﹣2×+﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
19．（4分）先化简，再求值，其中．
【解答】解：
＝•
＝
＝
＝﹣，
当a＝+2时，原式＝﹣＝﹣．
20．（8分）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有 200 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 108 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷15%＝200（人），
在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是：360°×＝108°；
故答案为：200，108；
（2）C项目的人数有：200﹣30﹣60﹣20＝90（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1200×＝900（名），
答：估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数有900名．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CE∥AB，CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝8，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝BD＝AD，
∵CE＝AD，
∴CE＝CD＝BD，
∵CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形，
又∵BD＝CD，
∴平行四边形BDCE是菱形；
（2）解：如图，连接DE，
∵BC是菱形BDCE的对角线，
∴BE＝BD＝8，∠EBC＝∠ABC，
∴AB＝2BD＝16，
∵EF⊥BD，BF＝DF，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB＝8，BC＝AC＝8．
22．（8分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，
由题意得：，
解得，
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元；
（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，
由题意得：150m+80n＝4500，
整理得：m＝30﹣n，
∵m、n为正整数，
∴或或，
∴专卖店共有3种采购方案；
（3）当m＝22，n＝15时，利润为：22×（200﹣150）+15×（100﹣80）＝1400（元）；
当m＝14，n＝30时，利润为：14×（200﹣150）+30×（100﹣80）＝1300（元）；
当m＝6，n＝45时，利润为：6×（200﹣150）+45×（100﹣80）＝1200（元）；
∵1200＜1300＜1400，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具22只，购进“雪容融”毛绒玩具15只，最大利润为1400元．
23．（8分）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：
BC＝1260米，∠ABD＝28°+25°＝53°，∠ACB＝58°﹣28°＝30°，
设AD＝x米，
在Rt△ABD中，BD＝≈＝x（米），
在Rt△ADC中，CD＝＝＝x（米），
∵CD+BD＝BC，
∴x+x＝1260，
解得：x≈508.1，
∴AD≈508.1米，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝1016.2（米），
∴1016.2÷120≈8（分钟），
∴估计8分钟可以到达事故船A处．
24．（8分）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝6S△OBD，请求出点P的坐标；
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵比例函数的图象过点B（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴y2＝﹣，
∵A（a，﹣1）在双曲线上．
∴﹣1＝﹣，
∴a＝3，
∴A（3，﹣1），
∵一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式y1＝﹣x+2；
（2）在y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，则x＝2，
∴D（0，2），C（2，0），
∴OD＝OC＝2，
∴S△OBD＝＝1，
∵S△OCP＝6S△OBD，
∴S△OCP＝OC•|yP|＝6，即|yP|＝6，
∴yp＝﹣6，
代入y2＝﹣得，﹣6＝﹣，解得x＝，
∴P的坐标为（，﹣6）；
（3）观察图象可知，对于反比例函数，当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．
25．（10分）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．
【解答】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，
∴AF＝＝8，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得r＝，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝，
∴OF＝＝，
∴FD＝OF﹣OD＝﹣，
即FD的长为﹣．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）．与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）经过A（4，0）和B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣3t﹣4），则E（t，t﹣4），
∴PE＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，线段PE的最大值为4，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）存在．
设Q（x，y），又A（4，0）、C（0，﹣4）、P（2，﹣6），
当AC、PQ为平行四边形的对角线时，AC与PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（2，2）；
当AP、CQ为平行四边形的对角线时，AP与CQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（2，﹣2）；
当AQ、CP为平行四边形的对角线时，AQ与CP的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（﹣2，﹣10）；
综上所述，点Q的坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，﹣10）．
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