天津市和平区 21中 2017年 九年级数学中考 二次函数综合复习题及答案4.9

2017年 九年级数学中考 二次函数综合复习题

一、选择题：

1、已知二次函数y=2x2+4x﹣5，设自变量的值分别为x1、x2、x3，且﹣1＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系为（　    　）

   A.y1＞y2＞y3      B.y1＜y2＜y3      C.y2＜y3＜y1        D.y2＞y3＞y1

2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：

   ①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；

   ②4a+2b+c＜0；

   ③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；

   ④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（   　　）

  A.1个        B.2个       C.3个                D.4个
 

3、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．

   ①b2＞4ac； ②4a+2b+c＜0； ③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；

   ④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2． 上述4个判断中，正确的是（　 　）

  A.①②            B.①②④          C.①③④              D.②③④

4、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：

   ①4ac-b2＜0；②2a-b=0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2.

  正确结论的个数是(　     　)

  A.1个                B.2个            C.3个                  D.4个

5、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．

其中正确的结论有（    　　）

   A.1个               B．2个             C．3个          D．4个

6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,有以下结论：

  ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1.其中所有正确结论的序号是（　    　）

  A．①②           B．①③④     C．①②③⑤            D．①②③④⑤

7、已知二次函数y=x2－2x－3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2,下列结论中：

  ①d没有最大值；                    ②d没有最小值；

  ③－1＜x＜3时,d随x的增大而增大； ④满足d=5的点P有四个.其中正确结论的个数有(          )

 A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

8、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1,0），与y轴的交点B在（0,﹣2）和（0,﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：

   ①abc＞0；    ②4a+2b+c＞0；    ③4ac﹣b2＜8a；    ④＜a＜；⑤b＞c．

  其中含所有正确结论的选项是（　   　）

  A．①③        B．①③④         C．②④⑤      D．①③④⑤

9、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点（,0），有下列结论:

   ①abc＞0；   ②a﹣2b+4c=0； ③25a﹣10b+4c=0；  ④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m(am-b).

  其中所有正确的结论是（　    　）

  A.①②③         B.①③④        C.①②③⑤         D.①③⑤

10、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0)，对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在（0,2）和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:

  ①当x＞3时,y＜0;②3a+b＜0;③-1≤a≤;④4ac-b2>8a. 其中正确的结论是（     　）

   A.①②③         B.①②④      C.①③④        D.①②③④

11、如图，已知⊙P的半径是1,圆心P在抛物线上运动，且⊙P与坐标轴相切时，满足题意的⊙P有几个.(      )

   A．1个                B.2个          C.3个        D.4个

12、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AE﹣EC运动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB﹣BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是(     )

 A. B. C.D.

二、填空题:

13、抛物线y=3x2先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是                   ．

14、若把函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=　　   ．

15、二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为　              

16、已知抛物线y1=a（x﹣m）2+k与y2=a（x+m）2+k（m≠0）关于y轴对称，我们称y1与y2互为“和谐抛物线”．请写出抛物线y=﹣4x2+6x+7的“和谐抛物线”　　　　　　．

17、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．

18、如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为            ．

19、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列五条结论：

   ①abc＜0；②4ac-b2＜0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m(am+b)+b＜a（m≠-1）.

  其中正确的结论是         （把所有正确的结论的序号都填写在横线上） 

20、若二次函数y=x2﹣2016x+2017与x轴的两个交点为（m，0）（n，0）则（m2﹣2017m+2016）（n2﹣2017n+2016）的值为　　        ．

21、如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为                ．

22、如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：

 ①无论x取何值，的值总是正数；②；③当x=0时，；

 ④AB+AC=10；⑤.其中正确结论的个数是：                 ．

三、简答题:

23、大润发超市在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．

（1）为了实现每天1600元的销售利润，超市应将这种商品的售价定为多少？

（2）设每件商品的售价为x元，超市所获利润为y元．

①求y与x之间的函数关系式；

②物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，超市为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？

24、某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：

同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．

（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．

（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？

（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？

25、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26、如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线BC的解析式； 

（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．  

27、如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；

（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

28、如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，-4）．

（1）求实数a的值；

（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；

（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1、B   2、B   3、B．  4、C　  5、B． 6、C   7、B    8、D   9、D  10、D  11、C   12、B

13答案为：y=3（x﹣1）2+2．14、答案为：﹣3．15、答案为：x1=﹣1，x2=3．16、答案为：y=﹣4x2﹣6x+7．

17、答案为：﹣2．18、答案为：  19、答案为：②,④,⑤  20、答案为：4034．

21、答案为：P（，2）．  22、答案为：4．

23、解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得

（x－20）[100－2（x－30）]＝1600，解得：x＝40或x＝60；

答：售价应定为40元或60元．

（2）①y＝（x－20）[100－2（x－30）]（x≤40），即y＝－2x2＋200x－3200

②∵a＝－2＜0,∴当x＝＝50时，y取最大值；

又x≤40，则在x＝40时，y取最大值，即y最大值＝1600，

答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大利润为1600元

24、【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，

设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣x+8；

（2）根据题意得出：

z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40=﹣x2+10x﹣200，

=﹣（x2﹣100x）﹣200=﹣ [（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣（x﹣50）2+50，

故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．

（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．

如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少，

因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．

25、【解答】：

解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：

，解得：∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；

∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，解得：∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：

MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；

③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．

综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．

（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，

∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，∴∠GHO=∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2=GO•GA，

∵A（﹣1，0），C（0，3），∴lAC：y=3x+3，H（﹣，），

∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），

∴lO′D：y=x+，lAC：y=3x+3，∴x=﹣，y=，∴Q（﹣，）．

26、解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，∴a﹣5a+2=0，∴a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线x=，∴点B（4，0），C（0，2），

设直线BC的解析式为y=kx+b，∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得，

解得k=﹣，b=2，∴直线BC的解析式y=﹣x+2；

（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：

①当△OBC∽△HNB时，如图1，=，即=，

解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去）∴点N坐标（5，2）；

②当△OBC∽△HBN时，如图2，=，即=﹣，

解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），∴点N坐标（2，﹣1）；

综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．

27、解：（1）∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，

∴ 解得： 抛物线的解析式为：  

∵由，解得：∴∵由∴D（1,4）

（2）∵四边形AEBF是平行四边形，∴BF=AE．

设直线BD的解析式为：，则∵B（0，3），D（1,4）∴  解得：

  ∴直线BD的解析式为：当y=0时，x=-3 ∴E（-3，0）， ∴OE=3，

∵A（-1，0）∴OA=1， ∴AE=2 ∴BF=2，∴F的横坐标为2，∴y=3，∴F（2，3）；

（3）如图，设Q，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），

∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3 

∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA=

=

∴S△PQA=∴当时，S△PQA的最大面积为，此时Q   

28、解：（1）∵抛物线过点N（6，一4），∴解得：，

（2）∵∴令y=0，得x1=﹣2，x2=4；令x=0，得y=2

∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2）

∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

∴在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，连接AC，则AC与抛物线的对称轴x=1的交点H即为所求如下图所示：设过点A（4，0），C（0，2）的直线解析式为：

则解得，b=2∴

令x=1代入，得∴AC与抛物线对称轴的交点H的坐标为（1，）

即点H的坐标为（1，）时，使得BH+CH最小；

（3）①作BF∥AC交抛物线于点F，如图：

则∠FBA=∠BAC，由令x=0，则y=2，∴C（0，2），

又∵A（，0），∴AC的解析式为设BF的解析式为，

∵BF过点B（﹣2，0），∴∴BF的解析式为：

∴解得：∴

∵△BFA∽△ABC，∴AB2=BF•AC，∴

化简整理得：16=0，不存在这种情形，即这种情况不存满足要求的F点；

②∵B（﹣2，0），C（2，0），∴BC的解析式为，∠ABC=45°，

在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，如图：

∴BF⊥BC，∴BF的解析式为∴解得：F（2a，﹣2a﹣2），

∴∵△BFA∽△BAC，∴AB2=BF•BC，

∴整理得：

解得或（舍去），

综上所述，时，以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似．