2022-2023学年广西南宁三十一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年广西南宁三十一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  我国自主研发的北斗三号新信号纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用已知纳米米，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在二次根式，中，最简二次根式的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，，，的对边分别为，，，且，则(    )

A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形

6.  如图，在平行四边形中，、相交于点，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么分式的值(    )

A.  B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 不变

8.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若多项式是完全平方式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知实数，满足，则分别以，的值为两边长的等腰三角形的周长是(    )

A.  B.  C.  D. 或

11.  如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为，的中点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  要使有意义，应满足的条件是        ．

14.  分解因式：        ．

15.  已知是整数，则正整数的最小值是        ．

16.  如图，数轴上点表示的数是______ ．
 

17.  如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时长，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移       

18.  人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．，，记，，，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
按要求完成作图：
作出关于轴对称的图形；
在轴上画出点，使的周长最小；
判断的形状，并说明理由．

22.  本小题分
如图，等边三角形的边长是，、分别、的中点，点在延长线上，且，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
求的长．

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

24.  本小题分
在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要天，若由甲队先做天，剩下的工程由甲、乙合作天可完成．
乙队单独完成这项工程需要多少天？
甲队施工一天，需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元．若该工程计划在天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

25.  本小题分
如图，在四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．
用含的代数式表示：
______；______；______；______．
当为何值时，四边形是平行四边形？
当为何值时，四边形是平行四边形？

26.  本小题分
阅读理解：
如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．
中线的取值范围是        ；
问题解决：
如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
问题拓展：
如图，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：项不是轴对称图形；
项不是轴对称图形；
项是轴对称图形；
项不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称的概念判定，找出图形的对称轴即可．
本题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：为最简二次根式，
，不是最简二次根式，
，不是最简二次根式，
为最简二次根式，
则最简二次根式个数是．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，
先把等式化为的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．
【解答】
解：，
，即，故此三角形是直角三角形，为直角三角形的斜边，
为直角．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
故选：．
由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么分式的值扩大为原来的倍，
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用整式的乘除运算法则、积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而判断即可．
此题主要考查了整式的乘除运算法则、积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：多项式是一个完全平方式，
或，
即或，
或，
故选：．
根据完全平方公式得到或，即或，从而得到的值．
本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
解得，，
当腰长为，底边长为时，
，
不能围成三角形，
当腰长为，底边长为时，
，
能围成三角形，
周长为：．
故选：．
根据绝对值与算术平方根的非负性即可求出与的值．由于没有说明与是腰长还是底边长，故需要分类讨论．
本题考查等腰三角形的性质，绝对值及算术平方根的非负性，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：、分别为、的中点，，
，
，
，
为的中点，，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，当时，的值最小垂线段最短，此时有最小值，

理由是：，，，
，
，
，
，
点、分别为，的中点，
，
即的最小值是，
故选：．
连接，当时，的值最小垂线段最短，此时有最小值，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据三角形的中位线得出即可．
本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式以及分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式以及分母不为是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
是整数，
正整数的最小值是．
故答案为：．
先分解质因数，再根据为整数和为正整数得出答案即可．
本题考查了二次根式的定义，能正确根据分解质因数是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知，易得，
又因为点在负半轴上，故A表示的数是；
故答案为．
本题首先根据已知条件利用勾股定理求得的长度，进而利用实数与数轴的关系解答即可求解．
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，不仅要结合图形，还需要熟悉勾股定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：中，，，
，
同理，中，
，，
，
，
答：梯子底端向外移了米，
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，

，
．
故答案为：．
利用分式的加减法则分别可求，，，，再利用规律计算即可．
本题考查了分式的加减法，找出规律是解本题的关键．
 

19.【答案】解：



；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．
如图，点即为所求．
为等腰直角三角形．
理由：由勾股定理得，，，，
，，
为等腰直角三角形． 

【解析】根据轴对称的性质作图即可．
连接，交轴于点，连接，此时的值最小，即的周长最小．
利用勾股定理可得答案．
本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路径问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：、分别是，中点，
是的中位线，
，，
，
，且．
四边形是平行四边形，
是等边三角形，是的中点，
，，
在中，，
即，
，
又是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】直接利用三角形中位线定理得出，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
利用平行四边形的判定与性质得出，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理即可得出的长．
此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出四边形是平行四边形是解题的关键．
 

23.【答案】解：连接，

，
，
，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积



，
四边形的面积为． 

【解析】连接，根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设乙队单独完成需天．
根据题意，得：．
解这个方程得：．
经检验，是原方程的解．
乙队单独完成需天．
答：乙队单独完成需天．

设甲、乙合作完成需天，则有．
解得，，
甲单独完成需付工程款为万元；
乙单独完成超过计划天数不符题意；
甲、乙合作完成需付工程款为万元．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
根据工作总量来列等量关系，等量关系为：甲天的工作量甲乙合作天的工作总量．
把在工期内完成工程所需的工程款的情况分类讨论进行比较．
 

25.【答案】       

【解析】解：，，，
根据题意有，，，．
，当时，四边形是平行四边形．
，解得．
时四边形是平行四边形；
由，，
，，
，
如图，，当时，四边形是平行四边形．
即：，
解得，
当时，四边形是平行四边形．
根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出，，，的长
当时，四边形是平行四边形，建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可；
当时，四边形是平行四边形；建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
 

26.【答案】 

【解析】解：延长到点使，再连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为：；

证明：延长至点，使，连接、，如图所示：

同得：≌，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；

解：结论：．
理由：延长至点，使，连接，如图所示，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
由证明≌，得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
延长至点，使，连接、，同得：≌，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
延长至点，使，连接，如图所示，由证明≌，得出，，根据可证明≌，则，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．