2023年九年级数学中考二次函数综合复习题

2023年九年级数学中考二次函数综合复习题

专题一【线段最值】

1.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．

（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．

2.已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．

（1）求此函数的关系式；

（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；

（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？

3．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），

（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；

（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；

（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．

4．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；

（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．

专题二【面积问题】

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：

构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．

这是在“补”，同样可以采用“割”：

此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．

由题意得：AE+BF=6．

下面求CD：

根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：

由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，

将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，

故D点坐标为（4,2），CD=5,

．

【方法总结】

作以下定义：

A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；

过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．

如图可得：

【解题步骤】

（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；

（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4）根据C、D坐标求得铅垂高；

（5）利用公式求得三角形面积．

5.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当P在何处时，△ACE面积最大．

6.如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

7.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；

（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．

专题三【等腰三角形、直角三角形存在性问题】

如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

同理可求，下求．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），

（2）表示线段：，

（3）分类讨论：根据，可得：，

（4）求解得答案：解得：，故坐标为．

小结

几何法：（1）“两圆一线”作出点；

（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；     （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；

（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；  （4）列出方程求解．

问题总结：

（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；

（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；

（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

【几何法】两线一圆得坐标

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：

【构造三垂直】

求法相同，以为例：

构造三垂直步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

8.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

9.如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．

（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．

10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

专题四【特殊平行四边形】

要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质：

（1）对应边平行且相等.   （2）对角线互相平分．

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：

（1）对边平行且相等可转化为：，

可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．

（2）对角线互相平分转化为：，可以理解为AC的中点也是BD的中点．

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，

→．

当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？

反例如下：

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．

（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

【题型分类】

1．三定一动

已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．

思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：

设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：

（1）BC为对角线时，，可得；

（2）AC为对角线时，，解得；

（3）AB为对角线时，，解得．

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．

比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）

2.两定两动

已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．

【分析】

设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．

（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；

（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；

（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．

【动点综述】

“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：

（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．

但此两个性质统一成一个等式： ，

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．

11.如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（﹣6，0）两点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12.如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；

（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　    　；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；

（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

14.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；

（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

专题五【相似三角形】

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了．

15.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．

专题六【角度】

16.如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；

（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．